包含伺服約束非完整系統(tǒng)的Noether-Mei對稱性

王小明,李元成,張佩玲,荊宏星

(1.中國石油大學物理科學與技術學院,山東東營 257061;2.北京國電清新環(huán)保技術股份有限公司,北京 100036)

包含伺服約束非完整系統(tǒng)的Noether-Mei對稱性

王小明1,李元成1,張佩玲2,荊宏星1

(1.中國石油大學物理科學與技術學院,山東東營 257061;2.北京國電清新環(huán)保技術股份有限公司,北京 100036)

根據系統(tǒng)的運動微分方程,給出伺服約束非完整系統(tǒng)的新對稱性的定義和判據,得到了系統(tǒng)的 Noether-Mei對稱性導出的Noether守恒量和Mei守恒量。舉例說明結果的應用。

伺服約束;非完整系統(tǒng);Noether-Mei對稱性;守恒量

力學系統(tǒng)的對稱性與守恒量的研究在數學、力學和物理學上都具有重要的意義。近代尋求守恒量的對稱性方法主要有 Noether對稱性[1-3],Lie對稱性[2-4]和Mei對稱性[5-10]。相應的守恒量有 Noether守恒量[1-3],Hojman守恒量[11,12]和Mei守恒量[13]。近幾年對力學系統(tǒng)對稱性與守恒量的研究取得了很大進展。Mei研究了包含伺服約束非完整系統(tǒng)的Lie對稱性與守恒量[14,21]以及 Lagrange系統(tǒng)的統(tǒng)一對稱性[15],最近,梅鳳翔、吳惠彬等研究了各種力學系統(tǒng)的聯合對稱性和統(tǒng)一對稱性[16-20]。筆者研究包含伺服約束非完整系統(tǒng)的Noether-Mei對稱性,給出系統(tǒng)的Noether-Mei對稱性的定義和判據,并由此找到系統(tǒng)的Noether守恒量和Mei守恒量。

1 系統(tǒng)的運動微分方程

設力學系統(tǒng)的位形由 n個廣義坐標 qs(s=1,…,n)確定,并受到通常的理想雙面 Chetaev型非完整約束

以及 r個伺服約束:n1個完整約束及 n2(n2=r-n1)個非完整約束

稱方程(1)為第一類約束,方程 (2)為第二類約束。對第一類約束,由Appell-Chetaev定義,有

第一類約束反力的虛功之和為零,但第二類約束反力的虛功一般異于零。在為第一類約束所允許的虛位移中間,存在一些使第二類約束反力在其上作功為零的虛位移,設這些虛位移滿足 j個關系

系統(tǒng)的運動微分方程為

其中

式中,L為 Lagrange函數;Qs為非勢廣義力;λβ,uk為不定乘子;Es為 Euler算子。

當 r=j時,方程 (5)聯同方程 (1),(2)組成為確定 n+g+r個變量 q1,…,qn,λ1,…,λg,u1,…,ur的 n+g+r個方程。在非奇異的假設下,展開方程(5),可求得所有廣義加速度,記作

將方程(1)和方程(2)中的第二式對 t求一階導數,并將方程(2)中的第一式對 t求二階導數,可得到包含對為線性的 g+r個方程,再將式 (6)代入這 g +r個方程,并消去 ¨qs,可得 g+r個乘子λβ和 uk的一組代數方程,解此代數方程,可得

將式(7)代入方程 (6),可求得所有廣義加速度,記作

方程 (7)為非完整系統(tǒng) (1),(2),(5)相應的完整系統(tǒng)的運動方程。

2 系統(tǒng)的 Noether-M ei對稱性的定義和判據

定義 如果包含伺服約束的非完整系統(tǒng)的對稱性既是Noether對稱性又是Mei對稱性,則稱該對稱性為系統(tǒng)的Noether-Mei對稱性。

引入時間和廣義坐標的無限小變換

式中,ε為無限小參數;ξ0和ξs均為無限小生成元。

約束方程(1),(2)在無限小變換下的不變性為

對包含伺服約束的非完整系統(tǒng),Noether等式為

其中

Mei對稱性的判據方程為

其中

判據 對于伺服約束非完整系統(tǒng),如果存在規(guī)范函數 GN=GN(t,q,˙q),無限小生成元ξ0,ξs滿足等式 (10)～(12)和

則相應對稱性為伺服約束非完整系統(tǒng)的 Noether-Mei對稱性。

3 系統(tǒng)的 Noether-M ei對稱性導致的守恒量

伺服約束非完整系統(tǒng)的Noether-Mei對稱性在一定條件下可導出Noether守恒量和Mei守恒量。

命題 1 對于伺服約束非完整系統(tǒng),Noether-Mei對稱性可導致Noether守恒量

證明 因為伺服約束非完整系統(tǒng)的 Noether-Mei對稱性一定是Noether對稱性,則存在一個規(guī)范函數 GN=GN(t,q,˙q)滿足 Noether等式 (13),根據判據系統(tǒng)存在守恒量(16)。

命題 2 對于伺服約束非完整系統(tǒng),如果存在規(guī)范函數 GM=GM(t,q,˙q),滿足方程

則系統(tǒng)Noether-Mei對稱性可導致Mei守恒量

證明 因為伺服約束非完整系統(tǒng)的 Noether-Mei對稱性一定是Mei對稱性,則系統(tǒng)的Mei對稱性判據方程(14)成立,利用式 (14),(17)能夠證明系統(tǒng)存在Mei守恒量(18)。

4 說明性例子

一質量平面 P可在一水平固定面 oxy上平動地滑動。在平面 P上有一半徑為 R,質量為M的均質圓球可無滑動地滾動。平面 P的運動用伺服裝置自動地調節(jié),以使球心以角速度ω相對固定軸 oz勻速轉動,研究此伺服約束系統(tǒng)的 Noether-Mei對稱性與守恒量。

首先寫出系統(tǒng)的運動微分方程。設 u,v為平面P上的一點A相對軸 ox,oy的坐標。平面的位置由這兩個參數確定。設ξ,η為球心 G的前兩個坐標, p,q,r為球的瞬時角速度在軸 ox,oy,oz上的投影, ψ,θ,φ為 Euler角,有

球沿平面 P無滑動地滾動的非完整約束條件為

伺服約束為

使第二類約束反力所做的功為零的虛位移為

進而有

球的動能表示為

令 q1=ξ,q2=η,q3=ψ,q4=θ,q5=φ,取無限小生成元:

生成元(19)滿足式(15),可知生成元(19)是包含伺服約束非完整系統(tǒng)的Noether-Mei對稱性。將式 (19)代入式(13)有規(guī)范函數

由命題 1得由系統(tǒng) Noether-Mei對稱性導致的Noether守恒量為

將式 (19)代入式(17),有

由命題2得

IM即為由系統(tǒng)的 Noether-Mei對稱性得到的Mei守恒量。

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(編輯 修榮榮)

Noether-M ei symmetry of nonholonom ic system s with servoconstra ints

WANG Xiao-ming1,L I Yuan-cheng1,ZHANG Pei-ling2,J ING Hong-xing1
(1.Collage of Physics Science and Technology in China University of Petroleum,Dongying257061,China; 2.Beijing SPC Enviroment Protection Tech Co.,LTD,Beijing100036,China)

The definition and the criterion of a Noether-Mei symmetry for the nonholonomic systems with servoconstraints, aswell as the Noether conserved quantity and theMei conserved quantity deduced from the Noether-Mei symmetry for the system were given.An example was given to illustrate the application of the results.

servoconstraints;nonholonomic systems;Noether-Mei symmetry;conserved quantity

O 313

A

10.3969/j.issn.1673-5005.2010.02.033

1673-5005(2010)02-0163-03

2009-05-13

王小明(1979-),女(蒙古族),內蒙古人,講師,碩士,主要從事理論力學方面的研究。