最大斜度線在圖學(xué)理論中的合理詮釋及應(yīng)用研究

雷 芳

（福州大學(xué)，福建 福州 350002）

最大斜度線在圖學(xué)理論中的合理詮釋及應(yīng)用研究

雷 芳

（福州大學(xué)，福建 福州 350002）

最大斜度線在工程圖學(xué)中較少研究，其幾何定義與作圖過(guò)程晦澀抽象，但其在建筑設(shè)計(jì)與工程制圖中應(yīng)用頻率很高。對(duì)其進(jìn)行更為確切的定義分析、空間探討，輔以工程實(shí)例的推演及三維可視化表現(xiàn)，有助于深化概念、拓展視野，從而也增強(qiáng)了基礎(chǔ)圖學(xué)理論與后續(xù)專(zhuān)業(yè)知識(shí)的有效銜接。

工程圖學(xué)；最大斜度線；綜合分析；工程應(yīng)用

最大斜度線是畫(huà)法幾何圖學(xué)理論中對(duì)平面內(nèi)某一位置直線的定義。其幾何模型如圖1所示。直線KM屬于定平面P，其垂直于P平面內(nèi)的水平線，且與水平投影面形成的坡度角α為最大。

由于圖學(xué)理論中幾何體主要是以正投影方式體現(xiàn)，求解及作圖過(guò)程很抽象，如圖2所示，需分三個(gè)步驟，首先做出平面內(nèi)的水平線BD的投影，再做直線AE與該水平線的投影垂直，得到最大斜度線的投影ae及a′e′，最后還需用直角三角形法求出其與H投影面的夾角α。作圖時(shí)一般會(huì)產(chǎn)生較大的疑慮，不明白此概念的實(shí)際含義，從而與實(shí)際運(yùn)用無(wú)法對(duì)接，造成一定的局限性。

圖1 最大斜度線定義

圖2 求最大斜度線投影

1 最大斜度線的正確認(rèn)知

追本溯源，中國(guó)圖學(xué)理論主要是沿襲蘇聯(lián)的體系架構(gòu)。故理論上確切的解釋?xiě)?yīng)為：在任一平面上都可畫(huà)出無(wú)數(shù)條方向各不相同的直線，在無(wú)數(shù)的直線中，有一些是能夠完全確定位置的特殊直線如橫向平行線、縱向平行線、側(cè)向平行線（圖3）。在平面內(nèi)垂直于此三種平行線的直線，叫平面的最大斜度線（或坡降線）[1]。此坡降線即成為日后土木工程中廣泛運(yùn)用的典型。

圖3 最大斜度線（坡降線）的含義

最大坡降線的物理意義是指位于平面上的小球或水沿著它滾動(dòng)的那條線。由于畫(huà)法幾何理論最終是通過(guò)工程制圖將設(shè)計(jì)思路體現(xiàn)出來(lái)的。故概念不清不確切，表達(dá)就會(huì)有局限性，勢(shì)必會(huì)影響到后續(xù)的設(shè)計(jì)。

第一，對(duì)最大坡降線首先不能僅僅以三角面（圖4）來(lái)定義。將空間擴(kuò)展后的坡面與三角面擁有共同的最大坡度線。其與地面的交線（跡線）是一條零度的水平線。在工程圖中，此一系列的水平線又可稱(chēng)為等高線。那么最大坡度線自然與等高線垂直。

圖4 拓展后的最大坡度線

第二，理論上平面內(nèi)的水平線不是只有一組，更不是只有一條，斜面中水平線的投影可以有很多種表達(dá)，并且其所代表的方向不會(huì)變（圖5），且線和面都是可以擴(kuò)展的。

圖5 在平面中作出水平線的投影

第三，最大坡度線重點(diǎn)不在其長(zhǎng)度，關(guān)鍵是其代表了一個(gè)最大坡度的方向。由于最大斜度線既不垂直于正投影面也不垂直于水平投影面，故只有將直角三角形轉(zhuǎn) 90°后與水平投影面平行，方可投影得到最大斜度角α，如圖6所示，投影作圖參見(jiàn)前述圖2所示。

圖6 求最大斜度線及夾角

此外，畫(huà)法幾何是一套比較完善的經(jīng)典圖學(xué)理論，既有投影分析也有幾何論證與計(jì)算。最大斜度線的幾何架構(gòu)如下，僅對(duì)水平面（O-XY面）而言最大斜度線與水平跡線和法線都垂直[2]其方向矢量為PH=Ai+BCj-(A2+B2)k, 其對(duì)O-XY面的傾角θ1

該理論分析的目的主要是為了解決空間定位與定量?jī)纱髥?wèn)題，如圖7所示。

圖7 最大斜度線的計(jì)算圖解

2 最大斜度線的引深與實(shí)踐

2.1 定位問(wèn)題

在工程制圖中，最大斜度的定位主要是其投影的定位，而確定了最大斜度線，就確立了最合理的平面（或曲面）的坡度角。

如在中國(guó)古建筑中大木作斜屋頂或長(zhǎng)廊，一般都有斜脊與天溝，其琉璃瓦的鋪設(shè)總是沿著最大斜度線方向，以利于呈現(xiàn)正確的落水方式如圖8所示，注意立面圖的投影方向。

圖8 長(zhǎng)廊屋面最大斜度的投影

在宋清式大屋頂中，最降線的含義是指雨水最快離開(kāi)屋面，而非雨水離開(kāi)檐口以后排至最遠(yuǎn)[3]。最接近理想的速降線如圖9中的①，它比直坡屋頂有利于排水，其中清式比宋式更接近理想，更有科學(xué)性。

圖9 四種坡屋頂線比較

在土木工程中，護(hù)坡、圍堤、涵洞都有大量的斜坡面出現(xiàn)。最經(jīng)典的曲面定義為，圓錐上的每一條通過(guò)頂點(diǎn)的素線都是最大坡降線，圓錐面自上而下的每個(gè)同心圓都是零度的水平圓曲線見(jiàn)圖10左圖。

圖10右圖為涵洞漸變段[4]，其造型由方型口漸變到圓型口，正是利用了4個(gè)三角形平面與四部分斜圓錐面相切的原理，使曲面過(guò)度的坡度最大，最利于引水方向的水流順暢。

圖10 曲面坡度線及漸變段

在具體設(shè)計(jì)作圖過(guò)程中，如果已知護(hù)坡的坡度角，正立面無(wú)積聚現(xiàn)象，那么必須用下列作圖來(lái)解決，見(jiàn)圖11。已知斜面底部水平線投影及平面投影距離，坡度角定為 30°，求立面投影?？上茸鲋本€垂直于水平線，然后在水平面畫(huà)出 30°的直角三角形，將高度坐標(biāo)差逆推至立面即可得到最大斜度線的立面投影，從而得到坡頂線的投影高度線。

圖11 最大斜度線的立面投影定位

2.2 定量問(wèn)題

定量問(wèn)題體現(xiàn)在對(duì)已有斜面坡的坡角及斜長(zhǎng)的確定。前述的直角三角法在實(shí)踐中最直接的體現(xiàn)在測(cè)量的運(yùn)用，如圖 12所示，當(dāng)豎直度盤(pán)對(duì)準(zhǔn)水平線時(shí)刻盤(pán)度數(shù)為90°，當(dāng)視線對(duì)準(zhǔn)P1時(shí)得到一角度，則坡度角α=90°-測(cè)得的角度。

圖12 測(cè)量最大坡度角

在交通或水利工程中，為了減少水流的沖刷與腐蝕，最常用的辦法就是利用圓錐模擬最大斜度，形成轉(zhuǎn)角護(hù)坡斜面。圖13中，坡頂B到坡底A的高度差（是定值），半徑R=tgα×H，根據(jù)受力計(jì)算、土石方量與施工要求可推算出一個(gè)合理的坡度角α，于是半徑R隨之確定，以圓錐模擬的最大坡度線成立，作圖過(guò)程見(jiàn)圖13右小圖，先做圓錐平面投影弧，再作A點(diǎn)到圓錐底圓弧的切線得水平坡底線，做BC⊥AC，最大坡度方向即確定。

圖13 斜面轉(zhuǎn)角護(hù)坡

畫(huà)法幾何學(xué)的每個(gè)概念都是圍繞圖學(xué)理論展開(kāi)的，而圖學(xué)理論與專(zhuān)業(yè)設(shè)計(jì)的有效銜接是必然的趨勢(shì)，作為專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ)知識(shí)只有與實(shí)際相結(jié)合才能體現(xiàn)出知識(shí)的連貫性與延伸性。

2.3 經(jīng)典實(shí)例應(yīng)用

最大斜度線的應(yīng)用最為成功的實(shí)例當(dāng)屬著名華裔建筑師貝聿銘先生設(shè)計(jì)的位于法國(guó)盧浮宮廣場(chǎng)上的玻璃金字塔，其高21米，底寬30米，四個(gè)側(cè)面由673塊菱形玻璃拼組而成，總平面面積約2000平方米。

從圖 14中可見(jiàn)，橫向、縱向、側(cè)向平行線被巧妙的設(shè)計(jì)為承重的金屬支架，無(wú)論從哪個(gè)方向看，其最大落水坡度都是最大的，它是現(xiàn)代藝術(shù)風(fēng)格的佳作，也是運(yùn)用現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的獨(dú)特嘗試。

圖14 貝聿銘作品玻璃金字塔

又如歐洲建筑精粹，郝思拉幼兒園，其建筑體量被劃分為很小的結(jié)構(gòu)單元組合，以迎合兒童心理，運(yùn)用多種不同方向的斜坡屋頂營(yíng)造出木構(gòu)建筑的層次感，而且建筑每一層都有通道直接通入戶(hù)外花園（見(jiàn)圖15）。

圖15 郝思拉幼兒園

在交通工程中，最大坡度線在開(kāi)挖線、坡底線及邊坡設(shè)計(jì)中都會(huì)用到與最大斜度線為基礎(chǔ)的算法及畫(huà)法。其中一種為人工平面坡，如圖16所示，無(wú)論挖還是填，只要有一定的坡度定位，其理論依據(jù)仍舊是L=tgα×H。當(dāng)然還需結(jié)合力學(xué)知識(shí)，進(jìn)行合理的坡度配比，以達(dá)到一定的穩(wěn)定性。

圖16 路基工程中的邊坡應(yīng)用

其二是在自然山體中，求路基兩側(cè)護(hù)坡與自然土壤的交線，如圖 16右所示，交線的走向與土坡坡度角以及等高線有著一定的關(guān)系，除直線段外，同坡曲面型邊坡的出現(xiàn)率更高。且計(jì)算中需運(yùn)用一些插值的手法[5]，以達(dá)到一定的精度，如圖 17所示。而同坡曲面的引深最終可以達(dá)到一個(gè)較高的難度，如圖 18所示，即隨著坡頂?shù)纳弦?，模擬坡度的圓錐呈漸變趨勢(shì)增大，其法向坡度始終保持恒定，與所有圓錐相切的平面即為所求。水工建筑物拱壩模型均借鑒了最大坡度的概念。

總之，畫(huà)法幾何學(xué)為后續(xù)土木專(zhuān)業(yè)設(shè)計(jì)的走向提供了堅(jiān)實(shí)的理論依據(jù)，研究最基礎(chǔ)的點(diǎn)點(diǎn)、線與面的投影及特征，不僅具有一定的教育價(jià)值，而且能夠更好的服務(wù)于工程實(shí)踐。

圖17 自然山體與曲面坡的營(yíng)造

圖18 在水利工程中的復(fù)雜同坡曲面

[1]A M 葉魯薩里姆斯基. 畫(huà)法幾何學(xué)[M]. 北京：高等教育出版社, 1957. 106-111.

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[3]湯國(guó)華. 中國(guó)傳統(tǒng)大屋頂?shù)呐庞晏攸c(diǎn)[J]. 新建筑,1996, (4)：65-66.

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[5]方 慶, 徐約素. 畫(huà)法幾何及工程制圖[M]. 北京：高等教育出版社, 1991. 235-241.

Study on the Reasonable Annotation and the Application of the Maximum Slope Line in Graphics Theory

LEI Fang
( Fuzhou University, Fuzhou Fujian 350002, China )

The study of the maximum slope line in the engineering graphics is quite less, for its geometry definition and mapping process are abstract and obscure, but it is frequently used in the architectural design and the engineering drawing. The process of carrying out more accurate definition analysis and space discussion, increasing with the engineering examples,three-dimensional visualization will help to deepen the concept, broaden horizons and strengthen the effective convergence of the graphics-based theory and the following expertise.

engineering graphics; the maximum slope line; comprehensive analysis;engineering application

TB 23

A

1003-0158(2010)06-0007-05

2009-09-28

福建省教育廳資助項(xiàng)目(JB07017)

雷 芳（1966-），女，江西萍鄉(xiāng)人，講師，碩士，主要研究方向?yàn)楣こ虉D學(xué)、計(jì)算機(jī)建筑表現(xiàn)。