沙堆模型的原理及其在電力系統(tǒng)中的應用

馬士英，馬新惠，周任軍，張世海

（1.長沙理工大學電氣與信息工程學院，長沙市，410014；2.貴州電力試驗研究院，貴陽市，550002）

0 引言

近幾年，國內(nèi)外電力系統(tǒng)發(fā)生了多次大停電事故。特別是2003年8月14日的美國東北部、中西部和加拿大東部聯(lián)合電網(wǎng)發(fā)生的大停電，震驚了世界[1-4]。這些事故，引起了國內(nèi)外許多的學者對大停電的思索和研究，他們期望能找出一種簡單易行的方法來研究電力系統(tǒng)大停電，從而可以進一步對電網(wǎng)大停電的發(fā)生時間和規(guī)模進行預測。

眾所周知，電力系統(tǒng)正常運行過程中電力元件均要發(fā)熱[5]，若是電力系統(tǒng)運行過程中的溫度超過系統(tǒng)正常運行時的溫度，則可能是系統(tǒng)設備中某個或某些元件發(fā)生了故障，從而使電力系統(tǒng)過載或過負荷，造成電力系統(tǒng)停運，甚至是電網(wǎng)的崩潰。文獻[6]表明電力系統(tǒng)大停電具有自組織臨界特性。類比電力系統(tǒng)過載或過負荷也可能具有基于自組織臨界理論中的協(xié)同學原理所揭示的規(guī)律。同時文獻[6]闡述了沙堆模型可以形象地說明基于自組織臨界理論中的協(xié)同學原理。電力系統(tǒng)過載或過負荷也可以利用沙堆模型形象地進行模擬仿真，對電力系統(tǒng)過載或過負荷現(xiàn)象進行簡單易懂地定性或理論方面的研究，從而可以提前判斷電力系統(tǒng)過載或過負荷現(xiàn)象，降低電力系統(tǒng)故障發(fā)生的機率，保障電力系統(tǒng)正常運行。

沙堆模型可以形象化地說明許多原理，并且能夠簡單地模擬仿真這些原理，因而，在國內(nèi)外沙堆模型已經(jīng)被應用在許多行業(yè)，近年來更是被越來越多地應用到電力行業(yè)中，用來模擬仿真電力系統(tǒng)中的故障分布特性和嚴重程度。例如沙堆模型在文獻[6]，文獻[7]和文獻[8]中的應用，等等。而且，根據(jù)沙堆模型的目前發(fā)展趨勢可以預測，在不久的將來，沙堆模型也可以應用于模擬仿真電力系統(tǒng)過載或過負荷的分析研究上。

沙堆模型能夠描述電網(wǎng)的一些規(guī)律，在電力系統(tǒng)中具有潛在的應用背景。鑒于沙堆模型在電網(wǎng)中的潛在應用，本文主要依據(jù)沙堆模型的定義，對沙堆模型進行仿真編程，為今后進一步利用沙堆模型，研究其在電力系統(tǒng)中的應用打下基礎。

1 原理介紹

1.1 自組織理論

自組織理論是20世紀60年代末期開始建立并發(fā)展起來的一種系統(tǒng)理論。自組織理論認為：客觀實際存在的系統(tǒng)都是開放系統(tǒng)，即系統(tǒng)與外界環(huán)境存在著物質交換、能量和信息交換[6-8]。它的主要研究對象是復雜自組織系統(tǒng)（生命系統(tǒng)、社會系統(tǒng)）的形成和發(fā)展機制問題，即在一定條件下，系統(tǒng)是如何自動地由無序走向有序，由低級有序走向高級有序的。自組織現(xiàn)象是指把一個系統(tǒng)內(nèi)部從無序變?yōu)橛行?，使其大量分子按一定?guī)律運動的現(xiàn)象。這種現(xiàn)象在自然界中是大量存在的，理論研究較多的典型實例有：貝納德（Baynard）流體的對流花紋，貝洛索夫一扎鮑廷斯基（Belousov-Zhabotinsky）化學振蕩花紋與化學波，激光器中的自激振蕩等。協(xié)同學（Synergetics）是自組織理論之一。

1.2 協(xié)同學原理

協(xié)同學亦稱為協(xié)同論或協(xié)和學，是德國教授哈肯（Hermenn Haken）在1976年創(chuàng)立的。協(xié)同學是一門研究遠離平衡態(tài)的系統(tǒng)如何通過各子系統(tǒng)之間的自我組織產(chǎn)生時間、空間或功能結構的科學，其主要目的是在現(xiàn)實世界中探求各種不同現(xiàn)象的普遍規(guī)律[7]。協(xié)同學研究協(xié)同系統(tǒng)在外參量的驅動下和在子系統(tǒng)之間的相互作用下，以自組織的方式在宏觀尺度上形成空間、時間或功能有序結構的條件、特點及其演化規(guī)律。協(xié)同學的主要內(nèi)容就是用演化方程來研究協(xié)同系統(tǒng)的各種非平衡定態(tài)和不穩(wěn)定性（又稱非平衡相變）。協(xié)同學認為：世界的統(tǒng)一性不僅在于它們的微觀結構的單一性，而且在宏觀結構的形成中也遵從某些普遍規(guī)律[8]。同時哈肯在協(xié)同學中描述了臨界點附近的行為，闡述了慢變量支配原則和序參量概念，認為事物的演化受序參量的控制，演化的最終結構和有序程度決定于序參量。

1.3 沙堆模型

沙堆模型是自組織臨界理論中的協(xié)同學原理的形象化表述[6，8]，因而沙堆模型原理同樣遵循協(xié)同學原理。在沙堆模型中，設置漏斗功能，使每次只流下1粒沙粒。沙粒從漏斗中不斷流到平板上，隨著沙粒數(shù)的增多，逐漸在平板上形成了一種略呈圓錐形狀的沙堆，沙堆堆底不是完全對稱的，而且堆體表面有些凸凹不均，坡角也不是一致的。在沙粒流下的初始階段，沙粒數(shù)量較少，各處坡角也比較小，這時即使坡角大的某一處發(fā)生滑坡，產(chǎn)生沙崩，對其周圍的沙粒產(chǎn)生了影響，增大了某些地方的坡角，但增大后的坡角一般與臨界安定角相差較遠，此時還不至于引起新的沙崩。隨著流下沙粒數(shù)量的增加，沙堆各處的坡角逐漸增大，平均坡角開始慢慢地向臨界安定角逼近，若這時發(fā)生沙堆滑坡，產(chǎn)生沙崩，情況就和上述狀況不同了。此時，某一處發(fā)生滑坡產(chǎn)生小沙崩，就會對周圍的沙粒產(chǎn)生影響，引發(fā)規(guī)模不同的沙崩。這種情況表明沙堆模型已經(jīng)開始接近其自組織臨界狀態(tài)，即此時的沙堆模型很大程度上可以形象地表示協(xié)同學原理。

2 數(shù)學建模

應用于模擬仿真的沙堆模型普遍熟知的是奧斯陸模型（Olso-model），而且這類模型具有隨機更新規(guī)則，它的臨界坡度通過崩塌動態(tài)調(diào)整[9]。在模型的最初的一維空間中，沙粒流入1個具有若干個位點的平板上。當這個沙堆的局部邊坡在這個位點和它的鄰近的位點之間被賦予不同的高度，超過1個類似的局部極限時，沙粒通過下滑1個沙粒傾覆到鄰近的位點（從位點i到位點i+1）重新分布。這種做法是由1粒沙通過降低位置i的高度并且通過這個沙粒來增加位置i+1的高度，而且，在這樣的傾覆事件中局部極限被重新選擇。這個程序被反復執(zhí)行，直到所有的位點都達到穩(wěn)定狀態(tài)，在這個穩(wěn)定狀態(tài)點，1個新的沙粒流入到它的左側。由于這種更新規(guī)則的隨機化，在模型中平均臨界坡度實際上自組織到1個固定的值。這個模型根據(jù)局部極限可以很容易地用公式表示成zi=hi-hi+1[9]的形式。如果是這樣的話，其規(guī)則如下所示：

當 zi＞zc[9]時，

在這個表達公式中，模型的最初的沙堆性質不是直接地顯而易見的，然而，將其延伸到較高維數(shù)就會變得簡單易懂。這種模型的較高維空間也可以有效地應用在沙堆上，但在以下的敘述中，附加的維數(shù)將要考慮到空氣的特性，這種傾覆規(guī)則最簡單可能延伸（方程（1））到二維，同時包括下列的更新規(guī)則[9]：

適合于這種二維空間的更新發(fā)生在x軸的x=0時，在各自的崩塌后，它的值被增加1個（例如，z0，j→z0，j+1[9]）。在y軸，周期的邊界條件是設定的，而在x軸的邊界條件是公開的。

3 程序實現(xiàn)

設定沙粒流入具有n×n個位點的板上，沙粒數(shù)量為l，規(guī)定每個位點的沙粒數(shù)不能超過4個，若有1個位點的沙粒數(shù)超過了4個，則遵循就近原則，沙粒數(shù)超過4個的位點將選擇和這個位點最近的位點，將多余的1個沙粒傾覆到它最近的位點，這個程序被反復執(zhí)行，直到所有的位點都滿足沙粒數(shù)不超過4個，達到穩(wěn)定狀態(tài)。沙堆模型的程序流程圖如圖1所示。

圖1 沙堆模型的程序流程圖Fig.1 Program flow chart of sand pile model

根據(jù)上面的程序流程圖可以很容易地編寫出沙堆模型的程序，其部分源程序如下所示：

function sp=sandpile（n）

temp=0;

clc

k=-1;

l=0;

xtemp=linspace（k，k，100）;

ytemp=linspace（k，k，100）;

num=n;

%Numbers of grid

Sarray=zeros（num）;

while（l＜500）

xgrid=fix（rand*（num+0））+1;

ygrid=fix（rand*（num+0））+1;

Sarray（xgrid，ygrid）=Sarray（xgrid，ygrid）+1;

if Sarray（xgrid，ygrid）＞4

temp=1;

xtemp（1）=xgrid;

ytemp（1）=ygrid;

while（temp＞0）

xgrid=xtemp（1）

ygrid=ytemp（1）

if Sarray（xgrid，ygrid）＞4

Sarray=Saydear（num，xgrid，ygrid，Sarray）

[xtemp，ytemp，temp]=axidear（xgrid，ygrid，xtemp，ytemp，Sarray，temp）;

end

[xtemp，ytemp]=arrary（xtemp，ytemp，k）;

temp=temp-1;

end

end

l=l+1;

Sarray;

End

…………………………

根據(jù)編寫的沙堆模型的程序，可以方便地計算沙堆模型。例如，設定板子上的位點數(shù)n=10，沙子的沙粒數(shù)量為500粒。執(zhí)行程序后，可以很容易得到此種情況下沙粒的分布特性，其分布特性簡單易懂地表明了沙堆模型具有基于自組織臨界理論的協(xié)同學原理所揭示的規(guī)律。給定其他位點數(shù)和沙粒數(shù)，該沙堆模型同樣具有一致的模擬結果。所以說沙堆模型可以很好地形象地說明協(xié)同學原理。

4 結果討論

根據(jù)給定的沙堆模型的計算算例，總結出沙粒的分布特性是符合協(xié)同學原理的。其相似的分布特征可以在電力系統(tǒng)大停電數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)。類比在電力系統(tǒng)過載或過負荷的數(shù)據(jù)中，具有與沙堆模型相似的分布特征，則沙堆模型所揭示的規(guī)律也能夠較好地反映電網(wǎng)的過載或過負荷過程，由此可以根據(jù)實際電網(wǎng)過載或過負荷前的有限數(shù)據(jù)預測電網(wǎng)過載或過負荷的發(fā)生時間，為防止由于電力系統(tǒng)過載或過負荷引起的故障提供較充足的處理時間，從而可以減少故障發(fā)生的概率。

應當指出，沙堆模型能夠描述電網(wǎng)的一些規(guī)律，而本文所做的工作只是初步的，給出了沙堆模型的程序，演算了程序的執(zhí)行過程，分析了其分布特性，說明了沙堆模型可以形象地闡明協(xié)同學原理的自組織過程，為其在電力系統(tǒng)中的應用提供理論基礎。但并沒有過多地和電力系統(tǒng)進行聯(lián)系，沙堆模型在電網(wǎng)大停電研究中的應用也是結合國內(nèi)外近幾年的發(fā)展進行定性的闡述，其在電力系統(tǒng)過載或過負荷上的應用，只是提出了一種應用可能性，因此沙堆模型在電力系統(tǒng)中的實用性需要今后做進一步的深入研究。

[1]甘德強，胡江溢，韓禎祥.2003年國際若干停電事故思考[J].電力系統(tǒng)自動化，2004，28（3）：1-5.

[2]唐葆生.倫敦地區(qū)大停電及其教訓[J].電網(wǎng)技術，2003，27（11）：l-5.

[3]趙希正.強化電網(wǎng)安全保障可靠供電：美加“8·14”停電事件給我們的啟示[J].電網(wǎng)技術，2003，27（10）：1-7.

[4]何大愚.一年以后對美加”8·14”大停電事故的反斟[J].電網(wǎng)技術，2004，28（21）：1-5.

[5]王曉林.電力設備故障紅外診斷技術及其應用[J].甘肅電力技術，2005（1）：9-15.

[6]曹一家，江全元，丁理杰.電力系統(tǒng)大停電的自組織臨界現(xiàn)象[J].電網(wǎng)技術，2005，29（15）：1-5.

[7]曹一家，丁理杰，江全元，等.基于協(xié)同學原理的電力系統(tǒng)大停電預測模型[J].中國電機工程學報，2005，25（18）：13-19.

[8]柳 近，張世杰，李來福，等.類比沙堆模型的電網(wǎng)危害性展示模型[J].繼電器.2007，35（增刊）：354-358.

[9]Aegerter Cm.A sandpile midel for the distribution of rainfall?[J].PhysicaA，2003（319）：1-10.