高等代數(shù)教法探析

黃國(guó)慶

（長(zhǎng)治學(xué)院 師范分院，山西 長(zhǎng)治 046000）

高等代數(shù)教法探析

黃國(guó)慶

（長(zhǎng)治學(xué)院 師范分院，山西 長(zhǎng)治 046000）

文章主要論述克服《高等代數(shù)》教學(xué)中的抽象性以及揭示數(shù)學(xué)的趣味的一些方法與思路?？朔橄笮猿诵枰嗨伎级嘧鲱}外，教師還應(yīng)多利用類(lèi)比法和示例法教學(xué)；揭示趣味需要挖掘和拓展教學(xué)內(nèi)容，需要與一些實(shí)際例子結(jié)合。尤其結(jié)合師范生的實(shí)際情況，在教學(xué)中還應(yīng)該穿插與教學(xué)有關(guān)的內(nèi)容，以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，體現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)的趣味性。

高等代數(shù)；數(shù)學(xué)；抽象性

《高等代數(shù)》是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。其學(xué)科概念性較強(qiáng)，相應(yīng)的思維方法獨(dú)特，從而造成教學(xué)存在一定的難度。筆者認(rèn)為，克服其抽象性的關(guān)鍵在于教學(xué)中多采用類(lèi)比法與示例法等方法。

1 類(lèi)比法教學(xué)

高等代數(shù)是中學(xué)代數(shù)的延續(xù)與拓展，許多內(nèi)容與初等數(shù)學(xué)聯(lián)系比較緊密，如多項(xiàng)式、行列式、線性方程組、二次型等章節(jié)，在這些內(nèi)容的教學(xué)中，都可以用類(lèi)比法。在教學(xué)過(guò)程中，對(duì)有些知識(shí)我們經(jīng)常會(huì)有“似曾相識(shí)”的感覺(jué)，而且在不同領(lǐng)域中會(huì)感到某種類(lèi)似的成份。如果我們把這些類(lèi)似進(jìn)行比較，加以聯(lián)想，可能發(fā)現(xiàn)許多意想不到的結(jié)果和方法。這種把類(lèi)似知識(shí)進(jìn)行比較、聯(lián)想，由一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的已知性質(zhì)遷移到另一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象上去，從而獲得另一個(gè)對(duì)象性質(zhì)的方法就是類(lèi)比法。類(lèi)比法不僅是一種從特殊到特殊的推理方法，也是一種尋求解題思路、猜測(cè)問(wèn)題答案或結(jié)論的發(fā)現(xiàn)方法。

教學(xué)中應(yīng)充分利用學(xué)生原有的知識(shí)作為基礎(chǔ)，讓抽象的高等代數(shù)概念找到初始的原形，在類(lèi)比中辨別高等代數(shù)與初等數(shù)學(xué)在處理問(wèn)題思維方式上的異同。

比如，在講解多項(xiàng)式的整除時(shí)，可以與數(shù)的整除類(lèi)比；多項(xiàng)式的因式分解可以與數(shù)的質(zhì)因數(shù)分解類(lèi)比；在講解線性變換時(shí)，可以與函數(shù)類(lèi)比，從本質(zhì)上說(shuō)，線性變換是向量函數(shù)，是向量與向量之間的對(duì)應(yīng)。這樣對(duì)比后，更利于學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解。又如二次型教學(xué)，可以先復(fù)習(xí)配方法，再講二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型的配方法。方法相同，只是配方的次數(shù)比中學(xué)時(shí)有所增加，未知量也多了，但方法本質(zhì)相同。

2 示例法教學(xué)

除類(lèi)比法之外，利用直觀模型進(jìn)行示例教學(xué)也是一種好的方法。這里的直觀模型是指一個(gè)抽象問(wèn)題中相關(guān)的例題或特例，且這些內(nèi)容應(yīng)該是已經(jīng)掌握的或者容易接受的。筆者在教學(xué)中為了克服數(shù)學(xué)的抽象性，常常在講解時(shí)穿插例題，使抽象問(wèn)題具體化，以便學(xué)生們加深理解。比如在高等代數(shù)中，最抽象的概念是線性空間，歷屆的學(xué)生都是從這里開(kāi)始感覺(jué)到課程學(xué)習(xí)的難度。我們先回顧一下數(shù)學(xué)概念的建立歷史。到了20世紀(jì)，隨著數(shù)學(xué)的系統(tǒng)化，模型的分析才受到重視。于是，出現(xiàn)集合、群、環(huán)、線性空間、拓?fù)淇臻g之類(lèi)的數(shù)學(xué)模型，構(gòu)成它們世界的是數(shù)學(xué)對(duì)象，而不是那些呈現(xiàn)在日常生活中的東西。在這個(gè)意義上，它們是第二代數(shù)學(xué)模型。線性空間就是第二代模型的一個(gè)例子，它是通過(guò)公理化的方式來(lái)表述的，其構(gòu)成元素也都是數(shù)學(xué)對(duì)象，不是生活對(duì)象，因此，學(xué)生理解起來(lái)較難。大部分學(xué)生只能非常具體地思考問(wèn)題，碰到第二代模型的術(shù)語(yǔ)就感到困難。實(shí)際上，學(xué)生甚至在碰到最簡(jiǎn)單的與現(xiàn)實(shí)聯(lián)系最緊密的模型時(shí)也會(huì)感到困難。

因此，在講解這個(gè)線性空間概念時(shí)，我們可以引導(dǎo)學(xué)生們先設(shè)想一維線性空間（時(shí)間軸或數(shù)軸）、二維線性空間（平面上的向量集）、三維線性空間（立體空間上的向量集），然后進(jìn)一步推廣到多維線性空間，最終概括出其本質(zhì)并給出定義——它是一個(gè)集合，在其中定義了兩種運(yùn)算加法與數(shù)乘，數(shù)是取自某個(gè)數(shù)域，且集合中的元素對(duì)加法與數(shù)乘具有封閉性，運(yùn)算滿足八條公理，這樣一個(gè)集合就叫某個(gè)數(shù)域上的線性空間，或者把它看成一個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)。然后再給學(xué)生們找出一個(gè)多維線性空間的實(shí)例，如：齊次線性方程組AX=0的解的集合就是一個(gè)線性空間，我們?cè)噲D通過(guò)具體的例子讓學(xué)生們?nèi)ミM(jìn)一步概括出、理解到這個(gè)概念。

矩陣的乘法，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是個(gè)難點(diǎn)。當(dāng)講到這里時(shí)，除了給出定義，還要說(shuō)明并不是任意兩個(gè)矩陣都能相乘，只有左邊矩陣的列數(shù)等于右邊矩陣的行數(shù)時(shí)乘法才能進(jìn)行，這是由矩陣乘法的實(shí)質(zhì)意義決定的。因此，我進(jìn)一步講了矩陣乘法的直觀意義。給定數(shù)域P上m×n矩陣A和n×1矩陣X如下:

那么，按照矩陣乘法，

就是說(shuō)，對(duì)于Pn中的兩種運(yùn)算：加法與數(shù)乘，在上述映射下對(duì)應(yīng)于Pm內(nèi)的加法與數(shù)乘，對(duì)運(yùn)算具有保持性。本來(lái)Pn和Pm是數(shù)域P上的兩個(gè)不同的線性空間，而矩陣乘法給出了它們之間保持加法、數(shù)乘對(duì)應(yīng)關(guān)系的映射，等于在兩者之間建立起了一座橋梁，使它們互相可以溝通。在二次型中應(yīng)用的線性變換X=CY，C是可逆矩陣，其實(shí)也是映射這個(gè)含義。

當(dāng)講到矩陣的乘法不滿足交換律時(shí)，也可以舉例說(shuō)明：一方面，交換后不一定可做乘法；即使能做，也不一定相等。可給出例題，直觀認(rèn)識(shí)，學(xué)生比較容易接受。

有時(shí)還可能要考慮好幾個(gè)直觀模型。然后在閱讀證明或計(jì)算的過(guò)程時(shí)，把自己考慮的特例代入其中，并留心觀察它的走向，發(fā)現(xiàn)一般的規(guī)律。

例如，求線性空間的一個(gè)向量在它的某個(gè)基下的坐標(biāo)，我們可以先從一個(gè)具體的例題入手，尋找其一般的求解方法。

例 1 在線性空間 R3中，求向量 α=（1，2，1）關(guān)于基：α1=（1，1，1），α2=（1，1，-1），α3=（1，-1，-1）的坐標(biāo)。解： 設(shè)向量 α 關(guān)于基 α1，α2，α3的坐標(biāo)是（x1，x2，x3），則有3，即：

由此，推廣到一般，我們可以發(fā)現(xiàn)這類(lèi)問(wèn)題的一般的求解方法。

設(shè)在Pn中給定一組基和一個(gè)向量β：求向量 β 關(guān)于基 α1，α2，…αn下的坐標(biāo)。實(shí)際上就是求解下列向量方程組的解：

把 α1，α2，…αn作為列向量排成一個(gè) n 階方陣 A，它就是上面線性方程組

的系數(shù)矩陣。因?yàn)锳滿秩，所以可單用初等行變換化為單位矩陣E，寫(xiě)出線性方程組的增廣矩陣，用初等行變換把A化為E，則γ即為所求的坐標(biāo)：

通過(guò)研究這些特例，就可以更深入地理解抽象理論的特點(diǎn)，從而接近問(wèn)題的本質(zhì)。教學(xué)中這些例題的穿插，會(huì)起到了直觀的作用，直觀的例題模型還可以在獨(dú)立解決問(wèn)題時(shí)起到導(dǎo)引思路的作用。

當(dāng)開(kāi)始思考一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，可能會(huì)有若干種思路，如果把一些特例代入，很快就會(huì)發(fā)現(xiàn)有些思路根本走不通，于是就可以少走彎路。

選取一個(gè)好的直觀模型是很重要的。一方面它不能太難，必須是已被自己掌握的；另一方面又忌太平凡，那樣往往效力不夠。通常一本書(shū)在介紹一個(gè)新概念后都會(huì)舉出不少實(shí)例，這些是必須要留心掌握的。這種方法也有它的局限性，有不少數(shù)學(xué)概念就沒(méi)有簡(jiǎn)單的例子加以說(shuō)明。另外使用直觀模型只是一種輔助手段，目的是幫助理解和提供思維的參考，它不能也不應(yīng)該代替嚴(yán)格的推導(dǎo)過(guò)程。

3 趣味性教學(xué)

數(shù)學(xué)的抽象性，導(dǎo)致學(xué)生們學(xué)習(xí)起來(lái)感覺(jué)比較枯燥難學(xué)。因此如何將數(shù)學(xué)趣味化也是我常常思考的問(wèn)題。教材往往是濃縮的精華，把它泡開(kāi)，才能發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的趣味。這就需要我們?nèi)ネ诰蚪滩摹⑼卣箖?nèi)容、與一些實(shí)際例子結(jié)合、與一些數(shù)學(xué)家生活工作的故事結(jié)合來(lái)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，從而使數(shù)學(xué)教學(xué)更具趣味性。

例如：在講解子空間的直和時(shí)，教材直接給出定義，然后是定理的證明，學(xué)生接受起來(lái)比較困難。而筆者在講解時(shí)做了這樣的處理：先講解兩個(gè)例題，一個(gè)是向量分解式不惟一的，一個(gè)是向量分解式惟一的。讓學(xué)生們先直觀感覺(jué)向量分解式的各種情況，產(chǎn)生興趣，然后再引導(dǎo)到定義；再說(shuō)明研究直和的目的，是為了在研究空間性質(zhì)時(shí)把大的空間轉(zhuǎn)換為子空間來(lái)進(jìn)行。

另外，由于學(xué)生的畢業(yè)去向大多是小學(xué)，所以我還積極探索《高等代數(shù)》與小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)系，尋找《高等代數(shù)》與小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)之間的相關(guān)性。通過(guò)在教學(xué)中穿插一些與小學(xué)數(shù)學(xué)有關(guān)的內(nèi)容，以提升教學(xué)內(nèi)容的趣味性。比如，維數(shù)公式與小學(xué)數(shù)學(xué)集合題的聯(lián)系。如果V1，V2是線性空間的兩個(gè)子空間，那么，它們的維數(shù)關(guān)系有：

例2、 小學(xué)應(yīng)用題：某班36人，參加數(shù)學(xué)、語(yǔ)文課外興趣小組，每人至少參加一個(gè)小組，參加數(shù)學(xué)、語(yǔ)文的人數(shù)是20、28人，求同時(shí)參加兩個(gè)小組的人數(shù)。解： 設(shè)同時(shí)參加兩個(gè)小組的人數(shù)為x，

則 36=20+28-x，x=12。

后者在計(jì)算時(shí)與維數(shù)公式有內(nèi)在的聯(lián)系，本質(zhì)上相同。

以上是我在教學(xué)中一些探討。高等數(shù)學(xué)教學(xué)要求我們完成四個(gè)方面的任務(wù)：一是讓學(xué)生認(rèn)識(shí)與理解數(shù)學(xué)的內(nèi)容；二是解決其枯燥感，揭示數(shù)學(xué)的趣味；三是介紹數(shù)學(xué)的應(yīng)用，使學(xué)生覺(jué)得數(shù)學(xué)是具有實(shí)用價(jià)值的；四是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維，要在動(dòng)手做、動(dòng)腦思考中學(xué)習(xí)，學(xué)會(huì)獨(dú)立思考。因此，對(duì)教學(xué)的探索應(yīng)該是多方面的，另外，我們也要注意培養(yǎng)學(xué)生的非智力因素，要求學(xué)生養(yǎng)成精細(xì)、嚴(yán)謹(jǐn)、簡(jiǎn)明的思維風(fēng)格和不斷設(shè)問(wèn)的好奇心，以及通過(guò)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)磨練學(xué)生堅(jiān)忍不拔的毅力和刻苦鉆研、不斷創(chuàng)新的精神。

總之，教學(xué)是一門(mén)藝術(shù)，需要我們不斷研究與探索，在數(shù)學(xué)的教學(xué)中更要求我們學(xué)會(huì)以直觀克服數(shù)學(xué)的抽象性，以拓展揭示數(shù)學(xué)的趣味性。

［1］唐忠明.高等代數(shù)［M］.南京：南京大學(xué)出版社，2000.

［2］張禾瑞.高等代數(shù)第四版［M］.北京：高等教育出版社，1999.

［3］瑞典.L.戈丁.數(shù)學(xué)概觀［M］.北京：科學(xué)出版社，2001.

［4］藍(lán)以中.高等代數(shù)簡(jiǎn)明教程［M］.北京：北京大學(xué)出版社，2002.

［5］王庚.數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)教育［M］.北京：科學(xué)出版社，2005.

（責(zé)任編輯 趙巨濤）

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A

1673-2014（2010）05-0074-03

2010—09—13

黃國(guó)慶（1967— ），男，河南林州人，講師，主要從事高等代數(shù)教學(xué)研究。