剖析數(shù)學(xué)概念內(nèi)涵的教學(xué)方法

王冰燃

西安市第二十五中學(xué) 陜西西安 710002

剖析數(shù)學(xué)概念內(nèi)涵的教學(xué)方法

王冰燃

西安市第二十五中學(xué) 陜西西安 710002

數(shù)學(xué)概念具有高度的抽象性、概括性和嚴(yán)密性，它是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)公式、原理、法則的基礎(chǔ)知識。本文結(jié)合課堂教學(xué)，談?wù)剶?shù)學(xué)概念教學(xué)的體會。

概念 數(shù)學(xué)概念 教學(xué)方法

數(shù)學(xué)概念既是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要環(huán)節(jié)，又是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心。準(zhǔn)確地揭示概念的本質(zhì)，使學(xué)生思考問題、推理證明有所依據(jù)，有創(chuàng)建地解決問題。在數(shù)學(xué)教學(xué)中要自始至終抓住數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性及內(nèi)部聯(lián)系，就要了解概念的體系，注意概念的引入，剖析概念的內(nèi)涵，掌握概念的符號，重視概念的鞏固。本文主要從課堂教學(xué)實(shí)際出發(fā)，談?wù)搸追N剖析數(shù)學(xué)概念內(nèi)涵的教學(xué)方法。教學(xué)方法得當(dāng)，將有助于學(xué)生對概念的理解與掌握。

概念是思維的基本單位，它反映一類事物的本質(zhì)屬性。數(shù)學(xué)概念是揭示現(xiàn)實(shí)世界中空間形式與數(shù)量關(guān)系本質(zhì)屬性的思維形式。數(shù)學(xué)概念脫離了具體的事實(shí)，具有高度的抽象性、概括性和嚴(yán)密的邏輯性，學(xué)生學(xué)習(xí)起來有一定的難度。但數(shù)學(xué)概念又是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)公式、原理、法則以及提高能力的基礎(chǔ)。因此搞好數(shù)學(xué)概念的教學(xué)至關(guān)重要。

一、教師必須重視數(shù)學(xué)概念的教學(xué)

21世紀(jì)是知識經(jīng)濟(jì)的時代，是人才競爭的時代，數(shù)學(xué)知識在社會的各個領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，社會對其成員的數(shù)學(xué)素養(yǎng)也提出了越來越高的要求，對傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)方法提出了新的挑戰(zhàn)。教師講例題，學(xué)生做習(xí)題，教師講公式，學(xué)生套公式的舊的教學(xué)模式顯然落伍。課堂上空談理論，硬套公式，忽視了應(yīng)用和能力的培養(yǎng)，從而造成了許多人對數(shù)學(xué)無多大實(shí)際應(yīng)用的思想。目前，國家一再強(qiáng)調(diào)的素質(zhì)教育，使我們重新考慮確定我們的數(shù)學(xué)教學(xué)思想，加強(qiáng)基礎(chǔ)學(xué)習(xí)，重視數(shù)學(xué)的應(yīng)用，重視學(xué)生思維、運(yùn)算能力的培養(yǎng)。這些都在于加強(qiáng)數(shù)學(xué)概念的教學(xué)。學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中對數(shù)學(xué)概念的掌握和應(yīng)用，直接關(guān)系到他們數(shù)學(xué)能力的發(fā)展及對數(shù)學(xué)知識的理解、掌握和應(yīng)用的程度。要使學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)必須對數(shù)學(xué)概念的教學(xué)給予足夠的重視。課堂上，通過教師的科學(xué)引導(dǎo)，使學(xué)生對每一個數(shù)學(xué)概念都有清晰而精確的認(rèn)識，以達(dá)到融會貫通，舉一反三的應(yīng)用效果。

二、數(shù)學(xué)概念的綜合介紹

數(shù)學(xué)中的概念有些是加定義的，如方程、對數(shù)、函數(shù)；有些是不定義的，只加以直接描述，如點(diǎn)、線、面、集合等；有些既不定義也不描述，而作為常識應(yīng)用，如無限延伸、旋轉(zhuǎn)等。由于各個概念的具體內(nèi)容和它在教學(xué)中的地位與作用的不同，有的概念簡單，有的概念復(fù)雜，有的直觀易懂，有的抽象不易接受，有些概念之間存在著一定聯(lián)系，有些不同概念則容易混淆，而且概念也有主要與次要，關(guān)鍵與一般之分。因此，對各個數(shù)學(xué)概念教學(xué)的具體要求也有所不同。教學(xué)時對于不同的概念應(yīng)采用不同的教學(xué)方法，靈活多變地引導(dǎo)學(xué)生剖析概念的內(nèi)涵，建立正確的數(shù)學(xué)概念。

三、采用先進(jìn)靈活的教學(xué)方法，引導(dǎo)學(xué)生建立正確的數(shù)學(xué)概念

1.引導(dǎo)學(xué)生從概念的形成過程中闡明概念的定義

概念的定義是在概念的形成過程中逐漸明朗化的，數(shù)學(xué)概念來源于生活實(shí)際，它是客觀事物的數(shù)量關(guān)系和空間形式的反映。人們的認(rèn)識是從感性到理性，從具體到抽象的過程。這就要求我們在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中，要緊扣生活中的現(xiàn)象，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，運(yùn)用數(shù)學(xué)概念來解釋生活中的現(xiàn)象。

例：學(xué)習(xí)“角的概念的推廣”時可舉出生活實(shí)例，如鐘表的指針按同一方向不停地旋轉(zhuǎn)所形成的角，螺絲扳手與曲柄連桿按不同方向旋轉(zhuǎn)所形成的角，用于學(xué)習(xí)“大于360°的角和負(fù)角”。在導(dǎo)數(shù)定義的教學(xué)中，通過分析物體作變速直線運(yùn)動的瞬時速度形成了導(dǎo)數(shù)的定義，它雖然拋開了具體的物理意義，具有較強(qiáng)的抽象性，但學(xué)生接受起來并不困難，因為學(xué)生理解了導(dǎo)數(shù)的形成過程，感覺到數(shù)學(xué)概念就在我們的生活中，就在我們的身邊。

2.把概念定義的解釋轉(zhuǎn)化為邏輯推理的結(jié)論

把新概念的定義平鋪直敘地講給學(xué)生，會淡化學(xué)生的求知欲望。讓學(xué)生親自參與到新概念下定義的過程中,不但會激發(fā)學(xué)生的學(xué)生興趣,而且還培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯思維能力。在饒有興趣的問題中環(huán)游,使學(xué)生明確了概念的定義,不失為一種有意義的學(xué)習(xí)新概念的方法。

例：在學(xué)習(xí)直線的傾斜角時,可拿世界有名的比薩斜塔為例,塔的傾斜程度是相對于地面而言作比,引入直線的傾斜角是直線相對于x軸的傾斜程度。直覺思維使學(xué)生首先想到“直線與x軸的夾角就是直線的傾斜角”。

第一步：教師通過圖1反駁學(xué)生，僅僅“取直線與x軸的夾角”是不能說明問題。因為圖1中兩條直線與x軸的夾角都為30°，但這兩條直線的傾斜方向不同。

圖1 兩條直線l1、l2與x軸的夾角都為30°，但這兩條直線的傾斜方向不同

第二步：學(xué)生在老師的引導(dǎo)下，考慮到“取直線向上的方向與x軸正向所成的角”。圖2說明兩者所成的角有無窮多個，不能用一個具體的數(shù)據(jù)來反映直線相對于x軸的傾斜程度。

圖2 直線向上的方向與x軸正向所成的角有很多

第三步，經(jīng)過冷靜地思考后，學(xué)生會得到“直線向上的方向與x軸所成的最小正角”是惟一的，它能夠作為直線傾斜角的定義（如圖3）。

圖3 直線向上的方向與x軸所成的最小正角是惟一的

對比發(fā)現(xiàn)，把“直線傾斜角”的定義直接敘述給學(xué)生，課后善于思考的學(xué)生會問老師“為什么要這樣定義?”不善思考的學(xué)生也只是機(jī)械的背會了這個定義，并不明白它的真正內(nèi)涵。讓學(xué)生親自參與到下定義的過程中，學(xué)生不但獲得了知識而且思維也得到了進(jìn)一步的提高，由開始的直覺思維上升到最后嚴(yán)格的邏輯思維，教師因勢利導(dǎo)，層層深入，學(xué)生一步一步邁向新概念的大門。

3.利用學(xué)習(xí)的遷移規(guī)律，加強(qiáng)新舊知識的聯(lián)系，建立新概念

學(xué)習(xí)遷移指的是一種學(xué)習(xí)對另一種學(xué)習(xí)的影響，也可以說是將學(xué)得的經(jīng)驗（包括概念、原理、原則等）改變后運(yùn)用于新的情景之中。數(shù)學(xué)概念的形成具有連續(xù)性，新概念都是建立在已有的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識之上。因此數(shù)學(xué)新概念的學(xué)習(xí)又依賴于舊的知識體系，在教學(xué)時將新、舊概念對照，并揭示新、舊概念的聯(lián)系，把新概念的學(xué)習(xí)融于舊的知識體系中，使學(xué)生容易接受和掌握新概念。

例如：在“反三角函數(shù)”概念的教學(xué)時，我們必須時時處處與反函數(shù)的概念緊密聯(lián)系起來，反函數(shù)中的一一對應(yīng)，互為反函數(shù)的定義域、值域的互為對立性，都是學(xué)習(xí)“反三角函數(shù)”的基礎(chǔ)。觀察、分析、尋找新概念與舊知識的聯(lián)系與區(qū)別，挖掘個性，分離個性，解剖個性，則會事半功倍，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。

4.提供豐富的感性材料，創(chuàng)設(shè)問題情景，啟發(fā)學(xué)生善于抓概念的本質(zhì)特征

數(shù)學(xué)中，有些新概念與舊概念缺乏邏輯聯(lián)系，而且又比較抽象難懂。對于這類概念的學(xué)習(xí)，教學(xué)時，教師應(yīng)該給學(xué)生提供豐富的感性材料，盡可能較全面的突出概念本質(zhì)特征的感性材料。再加上教師卓有成效的啟發(fā)引導(dǎo)，促使學(xué)生思維持續(xù)地發(fā)展，愉快地接受新概念的學(xué)習(xí)。

例如：“集合”是不加定義的概念，我們不能用其它更基本的概念來給它下定義，而且“集合”又比較抽象，學(xué)生一時難以抓住它的本質(zhì)。課堂上，教師從學(xué)生已有的知識出發(fā)，向?qū)W生提供必要的實(shí)例，通過具體的實(shí)例分析向?qū)W生提出以下兩個問題：（1）是不是所有的事物雜亂地堆放在一起就形成了集合？（2）構(gòu)成集合的事物之間有沒有聯(lián)系？有什么樣的聯(lián)系？從問題的解答中，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)這一類對象所具有的共同性質(zhì)，這些性質(zhì)中有本質(zhì)屬性、非本質(zhì)屬性，通過比較分析，從中抽出本質(zhì)屬性，即“具有共同性質(zhì)（屬性）的事物形成集合”。接下來，再以“本班的全體同學(xué)”這個集合為例，再次提問：（1）本班的同學(xué)是否都已確定？（2）同學(xué)們座次不同，是否改變了這個集合？（3）盡管個別同學(xué)相貌相差不大，能否說明它們是同一個人?這3個問題又讓學(xué)生很輕松地理解并掌握了集合中元素的3個性質(zhì)（確定性、互異性、無序性）。由此可見，通過感性材料的分析，教師恰如其分的設(shè)疑提問，使“集合”概念更清晰地展現(xiàn)在學(xué)生面前。這種能夠揭示概念本質(zhì)的問題的提出，有利于調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性，有利于促使學(xué)生積極思考，將抽象思維轉(zhuǎn)化為具體的形象思維，同時又使學(xué)生體味到了“透過現(xiàn)象看本質(zhì)”的快感。

5.善于比喻，化難為易

不同領(lǐng)域中的問題，常常會有同一的道理，借它山之石以攻玉，是行之有效的辦法。善于運(yùn)用比喻化深奧為淺易，并增添趣味，一個恰當(dāng)?shù)谋扔鲃龠^十遍的重復(fù)說教。函數(shù)并不因其表達(dá)的字母不同而改變，如：y=2x+1,(x∈R)與u=2v+1(v∈R)是同一個函數(shù)。學(xué)生對這一點(diǎn)不好理解，可以看作一個人并不因為衣著的不同而改變。f(x)、f(x0)難以區(qū)別，拿f(x)好比全班每個同學(xué)，f(x)不確定，而f(x0)是整個班集體中某一個同學(xué)，是確定的。通俗直觀地給學(xué)生教會了一種學(xué)習(xí)方法。

6.指導(dǎo)學(xué)生形成概念體系

概念不是孤立的，概念和概念之間存在著各種各樣的關(guān)系。概念體系是多種多樣的，有相鄰的概念（如正弦函數(shù)，余弦函數(shù)），有相反的概念（如原函數(shù)和反函數(shù)，導(dǎo)數(shù)與不定積分）,有并列的概念（如直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形），有從屬的概念（如三角形函數(shù)。正弦函數(shù)）等。在教學(xué)過程中，教師可引導(dǎo)學(xué)生比較這一概念與其相鄰的、相反的、并列的、從屬的概念之間有什么區(qū)別與聯(lián)系，畫出概念體系圖表，從整體中認(rèn)識局部的、孤立的概念，以便抓住概念的本質(zhì)屬性和基本特征。

例如：高中學(xué)習(xí)了6個“距離”的概念，要教給學(xué)生弄懂它們之間的區(qū)別與聯(lián)系：兩點(diǎn)之間的距離；點(diǎn)到直線之間的距離；兩條平行線之間的距離；點(diǎn)到平面之間的距離；兩個平行面之間的距離；兩條異面直線之間的距離。這6個“距離”的共同點(diǎn)是：距離都是指兩點(diǎn)之間的線段之長；不同點(diǎn)是：相應(yīng)的兩個點(diǎn)的位置取法不同。教給學(xué)生善于從對比與聯(lián)系中促進(jìn)概念的深刻理解。

由上可知，運(yùn)用富有啟發(fā)性的教學(xué)方法，使教學(xué)活動既緊張又生動活潑，在最短的時間內(nèi)，最大限度的發(fā)揮學(xué)生的智慧，達(dá)到教學(xué)的高效率、高質(zhì)量。

四、在“做”與“用”的循環(huán)中領(lǐng)悟概念

數(shù)學(xué)概念具有高度的抽象性，許多概念都是多次抽象的結(jié)果，包含著精確豐富的內(nèi)涵，大多不是“一脈相承”而是“相輔相成”的。由于智力發(fā)展的限制，是難于一次把握的，例如極限的概念蘊(yùn)含了豐富的內(nèi)容：無限的觀點(diǎn)，逼近的思想，ε的獨(dú)特性等。如果在極限定義中，花過多時間，常常是事倍功半，弄不好會影響學(xué)習(xí)的興趣。而在實(shí)際應(yīng)用（如計算、證明）中，在后續(xù)的知識（如連續(xù)、微分、積分、級數(shù)）的學(xué)習(xí)中逐步領(lǐng)悟，才能把握概念中的精神和思想，真正將極限概念識透、學(xué)懂。再如：對因式分解這一概念不宜要求學(xué)生一次徹底了解，應(yīng)該在講授因式分解的4種基本方法時，結(jié)合具體例題的分解過程和分解結(jié)果，說明這一概念的意義，以達(dá)到逐步了解這一概念的教學(xué)目地。知識是一個整體，概念應(yīng)與整個知識相結(jié)合，相適應(yīng)，應(yīng)在“做”與“用”的循環(huán)中逐漸領(lǐng)悟。

要提高教學(xué)質(zhì)量，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)概念的能力，是不容忽視的。它不僅鍛煉學(xué)生數(shù)學(xué)思維邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性，更重要的是教學(xué)生“學(xué)會”變?yōu)閷W(xué)生“會學(xué)”，為學(xué)生一生中的學(xué)習(xí)奠定堅實(shí)的基礎(chǔ)，概念是思維的基本單位，概念的積累有助于學(xué)生思維的升華。

[1]數(shù)學(xué)教育教學(xué)[J].西北大學(xué)學(xué)報，2008，3

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2010-01-13

王冰燃，本科，中教一級。