關(guān)于某些形狀的素?cái)?shù)

管訓(xùn)貴

(泰州師范高等?？茖W(xué)校數(shù)理系,江蘇泰州 225300)

關(guān)于某些形狀的素?cái)?shù)

管訓(xùn)貴

(泰州師范高等?？茖W(xué)校數(shù)理系,江蘇泰州 225300)

設(shè) p是素?cái)?shù),證明了當(dāng)且僅當(dāng) p=3時(shí),p2-2,2p2-1,3p2+4,Mp=2p-1以及 Fp=+1都是素?cái)?shù)。

素?cái)?shù);合數(shù);Schinzel假設(shè)

1 引言及主要結(jié)論

人們一直在努力尋找產(chǎn)生素?cái)?shù)的公式。幾百年來許多優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家都做過嘗試[1]。

1772年Euler獲得了常表素?cái)?shù)的多項(xiàng)式 f(n)=n2-n+ 41(-39≤n≤40),此公式等價(jià)于 g(n)=n2-79n+1 601(0≤n≤79),即 g(n)=f(n-39)。1793年Legendre獲得了常表素?cái)?shù)的多項(xiàng)式 f(n)=2n2+29(0≤n≤28)。1963年Bredi-hin證明了二元函數(shù) f(x,y)=x2+y2+1對(duì)無限多對(duì)整數(shù)(x,y)都產(chǎn)生素?cái)?shù),且能給出所有的素?cái)?shù),而每個(gè)奇素?cái)?shù)恰好各取一次。爾后,Honsberger又給出下面的公式這里 A=x(y+1)-(y!+1),當(dāng)(x,y)為正整數(shù)對(duì)時(shí),只產(chǎn)生素?cái)?shù),并給出所有素?cái)?shù),且每個(gè)奇素?cái)?shù)正好各取一次[2]。1987年沈明剛[3]證明了當(dāng)且僅當(dāng)m=2,3,5,11,17,41時(shí),f(n)=n2-n+m對(duì)于1≤n≤m-1均常表素?cái)?shù)。在此之前的1958年,Schinzel和Sierpinski曾經(jīng)提出過一個(gè)猜想:設(shè) f1(x),f(x),…,fk(x)都是首項(xiàng)系數(shù)為正整數(shù)且次數(shù)大于零的有理數(shù)域上的不可約多項(xiàng)式,則存在無窮多個(gè)正整數(shù)n,可使 f1(n),f2(n),…,fk(n)都是素?cái)?shù)。

上述猜想稱為 Schinzel假設(shè)。此猜想可能存在這樣的問題,因?yàn)槲覀兛梢詷?gòu)造 k個(gè)多項(xiàng)式滿足上述條件,但對(duì)任何正整數(shù) n,f1(n),f2(n),…,fn(n)不可能都是素?cái)?shù)。比如,取 fi(n)=n2+i(i=1,2,…,k),當(dāng) i為奇數(shù)時(shí),取 n為奇數(shù);當(dāng)i為偶數(shù)時(shí),取 n為偶數(shù)。易知,總存在 i,使2|fi(n)。

2005年Bencze[5]進(jìn)一步對(duì) n僅為素?cái)?shù)的情形提出如下問題:哪些素?cái)?shù) p可使 p2-2,2p2-1以及3p2+4都是素?cái)?shù)?筆者將問題加強(qiáng)為:哪些素?cái)?shù) p可使 p2-2,2p2-1, 3 p2+4,Mp=2p-1以及 Fp=+1都是素?cái)?shù)?并解決了上述問題,即證明了如下的定理。

定理當(dāng)且僅當(dāng) p=3時(shí),p2-2,2p2-1,3p2+4,Mp= 2p-1以及 Fp=+1都是素?cái)?shù)。

為完成對(duì)上述定理的證明,需有以下引理。

引理F7=+1=59 649 589 127 497 217×5 704 689 200 685 129 054 721是合數(shù)。

證明由文獻(xiàn)[6]知,Fn=+1(n≥5)是合數(shù)的充要條件是:不定方程有正整數(shù)解(x0,y0)滿足2n+1x0>y0,并且在有解(x0,y0)的情況下

Fn=(22n+3x0-2n+2y0+1)·(22n+3x0-2n+2y0+1)。 (3)可以驗(yàn)證,不定方程216x2+x-2110=y2有正整數(shù)解(x,y)= (21 761 889 840 218 569,5 570 927 295 99-189 021)。

因?yàn)?8×21 761 889 840 218 569=5 571 043 799 095 953 664>5 570 927 295 99-189 021,因此,F7是合數(shù)。

將 x=21 761 889 840 218 569,y=5 570 927 295 99-189 021代入(3),可得 F7=59 649 589 127 497 217×5 704689 200 685 129 054 721。引理得證。

2 定理的證明

證明 p=2時(shí),3p2+4=16是合數(shù)。

p=3時(shí),p2-2=7,2p2-1=17,3p2+4=31,Mp=2p-1=7,Fp=+1=257都是素?cái)?shù)。

p=5時(shí),2p2-1=49是合數(shù)。

p=7時(shí),Fp=+1是合數(shù)。

若 p=7k(k是大于1的正整數(shù)),則Mp=27k-1=127× (128k-1+…+1)是合數(shù)。

若 p=7k±1(k是正整數(shù)),則3p2+4=7(21k2±6k+1)是合數(shù)。

若 p=7k±2(k是正整數(shù)),則2p2-1=7(14k2±8k+1)是合數(shù)。

若 p=7k±3(k是正整數(shù)),則 p2-2=7(7k2±6k+1)是合數(shù)。

綜上,定理得證。

[1] 左宗明.世界數(shù)學(xué)名題選講[M].上海:上海科學(xué)技術(shù)出版社,1990:18-25.

[2] 吳振奎,吳旻.數(shù)學(xué)的創(chuàng)造[M].上海:上海教育出版社,2003:72-75.

[3] 沈明剛.n2-n+p常表素?cái)?shù)的完全確定[J].科學(xué)通報(bào), 1987(11):801-803.

[4] Schinzel A,Sierpinski W.Surcertaines hypothesis con-cemant lesnambers premiers[J].Acta.A rith.,1958 (4):185-208.

[5] Bencze M.Proposed problem 7348[J].Octogon Math. Mag.,2005,13(IB):655.

[6] 管訓(xùn)貴.費(fèi)馬數(shù)是合數(shù)的一個(gè)充要條件[J].四川理工學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2009,22(4):23-24.

(責(zé)任編校:夏玉玲)

On the Primes of Some Form

GUAN Xun-gui

(Departmenet of Mathematics&Physics of Taizhou Teachers Junio r School,Taizhou 225300,China)

P being a p rime num ber p roves that only if p=3,p2-2,-p2-1,3 p2+4,Mp=2p-1 and Fp=+1 are all p rime numbers.

p rime number;composite number;Schinzel’s Hypothesis

O156.1

A

1672-349X(2010)06-0020-02

2010-06-07

泰州師范高等?？茖W(xué)校重點(diǎn)課題資助項(xiàng)目(2009-ASL-04)

管訓(xùn)貴(1963-),男,副教授,主要研究方向?yàn)榛A(chǔ)數(shù)論。