一種三站時(shí)差定位的布站優(yōu)化算法

(1.解放軍電子工程學(xué)院，合肥 230037；2. 解放軍61764部隊(duì)，海南 三亞 572013)

1 引 言

三站時(shí)差定位是一種無源定位方法，利用目標(biāo)位于地球表面的約束，結(jié)合三站分別對(duì)目標(biāo)進(jìn)行時(shí)差測量形成的兩路時(shí)差數(shù)據(jù)，實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)的三維定位。因其具有無源被動(dòng)工作、定位精度高[1-2]等優(yōu)點(diǎn)，在雷達(dá)、無線通信定位[3]、水聲定位[4]等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。

對(duì)于時(shí)差定位系統(tǒng)，目標(biāo)的定位誤差是與目標(biāo)相對(duì)于測量站的幾何關(guān)系密切相關(guān)的[1,5]。因此，在時(shí)差測量誤差及測量站站址誤差等誤差因素一定的情況下，對(duì)測量站布站進(jìn)行優(yōu)化，是提高定位精度的有效手段。目前的文獻(xiàn)多是對(duì)時(shí)差定位精度與布站關(guān)系的研究，定性地選擇某種布站形式為最優(yōu)布站[5-6]。本文以提高一定的目標(biāo)區(qū)域的整體定位精度為目標(biāo)，運(yùn)用基于多目標(biāo)規(guī)劃的最優(yōu)化算法建立數(shù)學(xué)模型，構(gòu)造最小最大評(píng)價(jià)函數(shù)，以使目標(biāo)區(qū)的最大水平定位精度因子(HDOP)最小的布站為最優(yōu)布站。

2 基本原理

2.1 定位模型

假設(shè)3個(gè)測量站在地心直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)分別為xi,yi,zi，i=0,1,2，接收來自位于地球表面某一坐標(biāo)x,y,z的目標(biāo)點(diǎn)信號(hào)，可以得兩路時(shí)差數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)于兩個(gè)時(shí)差方程，聯(lián)立WGS-84地球表面方程，即可建立目標(biāo)點(diǎn)定位方程組[7-8]：

(1)

圖1 三站時(shí)差定位系統(tǒng)示意圖Fig.1 Schematic of the tri-station TDOA location system

2.2 多目標(biāo)規(guī)劃簡介[9]

多目標(biāo)規(guī)劃是一種常見的最優(yōu)化模型，相對(duì)于單目標(biāo)規(guī)劃問題，其有多個(gè)目標(biāo)函數(shù)。數(shù)學(xué)模型為

minF(X)=min[f1(X),f2(X),…,fn(X)]
s.t.G(X)≤0

(2)

式中，X=[x1,x2,…,xm]為決策變量；G(X)=[g1(X),g2(X),…,gp(X)]為約束條件；gi(X)(i=1,2,…,p)可以是線性函數(shù)，也可以為非線性函數(shù)，當(dāng)p=0時(shí)，為無約束多目標(biāo)規(guī)劃。

3 水平定位精度因子(HDOP)

定位精度是定位系統(tǒng)最重要的指標(biāo)之一。這里，以水平定位精度因子(HDOP)作為定位精度的度量準(zhǔn)則。

對(duì)式(1)的前兩式兩邊取微分可得[8]：

c·dΔti+ui·dXi-u0·dX0(i=1,2)

(3)

其中：

對(duì)式(1)最后1式兩邊微分[8]：

(4)

其中：

k=1/(1-e2)2

結(jié)合式(3)與式(4)，有：

A·dX=c·dΔT+dU

(5)

其中：

由式(5)可得：

dX=A-1(c·dΔT+U)

設(shè)時(shí)差測量誤差、各測量站位置誤差均值為0，且不相關(guān)，則目標(biāo)輻射源的定位誤差協(xié)方差矩陣為

PdX=EdXdXT=

A-1c2EdΔTdΔTT+EdUdUTA-1T

(6)

式(6)得到的是地固直角坐標(biāo)系中定位的三維定位誤差協(xié)方差矩陣，考慮到一般對(duì)輻射源的定位精度指標(biāo)是指在大地坐標(biāo)下的經(jīng)緯高的誤差。因此需將此協(xié)方差矩陣轉(zhuǎn)換到大地坐標(biāo)下[10]：

PdL=J·PdX·JT

(7)

其中：

式(7)中PdL中PdL(1,1)、PdL(2,2)分別為經(jīng)度、緯度分量的定位誤差方差，將其轉(zhuǎn)換為距離的方差分別為RL、RB。

定義水平方向的定位精度因子：

(8)

以此HDOP值作為定位精度的度量準(zhǔn)則。

4 基于多目標(biāo)規(guī)劃的布站優(yōu)化

4.1 布站優(yōu)化原則

這里考慮的布站優(yōu)化問題是在一定的布站區(qū)域里，合理布設(shè)3個(gè)測量站的位置，使定位系統(tǒng)對(duì)于一定目標(biāo)區(qū)域的整體定位精度達(dá)到最優(yōu)。因此，布站優(yōu)化問題主要考慮以下幾點(diǎn)原則：

(1)3個(gè)測量站要布設(shè)在一定的布站區(qū)域內(nèi)；

(2)3個(gè)測量站之間的距離滿足通視條件；

(3)3個(gè)站的覆蓋范圍均能覆蓋整個(gè)目標(biāo)區(qū)域；

(4)使定位系統(tǒng)對(duì)目標(biāo)區(qū)域的整體定位精度最優(yōu)。

4.2 布站優(yōu)化問題的多目標(biāo)規(guī)劃評(píng)價(jià)函數(shù)構(gòu)造

對(duì)于多目標(biāo)規(guī)劃問題，其求解的主要思路是設(shè)法將多目標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)問題，然后以單目標(biāo)規(guī)劃的求解方法求解，而轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵是依據(jù)決策者的需求，合理構(gòu)造評(píng)價(jià)函數(shù)[9]。

結(jié)合4.1節(jié)提出的布站優(yōu)化問題需考慮的原則，這里選擇最小最大(minimax)法構(gòu)造評(píng)價(jià)函數(shù)。這種決策方法是采取穩(wěn)妥的保守策略，即在最壞的情況下，尋求最好的結(jié)果。按照此策略，構(gòu)造如下評(píng)價(jià)函數(shù)：

φ(X)=max[f1(X),f2(X),…,fn(X)]=

(9)

這樣，就將多目標(biāo)規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)規(guī)劃問題，目標(biāo)函數(shù)可寫為

(10)

式中，D=X|G(X)≤0，為決策變量的可行域。

4.3 基于多目標(biāo)規(guī)劃的布站優(yōu)化

按照4.2節(jié)介紹的最小最大評(píng)價(jià)函數(shù)構(gòu)造法，可將基于多目標(biāo)規(guī)劃布站優(yōu)化問題，寫成如下的數(shù)學(xué)模型。

假設(shè)目標(biāo)區(qū)域范圍為：經(jīng)度方向區(qū)間lmin,lmax；緯度方向區(qū)間wmin,wmax；三站高度相同，均為h。

目標(biāo)函數(shù)：

min{max[HDOP1(X),HDOP2(X),…,HDOPn(X)]}=

(11)

其中，X=[l1,w1,l2,w2,l3,w3]為決策變量；li(i=1,2,3)為待優(yōu)化3個(gè)測量站經(jīng)度；wi(i=1,2,3)為緯度；n表示將目標(biāo)區(qū)域按一定規(guī)則劃分為n部分，當(dāng)n足夠大時(shí)，可認(rèn)為目標(biāo)區(qū)域由n個(gè)目標(biāo)點(diǎn)構(gòu)成。

HDOPi(X)(i=1,2,…,n)表示三站坐標(biāo)為某X=[l1,w1,l2,w2,l3,w3]時(shí)，對(duì)第i個(gè)目標(biāo)的水平定位精度因子的大小。

約束條件[11]：

(12)

其中：

上述布站優(yōu)化模型基本思想是使目標(biāo)區(qū)域內(nèi)最大的定位誤差(這里為HDOP)最小，這樣就可以保證目標(biāo)區(qū)域的整體定位精度，同時(shí)，附加約束條件，以滿足4.1節(jié)提出的布站優(yōu)化原則。

求解上述模型的算法是對(duì)布站區(qū)域內(nèi)的每一種布站形式進(jìn)行循環(huán)搜索，對(duì)于每一種布站形式首先判斷其是否滿足約束條件，若不滿足，則直接進(jìn)入下一種布站形式的搜索判斷；若滿足，則計(jì)算其對(duì)目標(biāo)區(qū)域內(nèi)所有點(diǎn)的HDOP值，取其中最大的HDOP值，并記錄相應(yīng)的布站形式(決策變量X，即各測量站坐標(biāo))。而后進(jìn)入下一種布站形式的計(jì)算，如此循環(huán)，取所有保存的最大HDOP值最小的一種布站形式為滿足要求的最優(yōu)布站。

5 仿真分析

仿真實(shí)驗(yàn)假設(shè)目標(biāo)區(qū)域的范圍為東經(jīng)121.4°～122.6°，北緯22.0°～22.8°，目標(biāo)高程為0；布站區(qū)域的范圍為東經(jīng)121.0°～123.0°，北緯23.0°～24.0°，高程2 000 m。

將目標(biāo)區(qū)域按經(jīng)、緯度步長均為0.05°劃分為n′個(gè)區(qū)域：

n′=[(122.6-121.4)/0.05]×

[(22.8-22.0)/0.05]=24×16

則可取n=25×17=425個(gè)點(diǎn)表示整個(gè)目標(biāo)區(qū)域。

同樣將布站區(qū)域按照經(jīng)、緯度步長均為0.000 01度劃分為m′個(gè)區(qū)域：

m′=[(123.0-121.0)/0.00001]×

[(24.0-23.0)/0.00001]=

200000×100000

則可取m=200001×100001種布站形式。

取滿足約束條件的初值X0：

X0=[122.300,23.050,121.600,23.080,

121.950,23.125]

運(yùn)用上述基于多目標(biāo)規(guī)劃的布站優(yōu)化方法，對(duì)m種布站形式逐一搜索判斷，可得優(yōu)化結(jié)果X*：

X*=[122.920,23.000,121.080,23.000,

122.054,23.467]

設(shè)定位系統(tǒng)的時(shí)差測量誤差為10 ns，測量站在大地直角坐標(biāo)系下x、y、z各方向誤差均為5 m。圖2～4分別為所設(shè)初值X0對(duì)應(yīng)的HDOP等值線分布圖、最優(yōu)布站X*的HDOP等值線分布圖及覆蓋范圍。圖中五角星表示3個(gè)測量站的位置，陰影區(qū)域表示目標(biāo)區(qū)域，由三角形圍成的矩形框表示布站區(qū)域的范圍。圖2和圖3中曲線為HDOP等值線，圖4中曲線為三站各自的覆蓋范圍。

圖2 布站初值的HDOP等值線分布Fig.2 Distribution of HDOP isoline of the initial station layout

圖3 優(yōu)化布站的HDOP等值線分布Fig.3 Distribution of HDOP isoline of the optimal station layout

圖4 優(yōu)化布站的覆蓋范圍Fig.4 Overlay range of the optimal station layout

由圖2～4可以看出，與所設(shè)初值，即初始布站形式相比，運(yùn)用基于多目標(biāo)規(guī)劃的布站優(yōu)化方法所得的布站優(yōu)化結(jié)果，目標(biāo)區(qū)域的整體定位精度明顯提高，同時(shí)又保證了測量站對(duì)整個(gè)目標(biāo)區(qū)域的覆蓋。

6 結(jié)束語

本文以水平定位精度因子(HDOP)為定位精度的度量準(zhǔn)則，基于提高定位精度的考慮，提出了一種基于多目標(biāo)規(guī)劃的三站時(shí)差定位布站優(yōu)化方法。仿真結(jié)果表明，運(yùn)用該方法對(duì)測量站布站進(jìn)行優(yōu)化，效果明顯，既能保證系統(tǒng)覆蓋范圍、各站間通視等約束條件，同時(shí)又能使目標(biāo)區(qū)域的整體定位精度達(dá)到最優(yōu)。在實(shí)際應(yīng)用中，可根據(jù)經(jīng)驗(yàn)信息，各站可設(shè)不同的小范圍搜索區(qū)域，以提高優(yōu)化運(yùn)算效率。

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