關(guān)于正六邊形旋轉(zhuǎn)對(duì)稱群的研究

董鴻飛

（赤峰學(xué)院物理與電子信息工程系，內(nèi)蒙古赤峰024000）

關(guān)于正六邊形旋轉(zhuǎn)對(duì)稱群的研究

董鴻飛

（赤峰學(xué)院物理與電子信息工程系，內(nèi)蒙古赤峰024000）

本文簡(jiǎn)要描述了正六邊形旋轉(zhuǎn)對(duì)稱群——D6群,通過(guò)對(duì)正六邊形的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的分析，得到正六邊形的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱群的群表，并對(duì)正六邊形旋轉(zhuǎn)對(duì)稱群的性質(zhì)進(jìn)行了分析，列出D6群的特征表.

群；群元；群表；特征標(biāo)

1 引言

盡管物理學(xué)中有許多復(fù)雜的細(xì)節(jié),但仍然存在著很多優(yōu)美之處及簡(jiǎn)單性,這多是來(lái)源于物理系統(tǒng)的對(duì)稱性.對(duì)稱性在物理學(xué)中起著重要的作用.對(duì)稱的概念和變換密切聯(lián)系在一起.所謂系統(tǒng)的對(duì)稱性是指它對(duì)某種變化保持不變的性質(zhì).保持系統(tǒng)不變的變換越多，系統(tǒng)的對(duì)稱性就越高.群的概念出現(xiàn)于十九世紀(jì)初,早期只是一種物理學(xué)家研究對(duì)稱性十分有效的數(shù)學(xué)工具,但很快有物理學(xué)家發(fā)現(xiàn)了它在物理學(xué)中有著很多用處.1890年Federov和1891年Schoenflies相繼用群論方法系統(tǒng)地解決了晶體分類(lèi)問(wèn)題,總結(jié)出230種空間群.空間群理論自建立以來(lái),在解釋晶體結(jié)構(gòu)、對(duì)晶體進(jìn)行分類(lèi)、幫助人們加深對(duì)哈密頓方程解的理解、簡(jiǎn)化哈密頓本征方程的求解等方面,起到巨大的作用.

2 正六邊形旋轉(zhuǎn)對(duì)稱群的構(gòu)造

本文只簡(jiǎn)單討論正六邊形的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱群：

圖1

正六邊形有6個(gè)頂點(diǎn),6條邊,如圖1所示正六邊形ABCDEF.聯(lián)結(jié)對(duì)邊的中心，得到線段ad,be,cf.對(duì)于正六邊形ABCDEF分別以其3條對(duì)角線AD,BE,CF為軸，規(guī)定順時(shí)針?lè)较驗(yàn)樾D(zhuǎn)正方向，用ma,mb，mc表示繞三個(gè)軸正向轉(zhuǎn)動(dòng)π的變換.

以正六邊形的3對(duì)對(duì)邊的中心連線ad,be,cf為旋轉(zhuǎn)軸,用md,me，mf表示繞軸正向轉(zhuǎn)動(dòng)π的變換.

以垂直于正六邊形的平面且過(guò)正六邊形中心的直線為旋轉(zhuǎn)軸Z，用C6，C62，C63，C64，C65表示繞Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)π/3,2π/3, π,4π/3,5π/3的轉(zhuǎn)動(dòng).

以上述12個(gè)元素為群元建立的群，為正六邊形的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱群，命名為D6群.

3 正六邊形的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱群群表

正六邊形的12個(gè)群元，分別為C6，C62，C63，C64，C65、ma、mb、mc、md、me、Mf.則正六邊形的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱群群表如表1：

4 正六邊形旋轉(zhuǎn)對(duì)稱群的性質(zhì)

D6群為正六邊形旋轉(zhuǎn)對(duì)稱群,有12個(gè)群元,所以D6群是12階群.這12個(gè)群元可以分六類(lèi),分別是

5 正六邊形旋轉(zhuǎn)對(duì)稱群表示的構(gòu)造

點(diǎn)的坐標(biāo)的變換，變換前的坐標(biāo)記作（x,y）,變換后的坐標(biāo)記作(x',y'),他們都用列矩陣表示，而變換元素表為2×2矩陣

表1

對(duì)每一個(gè)變換，把變換前后正六邊形的頂點(diǎn)坐標(biāo)代入①式，就可定出群元素對(duì)應(yīng)的矩陣形式.

例如：變換ma把B點(diǎn)變換到F點(diǎn)，把C點(diǎn)變換到E點(diǎn)，于是有等式：

6 正六邊形旋轉(zhuǎn)對(duì)稱群的特征標(biāo)表

D6群有12個(gè)群元，有六個(gè)自逆類(lèi)，由12+12+12+12+22+22=12知，它有四個(gè)一維、兩個(gè)二維不等價(jià)不可約的自共軛表示.得到D6群的特征標(biāo)表如下：

E2C62C62C633C'63C"6A1111111 A21111-1-1 B11-11-11-1 B21-11-1-11 E121-1-200 E22-1-1200

〔1〕馬中騏.物理學(xué)中的群論（第二版）.科學(xué)出版社，2006.

〔2〕A·W·約什.物理學(xué)中的群論基礎(chǔ).科學(xué)出版社，1986.

〔3〕陳金全.群表示論的新途徑.上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1984.

〔4〕俞文海.晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱群.中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，1991.

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