馬爾可夫鏈在教學(xué)質(zhì)量評估中的應(yīng)用研究

施政

(炎黃職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部 江蘇淮安 223400)

馬爾可夫鏈在教學(xué)質(zhì)量評估中的應(yīng)用研究

施政

(炎黃職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部 江蘇淮安 223400)

對馬爾可夫鏈在教學(xué)質(zhì)量評估中的應(yīng)用進(jìn)行了研究，闡明了這種方法的基本原理及其具體實(shí)施步驟，為合理、有效地評價(jià)教學(xué)效果提供理論和實(shí)踐依據(jù)，并說明了馬爾可夫鏈評估法在評估教學(xué)質(zhì)量時(shí)較其它評估方法更具合理性。

馬爾可夫鏈;平穩(wěn)分布;轉(zhuǎn)移矩陣;教學(xué)質(zhì)量

在進(jìn)行教學(xué)質(zhì)量評估方法中，傳統(tǒng)的方法主要是分析學(xué)生某次考試成績的平均分或者及格率等，甚至以此作為主要依據(jù)來判斷各個不同班級不同任課教師的教學(xué)水平。其實(shí)，這是不合理的，除非不同的班級基礎(chǔ)、教學(xué)環(huán)境等完全一樣。本文利用馬爾可夫鏈基本原理，嘗試剔除學(xué)生原有基礎(chǔ)對教學(xué)質(zhì)量評價(jià)的影響，以期得到比較合理的教學(xué)質(zhì)量評估方法和結(jié)論。

在以往關(guān)于馬爾可夫鏈分析法在教學(xué)質(zhì)量評估中應(yīng)用的文獻(xiàn)中，學(xué)生成績的分類法基本上是以分?jǐn)?shù)線作為分類方法，本文嘗試從名次的角度進(jìn)行分類，以期得到比較好的結(jié)論。

1 馬爾可夫鏈的基本思想

“過去只影響現(xiàn)在，而不影響將來”，這種隨機(jī)過程稱之為馬爾可夫過程。時(shí)間離散、狀態(tài)離散的馬爾可夫過程稱之為馬爾可夫鏈。

下面給出相關(guān)數(shù)學(xué)定義:設(shè)(Ω，F(xiàn)，P)為一概率空間，{Xn，n≥0}是定義在其上的取值為整數(shù)的隨機(jī)序列，如對任意的m≥1及非負(fù)整數(shù)有其中其中為{Xn，n≥0}的狀態(tài)空間，且假定等式兩端的條件概率都有意義，則稱{Xn，n≥0}為馬爾可夫鏈。

設(shè){Xn，n≥0}為齊次馬爾可夫鏈，若對一切狀態(tài)i，j，存在不依賴于i的常數(shù)πj，使得

則稱馬爾可夫鏈{Xn，n≥0}具有遍歷性。

2 馬爾可夫鏈在教學(xué)質(zhì)量評估中的原理與方法

在教學(xué)質(zhì)量評估中為了去除學(xué)生基礎(chǔ)成績的影響，可以使用馬爾可夫鏈分析法來進(jìn)行討論。按照一定的方法將學(xué)生成績分級，這樣就可以確定統(tǒng)一的狀態(tài)空間，然后由相關(guān)等級變化來確定一步轉(zhuǎn)移矩陣，利用馬爾可夫鏈的平穩(wěn)性和遍歷性求出極限向量，最后利用極限向量值進(jìn)行比較判斷。

具體來說:在教學(xué)質(zhì)量指標(biāo)量化過程中，運(yùn)用馬爾可夫鏈法將兩個班級的學(xué)生第一次考試成績放在一起按高低分劃分為s個等級，然后計(jì)算出各班在各等級學(xué)生人數(shù)與各等級人數(shù)之比作為狀態(tài)向量，用A表示:

其中，m為學(xué)生總?cè)藬?shù)，mj為第i(=1，2，…，s)等級的學(xué)生人數(shù)。

經(jīng)階段教學(xué)后，把測得的學(xué)生成績合在一起也按照高低分劃分為s個等級，然后分析上述兩個班各等級學(xué)生在階段教學(xué)后等級變化情況，從而求出一步轉(zhuǎn)移矩陣p:

其中，mi仍表示開始的第i等級中的學(xué)生數(shù)，mij表示階段教學(xué)后屬于第i等級的學(xué)生其成績轉(zhuǎn)移到第j等級的學(xué)生數(shù)，且滿足

若研究多步(n＞1)轉(zhuǎn)移概率P(n)，由切普曼-柯爾莫哥洛夫方程(C-K方程)得

當(dāng)n→∞時(shí)，如果馬爾可夫過程所涉及的各狀態(tài)的概率分布穩(wěn)定不變，由遍歷性，建立方程組

得到極限分布

據(jù)此，可求出穩(wěn)定的概率向量，這個穩(wěn)定的概率向量就成為評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，然后通過求解方程組得到具體的量化指標(biāo)。通過得到的量化指標(biāo)可以比較客觀地對教師教學(xué)質(zhì)量進(jìn)行評估。

表1 某學(xué)年A班考試成績及等級轉(zhuǎn)移情況

表2 某學(xué)年B班考試成績及等級轉(zhuǎn)移情況

3 馬爾可夫鏈在教學(xué)質(zhì)量評估中的實(shí)例分析

實(shí)例分析如何運(yùn)用馬爾可夫鏈分析法對教師的教學(xué)質(zhì)量進(jìn)行評估。

設(shè)某高職院校某專業(yè)一年級A、B兩個班，每個班各有30名學(xué)生，從下學(xué)期開始由不同教師擔(dān)任高等數(shù)學(xué)的教學(xué)工作，兩個班本學(xué)年的上、下兩學(xué)期高等數(shù)學(xué)期末考試成績分別如表1、2所示，其中ij為某學(xué)生成績從第i等級轉(zhuǎn)移到第j等級(這里i，j= 1，2，…，5狀態(tài)，“1”為第1～12名;“2”為第13～24名;“3”為第25～36名;“4”為第37～48名;“5”為第49～60名)，分別表示A、B兩個班級上學(xué)期成績?yōu)榈趇等級的學(xué)生數(shù)，分別表示A、B兩個班級中上學(xué)期成績?yōu)榈趇等級，下學(xué)期成績轉(zhuǎn)到第j等級的學(xué)生數(shù)。

對上述兩個班學(xué)生上、下學(xué)期成績分別進(jìn)行排名，且在表1、2中給出了等級轉(zhuǎn)移情況，由此可以得到兩班的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣(用PA、PB分別表示A、B班的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣):

利用Mathematica軟件計(jì)算得，

同樣計(jì)算得，

根據(jù)所求得A、B兩個班的極限向量πA和πB，按最大概率原則，可以預(yù)測，A班的教學(xué)質(zhì)量將達(dá)到第“4”等級，而B班的教學(xué)質(zhì)量將達(dá)到第“1”等級。若對遠(yuǎn)期的整體情況進(jìn)行評估，可取如下等級分，1分(“1”級)，2分(“2”級)，3分(“3”級)，4分(“4”級)，5分(“5”級)，則兩個班的預(yù)期等級分別為:

由SA＜SB，可見B班學(xué)生成績的轉(zhuǎn)移情況要好于A班學(xué)生成績的轉(zhuǎn)移情況，在一定程度上也說明了，B班高等數(shù)學(xué)任課教師的教學(xué)質(zhì)量要高于A班高等數(shù)學(xué)任課教師的教學(xué)質(zhì)量。

這個例子，如果這樣來思考:A班上學(xué)期平均分為70.53分，下學(xué)期平均分為65.47分，總體平均下降了5.06分。B班上學(xué)期平均分為71.87分，下學(xué)期平均分為66.20分，總體平均下降了5.67分。如果通過下降分來比較，5.06分＜5.67分，就斷言A班的高等數(shù)學(xué)任課教師的教學(xué)質(zhì)量要高于B班高等數(shù)學(xué)任課教師的教學(xué)質(zhì)量，顯然這樣的分析方法有失科學(xué)性。因?yàn)橛锌赡軜O個別學(xué)生兩次考試的分?jǐn)?shù)出現(xiàn)異常的波動，而嚴(yán)重影響上面的平均分差。

另外，這個例子在數(shù)據(jù)分類時(shí)，如果采用分?jǐn)?shù)線分類法，也不是很理想，因?yàn)樵诜诸愡^程中，以分?jǐn)?shù)線來劃分，往往沒有考慮到在同一分?jǐn)?shù)段內(nèi)名次的差異，因?yàn)樵趦蓚€同類班級的比較中，比如說前10名某班占多少名，前20名某班占多少名等，更能說明某班整體水平的情況。如果按照文獻(xiàn)［1］～［4］的分類方法，且采用同樣的計(jì)算方法，得SA=60.66分 ＞50.00分 =SB，于是得到A班的高等數(shù)學(xué)任課教師的教學(xué)質(zhì)量要高于B班高等數(shù)學(xué)任課教師的教學(xué)質(zhì)量這樣的結(jié)論，顯然也和本文結(jié)論相左。

在日常工作中，經(jīng)常需要討論類似于教學(xué)質(zhì)量評估等問題，在討論中同樣也涉及到事情原有基礎(chǔ)問題，此類問題都可以嘗試用馬爾可夫鏈分析法來進(jìn)行討論。

［1］ 彭梅.隨機(jī)過程在教學(xué)質(zhì)量評估中的應(yīng)用［J］.安慶師范學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2006(3):32-35.

［2］ 劉亞欣，扎那.馬爾可夫鏈在教學(xué)評價(jià)中的應(yīng)用和改進(jìn)［J］.大連鐵道學(xué)院學(xué)報(bào)，2006(2):5-8.

［3］ 孫景艷.馬爾可夫鏈在教學(xué)評價(jià)中的應(yīng)用［J］.河南師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2008(2):10-13.

［4］ 馮虹，等.馬爾可夫鏈在教學(xué)質(zhì)量評價(jià)中的應(yīng)用［J］.天津師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，1999(1):5-9.

Application of Markov Chain Method in Teaching Evaluation

SHI Zheng
(Department of Basic Course，Progenitor College，Huai＇an 223400，China)

This paper studies the application of Markov Chains in teaching evaluation.It expounds its principle and application procedure and provides evidences both in theory and practice for its reasonable and effective evaluation in teaching.And it also proves that the Markov Chains method is better than others in teaching quality evaluation.

Markov Chains;stationary distribution;transfer matrix;teaching quality

book=20,ebook=20

G 712.0

A

1672-2434(2010)03-0010-03

2010-04-28

施 政(1977-)，男，講師，碩士，從事研究方向:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)