基于最小二乘擬合的墻體傳熱系數(shù)計算方法

【關鍵字】動態(tài)分析法Matlab曲線擬合 熱流計法 最小二乘擬合

一 引言

在建筑物圍護結構主體部位傳熱系數(shù)檢測中，熱流計法是目前國內外常用的現(xiàn)場測試方法。在溫度和熱流變化較大的情況下，采用動態(tài)分析方法可從對熱流計測量數(shù)據(jù)的分析，求得建筑物圍護結構的穩(wěn)態(tài)熱性能。

在測量中獲取的數(shù)據(jù)均為隨機數(shù)據(jù)，它們是由一些離散的數(shù)據(jù)組成，單就獲得的原始數(shù)據(jù)本身來說根本反映不出事物的本質。如何從這些離散的數(shù)據(jù)中找出觀測數(shù)據(jù)的變化規(guī)律？用Matlab進行數(shù)據(jù)的擬合可以形象直觀地發(fā)現(xiàn)所得數(shù)據(jù)體現(xiàn)出來的規(guī)律性。在進行分析時，通?？刹捎们€擬合法。曲線擬合法的目的是尋找一條光滑曲線，即對觀測的幾個變量進行多次觀測，從而求出反映變量之間關系的相對函數(shù)，在某種準則下最佳地擬合數(shù)據(jù)。

二 曲線擬合的思想

如果不要求所構造的函數(shù)g（x）精確的通過所有由離散數(shù)據(jù)所確定的離散點，而只要求g（x）是給定函數(shù)類H中的一個函數(shù)，并且要求按照某種準則g（x）是相對與同一函數(shù)類H 中的其他函數(shù)而言達到最優(yōu)的。即我們希望找到一條曲線，既能反映給定數(shù)據(jù)的一般趨勢又不至于出現(xiàn)局部較大波動。在這種逼近方式下，只要所構造的近似函數(shù)g（x）與被逼近函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上的偏差滿足某種要求即可。但是如何選取這個函數(shù)模型，這就是用最小二乘法解決問題的基本環(huán)節(jié)，即如何確定函數(shù)類H，也即確定g（x）所具有的具體的形式。用最小二乘法求得的近似函數(shù)逼近原來函數(shù)的效果與函數(shù)類的選取密切相關，這不是一個單純的數(shù)學問題，還與其他領域的一些專門知識和經(jīng)驗有關。在數(shù)學上，通常將數(shù)據(jù)點（xi，yi）描繪在坐標紙上，然后根據(jù)這些點的分布規(guī)律選擇適當?shù)暮瘮?shù)類。而在得不到這種信息時，我們往往選擇多項式或樣條函數(shù)作為擬合函數(shù)，尤其是當不知道該選擇什么樣的擬合函數(shù)時，通常可以考慮選擇樣條函數(shù)來擬合。

1.多項式擬合

有時所給的數(shù)據(jù)點的分布并不一定近似的呈一條直線，這時若仍用直線擬合顯然是不合適的，對于這種情況，可以考慮用多項式擬合。多項式方程的一般形式是：

f（x）=a0+a1x1+a2x2+……+amxm

為得到函數(shù)模型,關鍵是解出多項式前面的系數(shù)a0，a1…am。

2.利用polyfit函數(shù)進行多項式擬合

在Matlab 中曲線擬合的形式非常簡單，它的形式是：P=poly fi t（x，y，n）

該擬合函數(shù)的結果將保證在數(shù)據(jù)點上的擬合值與數(shù)據(jù)值之差的平方和最小，即滿足最小二乘法準則標準的最小二乘曲線擬合。由實測數(shù)據(jù)構造n 階多項式，并返回多項式的系數(shù)p，n 是多項式的次數(shù)，n=1 時就是線性擬合。一般說來，n+1 個數(shù)據(jù)點可唯一確定n 階多項式。如果數(shù)據(jù)是非常準確的，那么提高擬合的次數(shù)，可以使擬合的曲線更準確。但是如果數(shù)據(jù)本身有很大的誤差，則隨著多項式的次數(shù)的提高，曲線將變得不夠光滑，預測值將會出現(xiàn)較大的偏差。n 的選擇隨已知數(shù)據(jù)點的分布規(guī)律而定。

三 動態(tài)分析法

在建筑物圍護結構主體部位傳熱系數(shù)檢測中，熱流計法是目前國內外常用的現(xiàn)場測試方法。在溫度和熱流變化較大的情況下,采用動態(tài)分析方法可從對熱流計測量數(shù)據(jù)的分析，求得建筑物圍護結構的穩(wěn)態(tài)熱性能。動態(tài)分析方法是利用熱平衡方程對熱性能的變化進行分析計算的。在數(shù)學模型中圍護結構的熱工性能是用熱阻R和一系列時間常數(shù)τ表示的。未知參數(shù)（R，τ1，τ2，τ3…）是通過一種識別技術利用所測得的熱流密度和溫度求得的。

1.動態(tài)分析方法基本步驟如下：

測量給出在時刻(i從1至N)測得的N組數(shù)據(jù)，其中包括熱流密度（qi），內表面溫度（θli）和外表面溫度（θEi）。

兩次測量的時間間隔為△t，定義為：兩次測量的時間間隔為△t，定義為：

在ti時的熱流密度是在該時刻以及此前所有時刻下溫度的函數(shù)：

外表面溫度的導數(shù)θEi與上式類似。

K1，K2以及Pn和Qn是圍護結構的特性參數(shù)，沒有任何特定意義.它們與時間常數(shù)τn有關。變量βn是時間常數(shù)τn的指數(shù)函數(shù)：

公式(2)中的n項求和是對所有時間常數(shù)的，理論上是一個無限數(shù)。然而，這些時間常數(shù)（τn）和βn一樣，隨著n的增加而迅速減小。因而只需幾個時間常數(shù)(實際上有1至3個就夠了)就足以正確地表示q，θE和θI之間的關系。

假定選取的時間常數(shù)為m個(τ1，τ2，…，τm)，等式(2)將包含2m+3個未知參數(shù)，它們是：

對于2m+3個不同時刻下的（2m+3組）數(shù)據(jù)將公式(2)寫2m+3次就得到一個線性方程組。對該方程組求解，就可確定這些參數(shù)，特別是熱阻R。然而為了完成公式(2)中的j項求和，尚需附加p組數(shù)據(jù)。最后，為了估計隨機變化，還需要更多組測量數(shù)據(jù)。這樣就形成了一個超定的線性方程組，該方程組可采用經(jīng)典的最小二乘擬合法求解。

2.Matlab數(shù)據(jù)處理過程及仿真

由公式

可知qi、θli、θEi為已知數(shù)，R，K1，K2，P1，Q1，P2，Q2，…，Pm，Qm未知數(shù)。

利用Matlab軟件處理過程如下：

（1）輸入數(shù)據(jù)：

x=[19.548 23.234 21.652 21.78 21.198 21.086 21.07 ]；

y1=[26.76 26.948 26.885 26.927 26.938 26.906 26.917 ]；

y2=[17.229 17.25 17.25 17.25 17.26 17.292 17.333 ]；

[p1,S]=poly fi t(x,y1,1)；

[p2,S]=poly fi t(x,y2,1)；

p1,p2

（2）得到擬合方程

y1=0.0467x+25.9001

y2=17.2661

3.對傳統(tǒng)方法的改進

傳統(tǒng)的方法為算術平均法，計算如下：

R—圍護結構主體部位的熱阻（m2K/W）；

qj—圍護結構主體部位熱流密度第j次測量值（W/m2）；

θli—圍護結構主體部位內表面溫度第j次測量值（℃）；

θEi— 圍護結構主體部位外表面溫度第j次測量值（℃）。

最小二乘的動態(tài)分析法計算如下：

與傳統(tǒng)的方法相比，最小二乘的動態(tài)分析法經(jīng)過曲線的擬合增加了一次項，具有更高的精確度。

四 結論

利用動態(tài)分析法和Matlab軟件的數(shù)據(jù)擬合工具箱對建筑物的節(jié)能檢測參數(shù)數(shù)據(jù)進行了處理，并利用實際數(shù)據(jù)進行了數(shù)據(jù)仿真，并和傳統(tǒng)的方法進行了比較。與傳統(tǒng)方法相比較，極大的提高了檢測的科學性和精確性。具有較高的實用價值。