一類特殊的交錯矩陣幾何

肖 旭

(長沙理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，湖南 長沙 410004)

0 引言

矩陣幾何是我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚于20世紀(jì)40年代中期由于研究多復(fù)變函數(shù)的需要而開創(chuàng)的一個數(shù)學(xué)領(lǐng)域，它實際上將空間中的一個點看成為某一類矩陣的集合，而且有一個變換群作用在這個空間上，其基本思想是研究保持某一性質(zhì)或幾類性質(zhì)不變的變換群的形式，即矩陣幾何的基本定理，而研究這一形式時又是從空間中的點與點之間的距離與算術(shù)距離開始的。 交錯矩陣幾何在二次型理論和典型群中有很重要的作用。 1966年，劉木蘭[1]用極大集的方法證明了任意域上交錯矩陣幾何基本定理，后來李迎春[2]將其推廣到可交換的主理想整環(huán)上,這是一個進(jìn)步。 對于某一類特殊的交錯矩陣，定理條件可不可以更弱一些而結(jié)果更簡潔一些呢？本文研究了空間中一類特殊矩陣的算術(shù)距離的映射的具體形式。

設(shè)D是一個除環(huán)，F(xiàn)是一個域，D上m×n矩陣的集合記作Mm×n(D)，當(dāng)m×n時，簡記為Mm(D)，F(xiàn)m×n表示上所有矩陣的集合，In表示Fm×n的n階單位矩陣，GLn(F)表示F上n階一般線性群，即所有的n階可逆矩陣按通常的矩陣乘法構(gòu)成的群，tA及rank(A)分別表示A的轉(zhuǎn)置和秩。如果F上的n×n矩陣A滿足tA=-A且A的主對角線上的元素全為0，則稱A為交錯矩陣。 域F上所有N×n交錯矩陣的集合記作Kn(F)。所有形如(0A-tA0)的矩陣的集合，記作KS2n(F)，其中A∈Fn×n。

1 一些定義和定理

定義 1 ：設(shè)A,B∈Mm×n，定義A與B的算術(shù)距離為d(A,B)=rand(A-B)，記作d(A,B)。顯 然，d(A,B)≥0,d(A,B)=0?A=B，d(A,B)=d(B,A)，d(A,B)≤d(A,C)+d(C,B)。

定義 2：域F上的n×n矩陣A,B稱為相合的如果存P∈GLn(F)在使得tPAP=B，記作A≈B。

定義3： 設(shè)A,B∈Mm×n(D)且rank(A-B)=1，則稱A與B粘切，記作A～B。若A,B∈Kn(F)且rand(A-B)=2，則稱A與B在Kn(f)中粘切。

定義 4： 設(shè)φ是Mm×n(D)到自身的映射，對?X，Y∈Mm×n(D)如果X～Y推出φ(X)～φ(Y)，則稱φ為保粘切的映射。

定義 5：如果對所有A,B,C∈Kn(F)，d(A,B)=d(A,C)+d(C,B)推出

d(φ(A),φ(B))=d(φ(A),φ(C))+d(φ(C),φ(B))，則稱映射φ保距離可加性。

引理 1[5]：設(shè)A∈Kn(F)(n≥2)，則A的秩必定為偶數(shù)，并且如果rank(A)=2r，則

A≈diag(J(r),0)≈((0Ir-Ir0)0)

其中J=(01-10)，J(r)=diag(J,…J)∈K2r(F)

引理 2[4]：設(shè)F是域，n是≥4的整數(shù)。 如果φ:Kn(F)|Kn(F)是保距離可加性的雙射，則φ是保粘切的雙射。

證明：設(shè)X,Y∈Kn(F)且A～B。 定義映射ψ:Kn(F)|Kn(F)為ψ(X)=φ(X+B)-φ(B)，則ψ也為保距離可加性的雙射且ψ(0)=0。由引理1可知，存在P∈GLn(F)使得A-B=tpdiag(J,0)P。設(shè)T=A-B+tpdiag(0,Jn-1p)(如果n=2n+1)或者A-B+tpdiag(0,Jn-1)P(如果n=2m)，則其中tP(E2i-1,2i-E2i,2i-1,J(n-1))P。因此從而有

引理 3[3]：設(shè)△是除環(huán)，m,n是≥2的整數(shù)，φ是Mm×n(D)到自身的保粘切的雙射，則

1)當(dāng)m≠n時，φ形如

φ(X)=PXσQ+T,?X∈Mm×n(D)

(1)

其中P∈GLm(D),Q∈GLn(D),T∈Mm×n(D),σ是D的自同構(gòu)。

2)當(dāng)n=n時，除了形如(1)外，φ還形如

φ(X)=tPXτQ+T，?X∈Mm×n(D)

(2)

其中τ是D的反自同構(gòu)，P,QT和(1)的意義相同。

引理 4[6]：設(shè)D是除環(huán)，m,n是≥2的整數(shù)，φ是dm×n到自身的保粘切的雙射，則φ-1也保粘切。

2 主要結(jié)果

下面給出本文的主要結(jié)果：一類特殊的交錯矩陣幾何。易知KS2n(F)是交錯矩陣的集合。

定理 1：設(shè)F是域，n是≥2的整數(shù)，φ是KS2n(F)到自身的保距離可加性的雙射，則必有以下形式

φ(X)=tEXσE+G，?X∈KS2n(F)

其中E(tP00Q)，G=(0T-tT0)，P,Q∈GLn(F),T∈Fn×n,σ是F的自同構(gòu)。

證明：由引理2可得，φ是保粘切的雙射，不妨設(shè)φ(0A-tA0)=(0A*-tA*0)， 令φ′:A|A*,?A∈Fn×n， 易知φ′是雙射。

設(shè)C=(0A-tA0)=(0B-tB*0),且C～D，其中A,B∈Fn×n， 所以有rand(C-D)=2。

即rank(0A-B-t(A-B) 0)=2,因為rand(A-B)=rank(-t(A-B))，所以rank(A-B)=1。 因為φ是保粘切的雙射， 所以有rank(φ(C)-φ(D))=2，即rank(0A*-B*-t(A*-B*) 0)=2，從而有rank(A*-B*)=1，所以由rank(A-B)=1推出rank(φ′(A)-φ′(B))=1。綜上可知，φ′是保粘切的雙射。由引理4，φ′-1也保粘切。由引理3可知φ′(A)=PAσQ+T，?A∈Fn×n，其中P,Q∈GLn(F),T∈Dn×n,σ是F的自同構(gòu)。從而有

φ(0A-tA0)=(0PAσQ+T-t(PAσQ+T) 0)

易知有下式成立

φ(0A-tA0)=(0PAσQ+T-t(PAσQ+T) 0)=t(tP00Q)(0Aσ-t(Aσ)0)(tP00Q)+(0T-tT0)

令E=(tP00Q)，G=(0T-tT0)，則定理得證。

[參考文獻(xiàn)]

[1] 劉木蘭.交錯矩陣幾何[J].數(shù)學(xué)學(xué)報, 1966,16 (1) :104-135.

[2] 李迎春.交換的主理想整環(huán)上交錯矩陣幾何[D].長沙:長沙理工大學(xué)碩士學(xué)位論文，2008.

[3] L. P. Huang,Geometry of Matrices over Ring[M].Science Press,2006.

[4] L. P. Huang, Diameter preserving surjection on alternate matrices[J]. Acta Mathematica Sinica, English Series 2009,25(9):1517-1528.

[5] Z. X. Wan.Geometry of Matrices[M].In Memory of Professor L. K. Hua(1910-1985), world scientific, Singa-pore,1996.

[6] W. L.Huang and Z. X.Wan.Adjacency preserving mappings of rectangular matrices[J]. Beitrage zur Algebr und Geometrie, 2004,45(2) :435-446.