用于指導(dǎo)交流電橋?qū)嶒?yàn)調(diào)零的矢量數(shù)學(xué)模型

張瑞斌,秦 穎,李敬安,黃曉明,賴(lài) 優(yōu)

(大連理工大學(xué)物理與光電工程學(xué)院,遼寧大連116024)

用于指導(dǎo)交流電橋?qū)嶒?yàn)調(diào)零的矢量數(shù)學(xué)模型

張瑞斌,秦 穎,李敬安,黃曉明,賴(lài) 優(yōu)

(大連理工大學(xué)物理與光電工程學(xué)院,遼寧大連116024)

建立交流電橋的矢量分析模型,用圖示法討論交流電橋?qū)嶒?yàn),從理論上以更加直觀明了的方式指導(dǎo)調(diào)零步驟、進(jìn)行實(shí)驗(yàn)分析以及計(jì)算機(jī)模擬.

交流電橋;圖示法;調(diào)零

1 引 言

交流電橋電路如圖1所示,電橋達(dá)到平衡時(shí),毫伏表示數(shù)為零,上下橋臂電位差為零,電橋相對(duì)橋臂的復(fù)阻抗乘積相等.平衡方程為[1-2]

圖1 交流電橋原理圖

由(1)式可知,交流電橋與直流電橋的原理十分相近,但是交流電橋討論的是復(fù)阻抗(具有實(shí)部和虛部),通常的解決方法是將(1)式分解為分別關(guān)于實(shí)部和虛部的2個(gè)線(xiàn)性方程,這種數(shù)學(xué)模型很好地體現(xiàn)了交流電橋的本質(zhì)特征,易于理解.但無(wú)法直觀再現(xiàn)交流電橋的平衡過(guò)程,難以討論和比較各種設(shè)計(jì)方案.另外,這種傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型很難翻譯成計(jì)算機(jī)語(yǔ)言,難以數(shù)值模擬.

鑒于此,最好的解決辦法是提出新的數(shù)學(xué)模型.分析平衡方程(1)式,發(fā)現(xiàn)交流電橋與直流電橋的區(qū)別就是將電阻(標(biāo)量)擴(kuò)展為復(fù)阻抗(二維矢量).于是嘗試建立交流電橋的矢量分析模型,也就是用圖示法討論交流電橋?qū)嶒?yàn).

2 實(shí)驗(yàn)選擇標(biāo)準(zhǔn)及優(yōu)劣判據(jù)

電橋?qū)嶒?yàn)設(shè)計(jì)的優(yōu)劣判據(jù)如下:

1)盡量調(diào)節(jié)電阻.由于制作工藝上的差異,電容和電感在調(diào)節(jié)精度和穩(wěn)定性上都遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于電阻;另一方面,可變電容、電感的最小刻度也無(wú)法達(dá)到足夠的精度.因而為了提高精度,盡量選用可變電阻以及定值電容和電感.

2)盡量提高調(diào)節(jié)的速度和測(cè)量的精度.

3 運(yùn)用圖示法討論交流電橋的成功案例

3.1 案例1:調(diào)節(jié)標(biāo)準(zhǔn)電阻R0和電感L0

先用最簡(jiǎn)單的電橋配制方法來(lái)闡述圖示法的基本原理.

電路如圖2所示,用j代表虛數(shù)單位,則電橋平衡方程可寫(xiě)成(2)式:其中,R1和R2是比率臂的2個(gè)可調(diào)電阻,L0為已知電感值,Lx和rx分別為待測(cè)電感值和內(nèi)阻, ω為交流電的圓頻率.此處r0=R0+rL0,其中R0為外加可調(diào)電阻,rL0為已知電感的內(nèi)阻.

圖2 調(diào)節(jié)標(biāo)準(zhǔn)電阻和電感

在實(shí)際問(wèn)題中可以對(duì)(2)式做如下變形:

式中,M=R2/R1,在此選為定值(經(jīng)驗(yàn)表明,M取0.5～2比較合適).

設(shè)矢量OAi代表M(rx+jωLx),OBi代表(r0+jωL0),其中i=1,2….初始時(shí)刻狀態(tài)所對(duì)應(yīng)的矢量為OA1,OB1,經(jīng)過(guò)調(diào)節(jié)后OB1與OA1重合.根據(jù)交流電橋的平衡方程可以證明(證明略):OAi與OBi差值|AiBi|越小,越接近平衡狀態(tài),當(dāng)兩矢量差值為零時(shí),毫伏表的示數(shù)為零,此時(shí)交流電橋達(dá)到平衡狀態(tài)[1].

利用(3)式設(shè)計(jì)如下步驟進(jìn)行調(diào)節(jié),矢量變化如圖3所示.

圖3 對(duì)應(yīng)圖2的矢量變化軌跡

1)先調(diào)節(jié)R0值,就是調(diào)節(jié)向量OBi的實(shí)部,將復(fù)阻抗(r0+jωL0)的端點(diǎn)B在直線(xiàn)B1B2上滑移,直到毫伏表示數(shù)最小,如圖中矢量OB2的狀態(tài),此時(shí)B1B2⊥A1B2,差值最小.

2)再調(diào)節(jié)L0值,對(duì)應(yīng)于B2沿豎直直線(xiàn)滑移到A1,此時(shí)OA1=OB2,毫伏表示數(shù)為零,達(dá)到了平衡狀態(tài).

3)加大電源電壓,重復(fù)實(shí)驗(yàn),直到所需精度.

上述調(diào)零方式十分簡(jiǎn)便,物理過(guò)程顯得十分清晰.這種調(diào)零方式是實(shí)驗(yàn)室里最常見(jiàn)的方法.但是該方法調(diào)節(jié)了電感L0,明顯違背了上文“盡量調(diào)節(jié)可變電阻”的約定,需要改進(jìn).

3.2 案例2:調(diào)節(jié)標(biāo)準(zhǔn)電阻R0及倍率M(R2)

分析圖2,發(fā)現(xiàn)一共有4個(gè)可調(diào)量:R1,R2, R0,L0.首先排除L0(不調(diào)電感).根據(jù)(3)式可知,調(diào)節(jié)R1,R2改變倍率M(M=R2/R1),為了簡(jiǎn)單只需調(diào)節(jié)其中的一個(gè),在此選調(diào)R2.因而確定R2和R0作為可調(diào)量,電路如圖4所示.仍采用(3)式,在此M不再是定值,調(diào)節(jié)R2則M變化.

圖4 調(diào)節(jié)標(biāo)準(zhǔn)電阻R2和R0

用圖示法表示,改變M的值,會(huì)使矢量OAi在直線(xiàn)OA上線(xiàn)性地伸縮,調(diào)節(jié)R0的值,會(huì)使矢量OBi端點(diǎn)Bi在直線(xiàn)B1Bi上滑移[1-3].

如圖5所示,調(diào)節(jié)步驟如下:

1)調(diào)節(jié)R0使毫伏表示數(shù)最小;

2)繼而調(diào)節(jié)M(M隨R2線(xiàn)性變化),直到毫伏表示數(shù)最小;

3)重復(fù)步驟1)和步驟2),循環(huán)調(diào)節(jié)直到所需精度.

圖5 對(duì)應(yīng)圖4的矢量變化軌跡

很明顯,通過(guò)上述調(diào)節(jié)步驟,OBi與OAi趨于重合,達(dá)到電橋平衡.

以上討論中,顯示了圖示法的優(yōu)越性,將繁雜的交流電橋調(diào)節(jié)步驟用矢量圖簡(jiǎn)易地表達(dá)出來(lái),調(diào)節(jié)步驟清晰,提高了實(shí)驗(yàn)效率.

3.3 案例3:調(diào)節(jié)被測(cè)端標(biāo)準(zhǔn)電阻Rx0及倍率(R2)

在以上2個(gè)案例的啟發(fā)下找到了更加快速準(zhǔn)確的調(diào)節(jié)方法.設(shè)計(jì)電路如圖6所示,圖中Lx和rx分別為待測(cè)電感和內(nèi)阻,在待測(cè)電感橋臂上串聯(lián)可調(diào)電阻Rx0,為便于描述,設(shè)Rx=rx+Rx0.

平衡方程為

圖6 可調(diào)標(biāo)準(zhǔn)電阻接入被測(cè)端

變形后為

其中M=R2/R1.

設(shè)OAi表示矢量M(Rx+jωLx)和OB表示矢量(r0+jωL0);初始時(shí)刻的狀態(tài)對(duì)應(yīng)于OA1和OB,經(jīng)過(guò)步驟1),2)后對(duì)應(yīng)于OA2,OB,以此類(lèi)推.

根據(jù)上述分析,可得到調(diào)零過(guò)程如下:

1)調(diào)節(jié)Rx,使毫伏表示數(shù)最小,對(duì)應(yīng)于A1水平滑移到A2,此時(shí)BA2與實(shí)軸垂直;

2)調(diào)節(jié)R2,使毫伏表示數(shù)最小,對(duì)應(yīng)于A2沿直線(xiàn)OA2滑移到A3,此時(shí)OA3⊥BA3;

3)重復(fù)上述過(guò)程,直到所需精度要求.

矢量變化軌跡如圖7所示.從圖中很容易看出,OAi以更快的速度收斂于OB,此種調(diào)零方式比案例2更快地達(dá)到平衡.

圖7 對(duì)應(yīng)圖6的矢量變化軌跡

從案例2和3可以看出,圖示法挖掘出了交流電橋調(diào)零過(guò)程中的迭代關(guān)系(不斷地尋找垂線(xiàn)).根據(jù)垂直矢量點(diǎn)乘積為零,可以寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的迭代算式.采用數(shù)值模擬的方法,定量地比較例2和3兩種方法的優(yōu)劣,結(jié)果見(jiàn)表1.為了編程方便,已把電阻和電感無(wú)量綱化.設(shè)案例2和3中初始狀態(tài)相同,均為A=(2,1),B=(1,6)

表1 向量A和B差量的模

模擬數(shù)據(jù)證明案例3所選方法明顯優(yōu)于案例2,尤其是在精度要求高的情況下,案例3收斂速度快的優(yōu)點(diǎn)尤為明顯.

比較案例2和3.如果用原來(lái)的數(shù)學(xué)模型來(lái)比較上述2種方法優(yōu)劣非常困難,而圖示法卻一目了然.主要原因就在于圖示法挖掘?qū)嶒?yàn)數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)本質(zhì)(矢量和復(fù)數(shù)),并運(yùn)用相應(yīng)的數(shù)學(xué)工具建立了恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型,能很好地解決有關(guān)問(wèn)題.

3.4 案例4:調(diào)節(jié)與被測(cè)端并聯(lián)的標(biāo)準(zhǔn)電阻Rx0及倍率(R2)

下面把圖示法的應(yīng)用推廣到元件并聯(lián),設(shè)計(jì)電路圖如圖8所示.

圖8 可調(diào)標(biāo)準(zhǔn)電阻與被測(cè)端并聯(lián)

首先把電橋平衡方程(1)改寫(xiě)為

在本電路中,平衡方程的具體形式為

式中,R1和R2為上橋臂2個(gè)已知的電阻,Lx和rx為待測(cè)的電感和其內(nèi)阻,L0和rL0為已知的標(biāo)準(zhǔn)電感和其內(nèi)阻.

設(shè)M=R2/R1,則,有2個(gè)可調(diào)量:依次調(diào)節(jié)M和 Rx0就可以逼近平衡狀態(tài).

設(shè)OAi代表矢量OBi代表矢量

如圖9所示,初始時(shí)刻的狀態(tài)對(duì)應(yīng)于OA1和OB1,經(jīng)過(guò)以下步驟1)和2)后對(duì)應(yīng)于OA2和OB2,以此類(lèi)推.

圖9 對(duì)應(yīng)圖8的矢量變化軌跡

具體調(diào)節(jié)方法如下:

1)調(diào)節(jié)Rx0使毫伏表示數(shù)最小,對(duì)應(yīng)于矢量OA1沿水平直線(xiàn)滑移到OA2,此時(shí)A2B1與實(shí)軸垂直;

2)調(diào)節(jié)R2使毫伏表示數(shù)最小,對(duì)應(yīng)于OB1沿直線(xiàn)OB1滑移到OB2,此時(shí)A2B2⊥OB1;

3)重復(fù)步驟1)和2),直到所需精度.

上述調(diào)零過(guò)程與案例3相似,也可以很快的速度趨于平衡.這種方法最大特點(diǎn)是加入了并聯(lián)微調(diào)電阻.之所以稱(chēng)其為微調(diào)電阻,是因?yàn)镽x0常取一個(gè)極大的阻值,導(dǎo)致1/Rx0變化極其緩慢(雙曲線(xiàn)的性質(zhì)),從而可以實(shí)現(xiàn)及其細(xì)微的變化.這一點(diǎn)在高精度調(diào)節(jié)中是很有必要的.另外并聯(lián)元件在一定程度上還可以增大系統(tǒng)的抗干擾能力[4-5].

本例再一次說(shuō)明了圖示法的巨大優(yōu)勢(shì).由于元件并聯(lián)公式較為復(fù)雜,用原來(lái)解析的方法來(lái)研究,復(fù)雜度將大大提高,而對(duì)于圖示法而言,經(jīng)過(guò)復(fù)阻抗取倒數(shù)的變換,調(diào)零過(guò)程依然簡(jiǎn)潔明了.

本文選擇了若干含電感的交流電橋討論圖示法的優(yōu)點(diǎn),其方法同樣適用于含電容的交流電橋.

[1] 董有爾.大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)[M].合肥:中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社,2006:125-130.

[2] 王愛(ài)中.利用直流電橋測(cè)量電容[J].物理實(shí)驗(yàn), 2008,28(4):34-35.

[3] 楊振萍,潘學(xué)軍.交流電橋臂的配置與靈敏度[J].四川師范大學(xué)學(xué)報(bào),1999,22(3):214-218.

[4] 夏寶順.交流電橋有關(guān)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象分析[J].物理實(shí)驗(yàn),2001,21(04):43-44.

[5] 孫伏優(yōu).“電感電容對(duì)交變電流的影響”演示實(shí)驗(yàn)的改進(jìn)[J].物理實(shí)驗(yàn),2008,28(2):21-22.

Vector mathematical model for guiding adjustment of AC bridge circuits

ZHANG Rui-bin,QIN Ying,LI Jing-an,HUANG Xiao-ming,LAI You
(School of Physics and Optoelectronic Technology,Dalian University of Technology,Dalian 116024,China)

A vector mathematical model of AC bridge is set up,and the experiment of AC bridge is discussed by the graphic method.The adjustment procedures,experimental analysis and computer simulation are put forward.

AC bridge;graphic method;zero adjustment

O441.1

A

1005-4642(2010)06-0042-04

[責(zé)任編輯:郭 偉]

2009-09-12;修改日期:2009-12-26

2008年大連理工大學(xué)大學(xué)生創(chuàng)新性實(shí)驗(yàn)計(jì)劃項(xiàng)目

張瑞斌(1990-),男,山東濟(jì)寧人,大連理工大學(xué)物理與光電工程學(xué)院2007級(jí)本科生.

指導(dǎo)教師:秦 穎(1964-),女,吉林白山人,大連理工大學(xué)物理與光電工程學(xué)院副教授,博士,從事物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)與凝聚態(tài)物理研究.