丟番圖方程x3+x2+x=y2-4y+3的整數(shù)解

施俊

(江蘇技術(shù)師范學(xué)院數(shù)理學(xué)院 江蘇常州 213001)

丟番圖方程x3+x2+x=y2-4y+3的整數(shù)解

施俊

(江蘇技術(shù)師范學(xué)院數(shù)理學(xué)院 江蘇常州 213001)

利用奇偶分析、因式分解等初等方法證明了丟番圖方程x3+x2+x=y2-4y+3的整數(shù)解為:(x，y)=(-1，2)，(0，1)，(0，3)，(1，4)，(1，0)，(7，22)，(7，-18)。

整數(shù)解;因式分解;奇偶分析

丟番圖方程的問題主要值得研究的是:

①是否有解?

②有解時有多少解?解數(shù)是有限還是無窮?

③求出全部解。

解決丟番圖方程的主要方法有:

①代數(shù)式的恒等變形(包括分解因式);

②估計;

③同余(包括奇偶分析);

④無窮降階法;

⑤ 其它［1］。

這里在前人的一些結(jié)論基礎(chǔ)上利用初等方法討論證明一個丟番圖方程的整數(shù)解。

引理1［2］:

①丟番圖方程x4+y4=z2僅有xy=0的整數(shù)解;

②丟番圖方程僅有整數(shù)解x2=y2=1和x2=1，y=0。

引理2:丟番圖方程的一切正整數(shù)解可以寫成:

于是

而

故

由

有

下面討論方程的整數(shù)解.

定理:丟番圖方程

的整數(shù)解:

證明:方程變形為

即

顯然x≥ -1，將x=-1，0，1代入原方程得出y的值，則得解:

1)若x為大于0的偶數(shù)時

由

易知

由(1)式可得［3］

但x2+1=b2只有解x=0，進而y=1，3，這兩組解上面已出現(xiàn)。

2)若x為大于1的奇數(shù)時

此時可得到

由(1)式及引理2可得

由

可得

①當(dāng)m為奇數(shù)時

由(2)式可得［3］

m2=u2-v2，m2-1=2uv，n=u2+v2，其中一奇一偶，(u+v，u -v)=1。

由

有

再由

得到［3］

進而

即

但由引理1知此方程無整數(shù)解，因此，當(dāng)m為奇數(shù)時式(2)無整數(shù)解，從而原方程無整數(shù)解.

②當(dāng)m為偶數(shù)時

由(2)式可得［3］

由

可推得

或

不妨設(shè)

成立，由

有

因為u，v一奇一偶，故可設(shè)

又因

則有

即

當(dāng)s為偶數(shù)時，由(s+1，s)=1知

于是

進而有［4］

且易知

當(dāng)s為奇數(shù)時同理有

故有

或

其中

所以，

或

即

或

a)討論方程

由引理1可知

和

顯然

不成立，則考慮

若l4=1，由

給出

則有

通過代入(1)式得

b)討論方程

由引理1可知其無非零整數(shù)解.顯然t4=0不成立，而l2=0時，則由

知m=0矛盾

故當(dāng)m為偶數(shù)時原方程只有整數(shù)解:

綜合上面得出原方程

只有整數(shù)解:

［1］ 單墫.數(shù)學(xué)競賽研究教程［M］.南京:江蘇教育出版社，1993:153.

［2］ 曹珍富.丟番圖方程引論［M］.哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，1989:26-28.

［3］ 閔嗣鶴，嚴(yán)士健.初等數(shù)論［M］.3版.北京:高等教育出版社，2003:35.

［4］ 潘承洞，潘承彪.初等數(shù)論［M］.北京:北京大學(xué)出版社，1992:35.

The Integer Solutions of the Diophantine Equations x3+x2+x=y2-4y+3

SHI Jun
(Faculty of Mathematics and Physics，Jiangsu Teachers University of Technology，Changzhou 213001，China)

By using odd and even analysis and indeterminate equation etc primary methods，we have proved that the Diophantine Equations x3+x2+x=y2-4y+3 has only the integer solutions(x，y)=(-1，2)，(0，1)，(0，3)，(1，4)，(1，0)，(7，22)，(7，-18).

integer solution;indeterminate equation;odd and even analysis

book=23,ebook=23

O 156.7

A

1672-2434(2010)03-0016-03

2010-04-19

施 俊(1976-)，男，講師，碩士，從事研究方向:代數(shù)數(shù)論