與給定多邊形相切的可調(diào)二、三次Bézier曲線

劉 植， 檀結(jié)慶， 陳曉彥， 張 莉， 時(shí) 軍

（1. 合肥工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息學(xué)院，安徽 合肥 230009；2. 合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)系，安徽 合肥 230009）

與給定多邊形相切的可調(diào)二、三次Bézier曲線

劉 植1,2， 檀結(jié)慶1,2， 陳曉彥2， 張 莉1,2， 時(shí) 軍2

（1. 合肥工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息學(xué)院，安徽 合肥 230009；2. 合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)系，安徽 合肥 230009）

討論與給定多邊形相切的分段二、三次Bézier曲線，所構(gòu)造的曲線C1連續(xù)，且對(duì)切線多邊形是保形的。曲線上的所有 Bézier曲線段的控制點(diǎn)由切線多邊形的頂點(diǎn)直接計(jì)算產(chǎn)生。在一定范圍內(nèi)，可以通過調(diào)節(jié)控制參數(shù)對(duì)切線多邊形作整體或局部逼近。實(shí)例表明，該文方法計(jì)算簡(jiǎn)單、控制靈活，方便有效。

計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)；切線多邊形；Bézier曲線；C1連續(xù)；保形

Bézier曲線具有許多優(yōu)良的性質(zhì)，在諸多形式的參數(shù)多項(xiàng)式曲線中獨(dú)樹一幟，被廣泛的應(yīng)用于計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)(CAGD)和圖形學(xué)(CG)等領(lǐng)域。近年來，人們對(duì)Bézier曲線的研究仍在不斷深入。出于汽車制造業(yè)中汽車頂部，擋板等部件對(duì)曲面曲率和撓率的設(shè)計(jì)要求，Mineur[1]，F(xiàn)arin[2]，Cao等[3]討論了一類帶單調(diào)曲率和撓率的Bézier曲線。Kim等[4]構(gòu)造了圓弧的四次Bézier逼近方法，通過分段，利用該方法可以得到圓弧的曲率連續(xù)的樣條逼近。為了更加靈活的實(shí)現(xiàn)交互設(shè)計(jì)，Han等[5]提出了一類帶形狀參數(shù)的廣義Bézier曲線曲面，作為Bézier曲線曲面的推廣，除具備Bézier曲線曲面的優(yōu)點(diǎn)外，通過調(diào)控形狀參數(shù)的取值可以生成更加豐富的曲線曲面。為了擴(kuò)大自由型曲線曲面的選擇范圍，汪志華等[6]提出了一族介于Bézier曲線與Wang-Ball曲線之間的新型曲線，并在形式上將 Bézier曲線與Wang-Ball曲線統(tǒng)一起來。

1983年Hering[7]首次提出與給定多邊形相切的分段光滑閉曲線構(gòu)造問題，并給出了其應(yīng)用背景：帶有兩個(gè)固定非圓輪的鏈輪驅(qū)動(dòng)的數(shù)學(xué)描述，兩輪之間有定長的傳送帶和給定的非常數(shù)速率，求這兩輪輪廓線的數(shù)學(xué)表示導(dǎo)出了一個(gè)非線性函數(shù)方程組，準(zhǔn)確地求解這個(gè)問題似乎是毫無希望的。然而，可以用動(dòng)力學(xué)方法將方程組轉(zhuǎn)化為切線系（即一平面凸多邊形），然后再構(gòu)造與每邊相切的保凸曲線，并至少滿足整體C1連續(xù)，即為所求輪廓線的逼近曲線。此外，在服裝CAD紙樣的設(shè)計(jì)過程中，通常先根據(jù)尺寸要求確定控制點(diǎn)，再根據(jù)控制點(diǎn)用直線段繪制樣片的大體輪廓，即控制多邊形，然后在控制多邊形內(nèi)用直線和曲線繪制封閉的圖形。由于樣片的形狀不規(guī)則，因此構(gòu)成樣片的曲線比較復(fù)雜，為了使曲線光順、豐滿、有彈性，且易于修改，也經(jīng)常遇到與控制多邊形相切的曲線構(gòu)造問題[8]。圍繞該問題人們進(jìn)行大量的研究，利用不同方法構(gòu)造了各種類型的曲線[9-10]。在構(gòu)造與給定多邊形相切的Bézier曲線問題中，也取得了一定的成果。Hering首先構(gòu)造了與給定多邊形相切的 C2連續(xù)分段三次Bézier曲線，但該方法計(jì)算量較大，生成的曲線不具有保形性，且不能做局部修改。1991年方逵[11]改進(jìn)了Hering的方法，構(gòu)造的G2連續(xù)分段三次 Bézier曲線基本上克服了 Hering方法的缺點(diǎn)，但切點(diǎn)的控制不夠靈活，局部修改仍然較復(fù)雜。此后方逵[12]繼續(xù)研究了 C2連續(xù)分段四次和C3連續(xù)分段五次Bézier曲線，但四次曲線只能依靠調(diào)整切點(diǎn)來控制曲線的形狀，而五次曲線不能做局部修改，且次數(shù)較高。低次Bézier曲線具有形狀簡(jiǎn)單、使用靈活等優(yōu)點(diǎn)，應(yīng)用廣泛。而構(gòu)造與給定多邊形相切的低次 Bézier曲線在諸文獻(xiàn)中尚不多見。

本文討論了與給定多邊形相切的分段二次及三次Bézier曲線，構(gòu)造的曲線具有保形性，在一定范圍內(nèi)，通過改變控制參數(shù)的取值，可以靈活調(diào)控切點(diǎn)及內(nèi)Bézier點(diǎn)的位置，從而改變曲線的形狀，且曲線整體滿足C1連續(xù)。

1 與給定多邊形相切的分段三次Bézier曲線

其中 控制參數(shù) λi( i = 1 ,2,… , n )滿足0 ＜ λi＜1。將在每相鄰兩切點(diǎn) Pi, Pi+1之間構(gòu)造一段三次Bézier曲線

其 中 控 制 參 數(shù) μi(i = 1,2,… ,n +1)滿 足0 ＜ μi≤ min{λi, 1 - λi} ,μn+1=μ1， 分 別 稱λi, μi(i = 1,2,… ,n +1)為切點(diǎn)調(diào)節(jié)參數(shù)和內(nèi)Bézier點(diǎn)調(diào)節(jié)參數(shù)。由式(1)可知，第i段與第 i +1段曲線的Bézier點(diǎn)滿足：

根據(jù)三次 Bézier曲線的端點(diǎn)性質(zhì)，對(duì)i = 1 ,2,… ,n ，容易驗(yàn)證

圖1 三次Bézier曲線的控制點(diǎn)

事實(shí)上，根據(jù)參數(shù) {λi, μi的取值范圍可以看出，構(gòu)成的凸三邊形與Vi-1, Vi, Vi+1構(gòu)成的凸二邊形凸性相同。由Bézier曲線的保凸性知， Ri( t)是凸的，且凸性與Vi-1, Vi, Vi+1構(gòu)成的凸二邊形相同。設(shè) Vi是切線多邊形的一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)，即矢量 Vi-2Vi-1×Vi-1Vi與Vi-1Vi× ViVi+1方向相反，則第 i - 1段Bézier曲線Ri-1(t )與第i段 Bézier曲線 Ri( t)的凸性相反，且在切點(diǎn) Pi處產(chǎn)生一個(gè)拐點(diǎn)。因此，構(gòu)造的曲線拐點(diǎn)個(gè)數(shù)與切線多邊形的轉(zhuǎn)折點(diǎn)個(gè)數(shù)相等，故分段曲線對(duì)切線多邊形是保形的。

曲線的計(jì)算步驟：

對(duì)于給定開的多邊形，用上述方法也可以構(gòu)造與開多邊形每邊都相切的分段三次 Bézier曲線，且曲線對(duì)多邊形保形，整體C1連續(xù)，如圖1所示。

2 與給定多邊形相切的分段二次Bézier曲線

下面考慮與給定多邊形相切的分段二次Bézier曲線，即生成的曲線在滿足上述分段三次Bézier曲線特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，次數(shù)降為二次。

由于次數(shù)的降低，Bézier曲線的控制自由度隨之減少，對(duì)控制多邊形的表現(xiàn)力下降。根據(jù)二次Bézier曲線的端點(diǎn)性質(zhì)，在給定多邊形相鄰兩邊之間構(gòu)造一段二次 Bézier曲線，且滿足整體C1連續(xù)，切點(diǎn)只能位于給定多邊形各邊的中點(diǎn)，

圖2 二次Bézier曲線的控制點(diǎn)

曲線的計(jì)算步驟：

對(duì)于給定開的多邊形，用上述方法也可以構(gòu)造與開多邊形每邊都相切的分段二次 Bézier曲線，且曲線對(duì)多邊形保形，整體C1連續(xù)，如圖2所示。

3 數(shù)值例子及結(jié)論

圖3 參數(shù) λ i , μi取不同值時(shí)的二次逼近曲線

圖4 參數(shù) λ i , μi 取不同值時(shí)的三次逼近曲線

例 2 設(shè)平面四邊形頂點(diǎn)為 V0=(-1,- 1 )，V1=(-1 ,1), V2= ( 1,1), V3= ( 1,- 1 )?？紤]到對(duì)稱性，取控制參數(shù) λi=0.5, μi=0.275, i =1,2,3,4，得到單位圓的 C1三次逼近曲線。取控制參數(shù)λi=0.5, μi=0.207, i=1,2,3,4，得到單位圓的C1二次逼近曲線。圖5(a)、圖5(b)分別給出了第一象限四分之一單位圓的逼近曲線。用文獻(xiàn)[4]的方法可以構(gòu)造該問題的四次Bézier逼近曲線，如圖5(c)所示。

圖5 四分之一單位圓的Bézier逼近曲線比較

通過調(diào)整控制參數(shù)的取值可以生成不同的逼近曲線。經(jīng)過計(jì)算可知，例2中三種逼近曲線段與圓弧段的 Hausdorff距離（即圓半徑的最大逼近誤差）分別為 3 .1× 1 0-3，1 .4 × 1 0-5，2 .0 × 1 0-6，盡管本文方法的誤差較文獻(xiàn)[4]方法大，但計(jì)算量顯然要小得多，而在誤差允許的范圍內(nèi)，三次Bézier逼近曲線也不失為一個(gè)較滿意的結(jié)果。

本文討論了與給定多邊形相切的分段二次及三次Bézier曲線，構(gòu)造的曲線具有保形性，在一定范圍內(nèi)，通過改變控制參數(shù)的取值，可以靈活調(diào)控曲線的形狀，整體滿足 C1連續(xù)。與現(xiàn)有方法相比，本文方法具有次數(shù)低、計(jì)算量小、控制靈活等優(yōu)點(diǎn)。

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Adjustable Quadratic and Cubic Bézier Curves with Given Tangent Polygons

LIU Zhi1,2, TAN Jie-qing1,2, CHEN Xiao-yan2, ZHANG Li1,2, SHI Jun2
( 1. College of Computer and Information, Hefei University of Technology, Hefei Anhui 230009, China;2. Department of Mathematics, Hefei University of Technology, Hefei Anhui 230009, China )

This paper proposes an approach to constructing planar piecewise quadratic and cubic Bézier curve with all edges tangent to a given polygon and the curve segments are joined together with C1-continuity. The segmented Bézier curves are all shape preserving to their tangent polygon. All control points of the Bézier curve segments can be calculated simply by the vertices of the given polygon. The curve can locally or globally approximate the tangent polygon by the adjustment of the control parameters. Experiments show that the method given in this paper is simple, intuitive, effective and easy to control.

computer aided geometric design; tangent polygon; Bézier curve; C1-continuity;shape preserving

TP 391

A

1003-0158(2010)06-0045-06

2009-02-12

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（60773043）；教育部博士點(diǎn)新教師基金資助項(xiàng)目（2008JYXJ0828）；安徽省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（070416273X）；安徽省高校優(yōu)秀青年人才基金資助項(xiàng)目（2009SQRZ008）；合肥工業(yè)大學(xué)科研基金資助項(xiàng)目（071003F）

劉 植（1976-），男，安徽金寨人，講師，博士研究生，主要研究方向?yàn)閿?shù)值逼近，CAGD等。