采用多自由度轉(zhuǎn)子模型的電磁軸承支承特性測試方法

蔣科堅(jiān)， 祝長生， 喬曉利， 陳亮亮

(1．浙江理工大學(xué)信息學(xué)院，浙江 杭州 310018； 2．浙江大學(xué)電氣工程學(xué)院，浙江 杭州 310027)

引 言

主動(dòng)電磁軸承(active magnetic bearing, AMB,以下簡稱電磁軸承)是一種新型的轉(zhuǎn)子支承技術(shù)。它采用主動(dòng)電磁力把轉(zhuǎn)子懸浮在期望位置，實(shí)現(xiàn)與傳統(tǒng)機(jī)械軸承相類似的轉(zhuǎn)子支承能力。相比較，電磁軸承不僅可以無接觸地支承轉(zhuǎn)子，避免傳統(tǒng)機(jī)械軸承出現(xiàn)的摩擦發(fā)熱、潤滑、疲勞等問題，滿足轉(zhuǎn)子高速旋轉(zhuǎn)的要求，而且還可以通過控制策略對(duì)軸承的動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行實(shí)時(shí)調(diào)節(jié)，實(shí)現(xiàn)對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)的主動(dòng)控制。

在傳統(tǒng)的轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)研究中，通常采用軸承的剛度阻尼模型來描述軸承的支承特性。在電磁軸承研究領(lǐng)域，為了描述電磁軸承的支承特性也沿襲了軸承的剛度阻尼概念，稱之為等效剛度和等效阻尼。雖然描述電磁軸承的支承特性有多種方式，但等效剛度和阻尼是最廣泛采用的表示形式。然而，電磁軸承的支承特性不僅與軸承的結(jié)構(gòu)尺寸有關(guān)，還決定于其控制器所采用的控制策略和參數(shù)，因此從理論上對(duì)電磁軸承等效剛度和阻尼參數(shù)的分析和確定十分困難。已有的研究表明，如果要理論計(jì)算電磁軸承的支承特性(即軸承的剛度和阻尼)，必須已知控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。然而，目前很多實(shí)際電磁軸承控制系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系不能夠簡單的歸結(jié)出一個(gè)傳遞函數(shù)表達(dá)式。再者，當(dāng)融入了數(shù)字信號(hào)處理和振動(dòng)控制算法的控制策略更難以用傳遞函數(shù)的形式來表示。這種無法得出傳遞函數(shù)的情況在電磁軸承控制中是普遍存在的，導(dǎo)致了理論計(jì)算電磁軸承支承特性的困難。因此，采用近似估算，并通過實(shí)驗(yàn)測量驗(yàn)證估算方法的正確性，顯得尤為重要。

目前對(duì)電磁軸承剛度阻尼參數(shù)的測量和推導(dǎo)，以及基于等效剛度和等效阻尼的電磁軸承轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)分析已有大量研究。Tsai等應(yīng)用小波變換識(shí)別電磁軸承的等效剛度和阻尼[1]，分析了等效剛度阻尼的非線性階次，并發(fā)現(xiàn)電磁軸承等效阻尼可能為負(fù)值的現(xiàn)象，意味著在某些位移和轉(zhuǎn)速下，控制是不穩(wěn)定的。Lim等采用激勵(lì)的方法[2]，識(shí)別了PID控制策略下電磁軸承的等效剛度和阻尼參數(shù)，分析其變化規(guī)律。Kim等提出了基于自適應(yīng)濾波器的方法[3]，通過最小均方誤差自適應(yīng)收斂得到電磁軸承的電流剛度系數(shù)和位移剛度系數(shù)。Mehmet等和Lim等提出多頻激勵(lì)方法進(jìn)行電磁軸承等效剛度的識(shí)別[4，5]，采用施羅德諧相序列有效避免了因激勵(lì)信號(hào)峰值疊加引起的激勵(lì)飽和問題。Bauomy分析了電磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在周期時(shí)變剛度條件下的非線性響應(yīng)行為[6]，并用4階Runge-Kutta法分析了系統(tǒng)在同步振動(dòng)和子諧波共振下的穩(wěn)定性。Sayyad研究了用可變剛度的電磁減震器控制懸臂梁的振動(dòng)[7]，其工作原理與單自由度方向上電磁軸承通過調(diào)節(jié)剛度抑制轉(zhuǎn)子振動(dòng)是相同的。在國內(nèi)，對(duì)電磁軸承支承特性也做了大量研究。虞烈較早地對(duì)電磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)支承特性展開了系統(tǒng)的理論研究[8]。胡業(yè)發(fā)等研究了由電磁軸承結(jié)構(gòu)引起的等效剛度和阻尼交叉現(xiàn)象[9]。趙雷等研究了定轉(zhuǎn)子氣隙和定子靜態(tài)偏置磁通密度與等效剛度的關(guān)系[10]，認(rèn)為其線性范圍決定軸承的最優(yōu)性能，以此為依據(jù)得到最優(yōu)等效剛度對(duì)應(yīng)的軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)。吳華春等對(duì)濾波、滯后、衰減等因素對(duì)電磁軸承等效剛度的影響進(jìn)行了理論分析[11]。楊作興等提出了單自由度復(fù)剛度的測試方法[12]。趙晶晶等提出基于激振識(shí)別的單自由度等效剛度和阻尼的測量方法[13]。

1 問題的提出

首先需要討論的是，由于電磁軸承控制策略設(shè)計(jì)的復(fù)雜多樣性，用傳統(tǒng)的剛度和阻尼概念來表示電磁軸承的支承特性，是否存在描述的局限性。因?yàn)橹挥性诘刃偠群偷刃ё枘岬母拍蠲枋鲞m用的前提下，再來討論如何分析或測試電磁軸承的等效剛度和阻尼才顯得有意義。

其次是如何對(duì)一個(gè)實(shí)際電磁軸承的等效剛度和阻尼參數(shù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)測試，以使得理論推導(dǎo)與實(shí)驗(yàn)測試相互驗(yàn)證。目前已有的電磁軸承等效剛度和阻尼測試方法大多都是基于單自由度模型的，不能適用于實(shí)際多自由度轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的測試，甚至無法實(shí)際操作。譬如，若要對(duì)多自由度的電磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)支承特性進(jìn)行測試，許多文獻(xiàn)采用的方法是將轉(zhuǎn)子一端擱在備用軸承上作為支點(diǎn)，另一端用電磁軸承懸浮并施加激勵(lì)測試。此時(shí)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)近似成杠桿結(jié)構(gòu)，可等效為一個(gè)單自由度的質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)。最后，基于這個(gè)近似的單自由度模型，實(shí)現(xiàn)等效剛度和阻尼的振動(dòng)參數(shù)識(shí)別。

這種單自由度電磁軸承等效剛度和阻尼的測試方法顯然是存在問題的。對(duì)于水平放置的轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)，雖然可以利用轉(zhuǎn)子重量使轉(zhuǎn)子一端擱在備用軸承上，可近似為支點(diǎn)。但是，因?yàn)檗D(zhuǎn)子在各自由度上的運(yùn)動(dòng)是耦合的，這一端電磁軸承的激勵(lì)會(huì)影響轉(zhuǎn)子另一端與備用軸承的穩(wěn)定接觸。一旦接觸不穩(wěn)定，就會(huì)破壞這種近似杠桿結(jié)構(gòu)的等效條件。另一方面，如果是直立的轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)，這種單端懸浮激勵(lì)的杠桿等效方法根本無法實(shí)現(xiàn)，無法實(shí)際操作。

因此，針對(duì)上述問題，本文首先分析了多自由度剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在電磁軸承支承條件與傳統(tǒng)機(jī)械軸承支承的差異和聯(lián)系，理論闡述了采用等效剛度和等效阻尼表示電磁軸承支承特性的適用范圍和描述局限性。然后，在適用的前提下，提出了一種基于多自由度轉(zhuǎn)子模型的，在轉(zhuǎn)子正常懸浮條件下能夠?qū)﹄姶泡S承徑向支承的所有等效剛度和阻尼參數(shù)進(jìn)行同時(shí)測量的方法。該方法對(duì)于兩個(gè)電磁軸承支承的剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的支承特性測試具有普遍的適用性和可操作性，以滿足實(shí)際復(fù)雜轉(zhuǎn)子動(dòng)力特性測試的需要。

2 單自由度電磁軸承支承的等效剛度和等效阻尼

對(duì)于單自由度的電磁軸承支承，其等效剛度和阻尼的概念是簡單明確的，即把電磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在某一方向的支承特性等效為傳統(tǒng)的單自由度質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)。利用與傳統(tǒng)機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)剛度和阻尼的對(duì)比，得到電磁軸承的等效剛度和阻尼參數(shù)。

單自由度質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)在時(shí)域的運(yùn)動(dòng)方程和拉氏變換后的頻率特性方程分別為

?

(1)

式中F為系統(tǒng)受到的外激勵(lì)力，X為位移，m為質(zhì)量，k和d分別表示系統(tǒng)的剛度和阻尼。

一個(gè)電磁軸承支承的單自由度系統(tǒng)，在線性電磁力條件下其運(yùn)動(dòng)方程為

(2)

式中fAMB為電磁軸承的電磁力，I為控制電流，kx和ki分別為電磁軸承的位移剛度系數(shù)和電流剛度系數(shù)。

對(duì)式(2)進(jìn)行拉氏變換，并且把控制電流與位移關(guān)系表示為傳遞函數(shù)的形式，即I(s)=G(s)X(s)，其中G(s)為電磁軸承控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，可得到頻率特性方程為

?

(3)

比較式(1)和式(3)，容易得到單自由度電磁軸承系統(tǒng)的等效剛度k和等效阻尼d表達(dá)式

(4)

式中 Re{ }和lm{ }分別表示復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部運(yùn)算?？梢姡碚撋嫌?jì)算電磁軸承的等效剛度和阻尼必須要知道電磁軸承控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(jω)(以下簡寫為G)。

另一方面，根據(jù)式(1)的頻率特性方程關(guān)系，也可通過激振實(shí)驗(yàn)，測量激勵(lì)和響應(yīng)之間的幅值和相角關(guān)系，求得k和d的值。大多數(shù)基于單自由度模型識(shí)別電磁軸承的等效剛度和阻尼的測量方法就是基于這個(gè)原理。

3 多自由度電磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的徑向等效剛度和等效阻尼

目前文獻(xiàn)對(duì)復(fù)雜結(jié)構(gòu)剛度阻尼的概念和定義存在一些差異。為了清楚起見，本文所述的電磁軸承轉(zhuǎn)子徑向支承的等效剛度和等效阻尼是指，把電磁軸承對(duì)轉(zhuǎn)子的徑向支承等效為如圖1所示的彈簧-阻尼支承結(jié)構(gòu)。將電磁軸承的電磁力等效為彈簧力和阻尼力，電磁力方向如圖分別為xa,xb,ya,yb，且4個(gè)方向的彈簧-阻尼支承互相獨(dú)立，即每個(gè)方向上彈簧力和阻尼力只是自己方向上的位移和速度的函數(shù)。如此等效后，4個(gè)方向支承所體現(xiàn)的剛度和阻尼，共8個(gè)參數(shù)(雖然由于位移傳感器安裝尺寸的限制，使得位移檢測與電磁線圈不在同一位置。為了簡化模型，本文近似認(rèn)為電磁軸承對(duì)轉(zhuǎn)子的電磁力作用點(diǎn)與位移檢測點(diǎn)在同一位置)。

圖1 電磁軸承-剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的等效模型

根據(jù)轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)理論，剛性轉(zhuǎn)子在空間的運(yùn)動(dòng)姿態(tài)可以用6個(gè)自由度來描述，分別為按空間3個(gè)互相垂直軸方向的平移(2個(gè)徑向，1個(gè)軸向)和繞這3個(gè)軸的旋轉(zhuǎn)。已有的研究表明，當(dāng)轉(zhuǎn)子處于靜止或低速旋轉(zhuǎn)時(shí)，其徑向和軸向之間，以及兩個(gè)互相垂直的徑向平面之間的運(yùn)動(dòng)耦合都可以忽略。

對(duì)于圖1所示的剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，在靜止或低速旋轉(zhuǎn)條件下，需要獲得徑向電磁軸承電磁力與轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)之間的關(guān)系。設(shè)O為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的質(zhì)心，z軸為轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)軸，兩個(gè)徑向電磁軸承的作用力位置與轉(zhuǎn)子質(zhì)心的距離分別為la和lb，兩個(gè)徑向電磁軸承間的距離為l=la+lb。設(shè)轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)向量為[X,θy,Y,θx]T，其中X和Y為轉(zhuǎn)子質(zhì)心在x和y軸方向上的位移，θy為轉(zhuǎn)子繞y軸在xz平面上的轉(zhuǎn)角，θx為轉(zhuǎn)子繞x軸在yz平面上的轉(zhuǎn)角，均以圖中所示箭頭方向?yàn)檎?。另設(shè)[xa,xb,ya,yb]T為轉(zhuǎn)子在兩電磁軸承處的位移，則[xa,xb,ya,yb]T與[X,θy,Y,θx]T間的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系為

(5)

設(shè)徑向電磁軸承在各方向上的等效剛度和阻尼分別為kxa,kxb,kya,kyb及dxa,dxb,dya,dyb。為了更貼近實(shí)際情況，這里假設(shè)電磁軸承各方向上的等效剛度和阻尼參數(shù)都不同。

首先，以電磁軸承的等效剛度和阻尼的形式表示圖1所示剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程

(6)

式中m和J分別為轉(zhuǎn)子的質(zhì)量和赤道轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，F(xiàn)x和Fy分別為x和y方向的外激勵(lì)力，Mx及My分別為Fx和Fy相對(duì)于轉(zhuǎn)子質(zhì)心的外力矩。

將式(5)代入(6)，并用矩陣表示為

(7)

對(duì)式(7)進(jìn)行拉氏變換，得到的頻率特性方程為

(8)

為簡化公式書寫，其中，ma=mω2la/l，mb=mω2lb/l，Jr=Jω2/l。

然后，以電磁軸承電磁力的形式，重新推導(dǎo)圖1所示轉(zhuǎn)子的運(yùn)動(dòng)方程。設(shè)徑向電磁軸承各方向上的電流剛度系數(shù)和位移剛度系數(shù)分別為ki xa,ki xb,ki ya,ki yb及kx xa,kx xb,kx ya,kx yb，則在電磁力線性范圍內(nèi)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程可表示為

(9)

式中Ixa,Ixb,Iya,Iyb分別為徑向電磁軸承在各方向上的控制電流。

同樣，也將式(5)代入式(9)，整理為矩陣形式

①分散控制策略: 即在某方向上電磁力的控制電流只與該方向上的轉(zhuǎn)子位移有關(guān)，可用對(duì)角形式的傳遞函數(shù)矩陣表示為

(11)

式中G為控制電流與轉(zhuǎn)子位移間的傳遞函數(shù)關(guān)系，其下標(biāo)表示控制電流和位移方向的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

對(duì)式(10)進(jìn)行拉氏變換，代入式(11)整理后得

(12)

比較式(12)和式(8)，可以容易得出采用分散控制策略的電磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)等效剛度和阻尼的表達(dá)式為：

kxa=kixaRe{Gxaxa}-kxxa;dxa=kixaIm{Gxaxa}/ω；

kxb=kixbRe{Gxbxb}-kxxb;dxb=kixbIm{Gxbxb}/ω；

kya=kiyaRe{Gyaya}-kxya;dya=kiyaIm{Gyaya}/ω；

kyb=kiybRe{Gybyb}-kxyb;dyb=kiybIm{Gybyb}/ω

(13)

可見，當(dāng)采用分散控制策略時(shí)，轉(zhuǎn)子的徑向自由度支承特性可用如圖1所示的各方向獨(dú)立的剛度阻尼結(jié)構(gòu)模型來描述，每個(gè)方向的等效剛度阻尼只與本方向的電流剛度系數(shù)和位移剛度系數(shù)有關(guān)。

②同一平面內(nèi)的交叉控制: 即控制電流與x或y同一平面內(nèi)的轉(zhuǎn)子兩側(cè)位移都有關(guān)。在解決轉(zhuǎn)子在同一平面內(nèi)的機(jī)械運(yùn)動(dòng)解耦時(shí)，經(jīng)常采用這類控制方法。傳遞函數(shù)矩陣表示如下

(14)

對(duì)式(10)進(jìn)行拉氏變換，代入式(14)整理后得

=

(15)

比較式(15)和式(8)，也可以得出采用同一平面內(nèi)交叉控制的等效剛度和阻尼的表達(dá)式為

(16)

可見，當(dāng)采用同一平面內(nèi)的電磁力交叉控制時(shí)，轉(zhuǎn)子的徑向自由度支承特性仍可用如圖1所示的4個(gè)方向獨(dú)立的剛度阻尼結(jié)構(gòu)模型描述。每個(gè)方向的等效剛度阻尼參數(shù)包含了同平面互相交叉的兩個(gè)電流剛度系數(shù)項(xiàng)，而位移剛度系數(shù)項(xiàng)不交叉。

③不同平面之間的交叉控制時(shí)，即控制策略中有x和y兩平面之間的電磁力交叉控制。在考慮轉(zhuǎn)子的陀螺效應(yīng)解耦時(shí)，會(huì)采用這類控制方法，傳遞函數(shù)矩陣表示為

(17)

同樣將式(17) 代入式(10)的拉氏變換，整理后與式(8)比較發(fā)現(xiàn)，等號(hào)左邊矩陣的形式不一致，出現(xiàn)了xy平面之間的非零交叉項(xiàng)。這說明傳統(tǒng)的剛度阻尼概念無法全面地表達(dá)電磁軸承在不同平面之間交叉剛度阻尼的概念。

雖然，在轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)中，對(duì)傳統(tǒng)機(jī)械軸承已經(jīng)有交叉剛度和交叉阻尼的概念，但這與電磁軸承的情況是有本質(zhì)區(qū)別的。原因在于，電磁軸承等效剛度表達(dá)式中包含兩項(xiàng)，如式(4)，位移剛度系數(shù)kx項(xiàng)(一些文獻(xiàn)稱之為被動(dòng)剛度)和電流剛度系數(shù)ki項(xiàng)(一些文獻(xiàn)稱之為主動(dòng)剛度)。傳統(tǒng)機(jī)械軸承的交叉剛度只能近似于電磁軸承交叉剛度中的被動(dòng)剛度部分的概念。對(duì)于電磁軸承的主動(dòng)交叉剛度目前尚沒有公認(rèn)的統(tǒng)一的表示方法。目前，有些文獻(xiàn)把同平面內(nèi)和不同平面之間的交叉剛度統(tǒng)一起來表示；另一些文獻(xiàn)直接用電磁力在模型中表示；還有一些文獻(xiàn)把等效剛度和阻尼考慮為轉(zhuǎn)子的基本懸浮環(huán)境，把振動(dòng)控制，如陀螺交叉解耦、不平衡力控制等，作為附加電磁力處理。但上述都只是針對(duì)某一具體問題提出的表示方法，目前尚沒有被普遍公認(rèn)的統(tǒng)一方法或表示參數(shù)。

4 多自由度剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)支承特性測量方法

在電磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)等效剛度和等效阻尼的測量中，只有上述控制策略的前兩種情況，其測量才是有意義的。當(dāng)采用不同平面之間的電磁力交叉控制，等效剛度和阻尼不能充分描述電磁軸承的支承特性，測量結(jié)果也是無意義的。本文所述測量方法只限用于前兩種情況。

對(duì)于圖1所示的徑向電磁軸承-剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，其系統(tǒng)等效模型的頻域形式可用式(8)表示。為了敘述方便，令式中的

Axa=kxa+jωdxa，Axb=kxb+jωdxb，Aya=kya+jωdya，Ayb=kyb+jωdyb

(18)

代入式(8)后，可得

(19)

在式(19)中，激勵(lì)信號(hào)和轉(zhuǎn)子響應(yīng)在激振測試中是已知量，而4個(gè)未知復(fù)數(shù)量Axa,Axb,Aya,Ayb是待測的。顯然，式(19)是一個(gè)四元一次復(fù)數(shù)方程組。如果能通過激振實(shí)驗(yàn)得到4個(gè)不相關(guān)的復(fù)數(shù)方程，則從方程組(19)中可以解得與等效剛度和阻尼參數(shù)相關(guān)的4個(gè)復(fù)系數(shù)為

(20)

解出Axa,Axb,Aya,Ayb后，可根據(jù)式(18)得到等效剛度阻尼參數(shù)的測量結(jié)果為

(21)

理論上，兩個(gè)電磁軸承任何組合形式的激勵(lì)，都可測得響應(yīng)數(shù)據(jù)，完成式(19)的方程組求解。為了簡化測試和方便求解過程，本文采用在一個(gè)電磁軸承x和y方向的控制電流中分別疊加正弦和余弦激勵(lì)信號(hào)的激勵(lì)方法，形成矢量軌跡為圓形的激勵(lì)力。在轉(zhuǎn)子懸浮時(shí)，只要在一個(gè)電磁軸承疊加激勵(lì)測量一次，便可得到4個(gè)方程，求解所有8個(gè)等效剛度阻尼參數(shù)。

另外，關(guān)于如何在有噪聲的全頻振動(dòng)信號(hào)中，提取與激勵(lì)頻率對(duì)應(yīng)的同頻響應(yīng)信號(hào)成分的方法，可參考文[15,16]或其他文獻(xiàn)，因篇幅所限，本文不再重復(fù)敘述。

5 實(shí)驗(yàn)和分析

5.1 實(shí)驗(yàn)裝置

實(shí)驗(yàn)裝置為如圖2所示的電磁軸承-立式剛性飛輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)。轉(zhuǎn)子徑向由上下兩個(gè)電磁軸承支承，軸向由一個(gè)永磁軸承支承。徑向電磁軸承懸浮間隙為0.3 mm，輔助軸承間隙為0.2 mm。如圖3是轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)簡圖，轉(zhuǎn)子的質(zhì)量m=58.32 kg，赤道轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J=1.878 kg·m2。以電磁軸承轉(zhuǎn)子的中心作為電磁力作用點(diǎn)，質(zhì)心位置按轉(zhuǎn)子各分段的材料和尺寸算出，得到la=305 mm,lb=222 mm。兩個(gè)電磁軸承的電流剛度系數(shù)，上電磁軸承為326.15 N/A，下電磁軸承為111.32 N/A。懸浮控制和測量是在d-SPACE DS1103實(shí)驗(yàn)平臺(tái)上實(shí)現(xiàn)的?？刂破鞑捎?自由度的分散PID控制，增加了數(shù)字濾波器和近似微分環(huán)節(jié)以降低噪聲干擾。轉(zhuǎn)子懸浮控制采樣頻率為50 kHz，激勵(lì)測試實(shí)驗(yàn)在10 kHz采樣頻率下進(jìn)行。

圖2 電磁軸承-剛性轉(zhuǎn)子實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)

圖3 轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)簡圖

為了大致掌握轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在1～200 Hz待測頻率范圍內(nèi)的振動(dòng)情況，事先測試了轉(zhuǎn)子各自由度的振動(dòng)幅頻特性。圖4和5分別為施加激勵(lì)后上下電磁軸承處，所檢測到的轉(zhuǎn)子振動(dòng)幅頻特性圖。由圖中可知，在各個(gè)方向上，轉(zhuǎn)子隨頻率變化的振動(dòng)峰值集中出現(xiàn)在20 Hz和60 Hz頻率段。其中在26 Hz和54 Hz處有2個(gè)較大的振動(dòng)峰值，應(yīng)為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)剛體振型的錐動(dòng)和平動(dòng)的2個(gè)模態(tài)頻率。其他較小峰值是轉(zhuǎn)子多個(gè)自由度之間的運(yùn)動(dòng)耦合引起的。由于轉(zhuǎn)子各方向上的等效剛度和阻尼有一定差異，引起了各方向共振頻率的差異，并且相互耦合影響。當(dāng)激勵(lì)頻率超過100 Hz后，轉(zhuǎn)子的振動(dòng)幅值迅速減小。

圖4 上電磁軸承處的轉(zhuǎn)子振動(dòng)幅頻特性

圖5 下電磁軸承處的轉(zhuǎn)子振動(dòng)幅頻特性

5.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果和分析

首先，用上側(cè)電磁軸承施加激勵(lì)進(jìn)行測試，分別在x和y方向施加正弦和余弦激勵(lì)電流，形成圓形矢量軌跡的激勵(lì)力，激勵(lì)力幅值為20.83 N。激勵(lì)力幅值選取原則是能夠保證在整個(gè)待測頻率范圍內(nèi)，施加激勵(lì)不能破壞轉(zhuǎn)子的懸浮穩(wěn)定性。即使在臨界頻率附近振動(dòng)較大，也至少能維持懸浮狀態(tài)。通過上側(cè)電磁軸承施加激勵(lì)測試，得到了上電磁軸承x及y方向和下電磁軸承x及y方向上的等效剛度和等效阻尼的測試結(jié)果分別如圖6和7所示(等效阻尼由于彼此接近，未標(biāo)明方向)。

圖6 上電磁軸承激勵(lì)得到的4個(gè)方向等效剛度測試結(jié)果

圖7 上電磁軸承激勵(lì)得到的4個(gè)方向等效阻尼測試結(jié)果

為了檢驗(yàn)上述的測量結(jié)果，用下側(cè)電磁軸承施加激勵(lì)重復(fù)進(jìn)行前面的測試實(shí)驗(yàn)，得到4個(gè)方向上的等效剛度和等效阻尼的測試結(jié)果分別如圖8和圖9所示。

根據(jù)兩次實(shí)驗(yàn)測量可知，用上側(cè)和下側(cè)電磁軸承施加激勵(lì)，得到的4個(gè)方向的等效剛度和等效阻尼的測試結(jié)果是相互吻合的。

從圖6和8可知，電磁軸承的等效剛度隨頻率升高而逐漸增大，這與目前電磁軸承剛度特性的理論研究和實(shí)驗(yàn)研究文獻(xiàn)的結(jié)論是一致的，即采用PID控制的電磁軸承，其等效剛度隨頻率遞增。另外，值得注意的情況是等效剛度測量結(jié)果在20 Hz和60 Hz頻率段中波動(dòng)較大，有多個(gè)下凹的缺口。分析其主要原因：(1) 在靠近轉(zhuǎn)子的固有模態(tài)頻率時(shí)，轉(zhuǎn)子振動(dòng)特性隨頻率變化劇烈。并且，轉(zhuǎn)子各方向的固有模態(tài)頻率彼此有差異，但較接近，互相耦合影響，導(dǎo)致在20～60 Hz頻率段的振動(dòng)較為混亂，信號(hào)獲取隨頻率變化劇烈。(2) 在轉(zhuǎn)子的固有模態(tài)頻率附近，轉(zhuǎn)子的振動(dòng)幅值較大，使得電磁軸承控制電流增大。由于實(shí)驗(yàn)裝置中的兩個(gè)電磁軸承的控制采用了差動(dòng)結(jié)構(gòu)，當(dāng)控制電流大于偏置電流后，電磁力只靠單側(cè)線圈產(chǎn)生。因此，等效剛度理論上會(huì)衰減一半。對(duì)于電磁軸承剛度在固有模態(tài)頻率點(diǎn)會(huì)降低的現(xiàn)象，文獻(xiàn)[15]在單自由度的剛度測試實(shí)驗(yàn)中就已經(jīng)觀察到。

圖8 下電磁軸承激勵(lì)得到的4個(gè)方向等效剛度測試結(jié)果

圖9 下電磁軸承激勵(lì)得到的4個(gè)方向等效阻尼測試結(jié)果

從圖7和9可知，電磁軸承的等效阻尼在低頻端變化不大，頻率升高后，等效阻尼反而會(huì)下降。這個(gè)變化規(guī)律也是和目前研究文獻(xiàn)的結(jié)論是吻合的。同樣也可看到，等效阻尼在轉(zhuǎn)子模態(tài)頻率點(diǎn)的測量值也有波動(dòng)。從圖7和9中還可注意到，電磁軸承等效阻尼在頻率升高后，等效阻尼下降出現(xiàn)負(fù)值。一般認(rèn)為，傳統(tǒng)機(jī)械軸承的阻尼是不可能出現(xiàn)負(fù)值的，而電磁軸承的支承特性可根據(jù)控制策略進(jìn)行調(diào)節(jié)。電磁軸承的阻尼主要由控制策略的微分環(huán)節(jié)強(qiáng)弱決定。

本實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)電磁軸承的阻尼為負(fù)值的情況。電磁軸承的懸浮使轉(zhuǎn)子外阻尼為零，而電磁軸承控制中的微分環(huán)節(jié)是對(duì)速度的控制作用，具有阻尼的特性，稱為內(nèi)阻尼。研究發(fā)現(xiàn)，如果電磁軸承控制采用PD控制(比例微分控制)，那么其支承阻尼值始終為正值。如果控制中含有積分環(huán)節(jié)，如PID控制，或有類似積分環(huán)節(jié)，那么無論是理論計(jì)算還是實(shí)際測試，其阻尼值都有可能出現(xiàn)負(fù)值。在文獻(xiàn)[1、2、5、11、14、15]的電磁軸承特性研究中，都涉及了等效阻尼為負(fù)值的情況。由于本文著重論述和分析的是測量方法本身，對(duì)于電磁軸承出現(xiàn)負(fù)值等效阻尼的問題，篇幅所限，只予以簡要介紹，恕不展開討論。

根據(jù)實(shí)驗(yàn)的實(shí)際情況，在大多數(shù)頻率段(指固有模態(tài)頻率以外的頻率段)，轉(zhuǎn)子振動(dòng)信號(hào)的幅值和相位的測量都具有非常好的穩(wěn)定性和重復(fù)性，測試效果非常好。在轉(zhuǎn)子的固有模態(tài)頻率段時(shí)，由于轉(zhuǎn)子振動(dòng)隨頻率變化劇烈，測量讀數(shù)會(huì)比較不穩(wěn)定，必須適當(dāng)減小激勵(lì)幅度，以控制轉(zhuǎn)子振動(dòng)在一個(gè)適當(dāng)?shù)某潭?，激?lì)實(shí)驗(yàn)可正常進(jìn)行。

6 結(jié) 論

本文首先分析了多自由度剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在電磁軸承支承條件與傳統(tǒng)機(jī)械軸承的差異和共性，以及用等效剛度和等效阻尼描述電磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)支承特性的適用范圍。然后，提出了一種基于多自由度轉(zhuǎn)子模型的，在轉(zhuǎn)子懸浮條件下，對(duì)轉(zhuǎn)子徑向支承等效剛度和等效阻尼參數(shù)進(jìn)行測量的方法。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該方法是可行的，能夠直接測量電磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在不同頻率下的等效剛度和等效阻尼，真實(shí)地反映電磁軸承支承特性的實(shí)際情況，對(duì)于不同結(jié)構(gòu)的電磁軸承-剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)具有普遍的適用性和可操作性，具有較強(qiáng)的實(shí)用意義。

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