不定度規(guī)空間內(nèi)的一類微分算子的自共軛性

趙迎春，布仁滿都拉

（1.赤峰學(xué)院初等教育學(xué)院，內(nèi)蒙古赤峰024000；2.赤峰學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院）

不定度規(guī)空間內(nèi)的一類微分算子的自共軛性

趙迎春1，布仁滿都拉2

（1.赤峰學(xué)院初等教育學(xué)院，內(nèi)蒙古赤峰024000；2.赤峰學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院）

本文建立了一個完備的不定度規(guī)空間，并在其上研究了一類帶有轉(zhuǎn)移邊界條件且權(quán)函數(shù)變號的Sturm-Liouville算子T，證明了算子T在完備的不定度規(guī)空間K中是自共軛的.

Sturm-Liouville算子；完備的不定度規(guī)空間；轉(zhuǎn)移條件；權(quán)函數(shù)

0 引言

不定度規(guī)空間上算子理論并不是Hilbert空間上的算子理論邏輯上的推廣，而是有著深厚的基礎(chǔ)的.它的應(yīng)用涉及到物理學(xué),數(shù)學(xué)及力學(xué)方面[1,2].本文建立了一個完備的不定度規(guī)空間，并在其上研究了一類帶有轉(zhuǎn)移邊界條件的不定Sturm-Liouville算子的自共軛性.下面給出有關(guān)完備不定度規(guī)空間的一些基本定義和結(jié)論.

定義0.1設(shè)鄯是復(fù)數(shù)域C上的線性空間.[.,.]是鄯上的共軛雙線性泛函.即滿足

(i)對任何x,y∈鄯,有[x,y]=[y,x].

(ii)對任何α,β∈C,和x,y,z∈鄯有[αx+βy,z]=α[x,z]+β[y,z].

稱[.,.]是鄯上的準(zhǔn)度規(guī)，而稱(鄯,[.,.])是準(zhǔn)度規(guī)空間.對于x,y∈鄯，如果[x,y]=0,那么稱x(按[.,.])直交于y,記為x⊥y.如果存在鄯中的非零向量x,滿足[x,y]=0，y∈鄯.那么稱準(zhǔn)度規(guī)是退化的.否則,稱為非退化的.如果準(zhǔn)度規(guī)[.,.]是非退化的,則稱準(zhǔn)度規(guī)為度規(guī).相應(yīng)地,稱(鄯,[.,.])為不定度規(guī)空間.

定義0.2設(shè)(鄯,[.,.])是不定度規(guī)空間,x∈鄯.如果滿足[x,x]≥0(或[x,x]≤0),那么稱x是(鄯,[.,.])上的半正(或半負(fù))向量；如果滿足[x,x]>0(或[x,x]<0),那么稱x是(鄯,[.,.])上的正(或負(fù))向量；如果[x,x]=0,那么稱x是零向量.設(shè)M是鄯的線性子空間,如果M中一切非零向量都是正(或負(fù)，或零性)的,那么稱M是鄯的正性(或負(fù)性,或零性)子空間.如果M中一切向量都是半正(或半負(fù))的,那么稱M是鄯的半正(或半負(fù))子空間.

定義0.3設(shè)M1,M2是不定度規(guī)空間的兩個線性子空間.如果對一切xj∈Mj,j=1,2都有[x1,x2]=0,那么稱M1,M2相互直交.稱線性空間M={x1+x2:xj∈Mj,j=1,2}是M1,M2的線性和.如果M1∩M2={0},稱M是M1,M2的直接和.如果M是M1,M2的直接和,并且M1∩M2={0},稱M是M1,M2的直交直接和.

定義0.4設(shè)(鄯,[.,.])是不定度規(guī)空間.如果存在鄯的正子空間H+,負(fù)子空間H-,使得

并且(鄯,[.,.]),(H-,-[.,.])都是Hilbert空間.那么稱(鄯,[.,.])為完備的不定度規(guī)空間或Krein空間.稱分解(0.1)為鄯的正則分解.

定義0.5對任意的x,y∈鄯,x=x++x-,y=y++y-,其中x+, y+∈H+,x-,y-∈H-,定義

則鄯是Hilbert空間，稱為與(鄯,[.,.])相關(guān)的Hilbert空間.稱(.,.)為由[.,.]誘導(dǎo)的內(nèi)積.

定義0.6令T是完備的不定度規(guī)空間鄯內(nèi)的一個稠定線性算子,定義T的共軛算子T+如下：向量y∈鄯屬于D (T+)當(dāng)且僅當(dāng)存在y+∈鄯使得

這時y+是唯一的.令T+y=y+,顯然0∈D(T+)且T+是一個線性算子，而且滿足關(guān)系式

且T+具有最大可能的定義域.

定義0.7設(shè)T是完備不定度規(guī)空間(鄯,[.,.])上的稠定線性算子.如果T奐T+,稱算子T是對稱的.如果T=T+,稱算子T是自共軛的.

1 一個完備的不定度規(guī)空間的建立

在空間H=L2(I)中定義：

其中θ是正實數(shù).則[.,.]是H內(nèi)的不定度規(guī).事實上,

(i)對任何f,g∈H,有[f,g]=[g,f].

(ii)對任何α,β∈C,f,g∈H,有[αf+βg,h]=α[f,h]+β[g,h].

(iii)若存在f∈H,使得對任意的g∈H,有[f,g]=0.

令H-={f∈H:f(x)|[-1,0)(0,1]≡0.易知(H+,[.,.] ),(H-,-[.,.]是Hilbert空間，且有

由不定度規(guī)的理論知識和H+,H-的定義，顯然有

引理1.1H+和H-分別是K的正子空間和負(fù)子空間.

引理1.2H+和H-按度規(guī)[.,.]互相正交.

由上述分析得出下面的結(jié)論：

定理1.1K是一個具有正則分解H+茌H-的完備的不定度規(guī)空間.

2 算子T的自共軛性設(shè)

定理2.1線性算子T是定義在K中的自共軛算子.

證明對于f,g∈D(T)，定義W(f,g;t)=f(t)g'(t)-g(t)f'(t).對任意的f,g∈D(T),由分部積分可得

由(2.2)式可得,W(f,g軃;-1)=W(f,g軃;1)=0.再由轉(zhuǎn)移條件直接計算可得,

因此

這表明T是對稱的.

下面只需證明：對于所有的f∈D(T)以及v和u，如果[Tf, v]=[f,u]，那么v∈D(T),且Tv=u.即

對任意的f∈∞0(I)奐D(T),且f(x)|(0,1]≡0，有

由標(biāo)準(zhǔn)的Sturm-Liouville理論,

故(i)和(iv)成立.由(iv)可知,對坌f∈D(T),有[Tf,v]=[f.lv/w],即為(lf,v)=(f,lv).

又因

根據(jù)納依瑪克補綴(patching)引理,存在函數(shù)f∈D(T),使得

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〔5〕王愛平,孫炯,高鵬飛.Completeness of eigenfunctions of Sturm-Liouville problems with transmission condition., 2005.

〔6〕夏道行，嚴(yán)紹宗.線性算子譜理論.不定度規(guī)空間上的算子理論.北京：科學(xué)出版社，1987.

O175.3

A

1673-260X（2010）11-0001-02