數(shù)學(xué)實(shí)在性的不可或缺性論證

康仕慧

(山西大學(xué)科學(xué)技術(shù)哲學(xué)研究中心,山西太原 030006)

數(shù)學(xué)實(shí)在性的不可或缺性論證

康仕慧

(山西大學(xué)科學(xué)技術(shù)哲學(xué)研究中心,山西太原 030006)

不可或缺性論證是運(yùn)用“數(shù)學(xué)對(duì)于科學(xué)的不可或缺性”對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)在性的一種新的數(shù)學(xué)實(shí)在論辯護(hù),其依據(jù)的前提是科學(xué)自然主義、確證整體論和本體論承諾原則。通過對(duì)不可或缺性論證的分析,我們得出“蒯因的科學(xué)自然主義是一種不徹底的自然主義,數(shù)學(xué)知識(shí)的確證不依賴于經(jīng)驗(yàn),數(shù)學(xué)實(shí)體的本體論承諾與科學(xué)自然主義之間存在不一致”。因而,不可或缺性論證對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)在性的辯護(hù)并沒有取得成功。

數(shù)學(xué)實(shí)在論;不可或缺性論證;科學(xué)自然主義

自美國(guó)哲學(xué)家貝納賽拉夫 (Paul Benacerraf)的《數(shù)學(xué)真理》(Mathematical Truth)一文發(fā)表以來,以弗雷格為代表的數(shù)學(xué)柏拉圖主義解釋遇到了嚴(yán)重的認(rèn)識(shí)論挑戰(zhàn)。既然數(shù)學(xué)柏拉圖主義者聲稱:抽象的數(shù)學(xué)對(duì)象存在,數(shù)學(xué)真理是關(guān)于這些數(shù)學(xué)對(duì)象的準(zhǔn)確而真實(shí)的描述,那么處于具體因果時(shí)空之內(nèi)的數(shù)學(xué)家是如何認(rèn)識(shí)到這些遙不可及的非時(shí)空的數(shù)學(xué)對(duì)象及事實(shí)的呢?這是一個(gè)極為棘手的問題,因而它直接威脅到了數(shù)學(xué)實(shí)在論。為了對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)在論進(jìn)行辯護(hù),數(shù)學(xué)哲學(xué)界出現(xiàn)許多新的數(shù)學(xué)實(shí)在論形式,其中由美國(guó)哲學(xué)家蒯因 (W.V.Quine)和普特南 (Hilary Putnam)提出的數(shù)學(xué)實(shí)在性的不可或缺性論證(IndispensabilityArgument)就是其中之一。

一 數(shù)學(xué)實(shí)在性的不可或缺性論證及策略

數(shù)學(xué)實(shí)在性的不可或缺性論證起源于蒯因。值得注意的是,雖然蒯因被認(rèn)為是不可或缺性論證的開創(chuàng)者,但是在他的著作中卻找不到明顯關(guān)于“不可或缺性論證”這個(gè)專門術(shù)語或者論題的闡述和辯護(hù)。真正把蒯因?yàn)閿?shù)學(xué)實(shí)在論辯護(hù)的思想稱之為“不可或缺性論證”的首位哲學(xué)家是普特南。他在其論文《邏輯哲學(xué)》中提到:“數(shù)學(xué)實(shí)體的量化對(duì)于科學(xué)而言是不可或缺的,這里的科學(xué)包括形式科學(xué)和物理學(xué);因此,我們應(yīng)該接受這樣的量化;但是這就使得我們承諾了接受這些數(shù)學(xué)實(shí)體的存在。這類論證當(dāng)然起源于蒯因,他多年來既強(qiáng)調(diào)對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)體進(jìn)行量化的不可或缺性,又強(qiáng)調(diào)否認(rèn)人們?nèi)粘ＫA(yù)設(shè)事物的存在在智力上是不誠(chéng)實(shí)的?！盵1]并且普特南本人也主張,“數(shù)學(xué)和物理學(xué)以這樣的方式交織在一起,成為關(guān)于物理理論的實(shí)在論者,同時(shí)又是關(guān)于數(shù)學(xué)理論的唯名論者,這是不可能的?！盵2]所以,我們應(yīng)該接受關(guān)于數(shù)學(xué)實(shí)體存在的承諾。這樣,借助于數(shù)學(xué)實(shí)體在科學(xué)中的不可或缺為數(shù)學(xué)的實(shí)在性進(jìn)行辯護(hù),一般就把這種論證稱為“數(shù)學(xué)的不可或缺性論證”。

如上所述,雖然蒯因沒有明確地為數(shù)學(xué)實(shí)在性的不可或缺性論證進(jìn)行過闡述,但是通過分析蒯因的整個(gè)哲學(xué)思想,我們可以發(fā)現(xiàn)蒯因的不可或缺性論證的具體策略如下:

(1)探究實(shí)在世界的最佳理論是我們的科學(xué)理論;(科學(xué)自然主義)

(2)科學(xué)理論的證據(jù)在整體上確證整個(gè)理論(其中包括數(shù)學(xué)理論),而不是確證單個(gè)假說。(確證整體論)

由科學(xué)自然主義和確證整體論 (confirmational holism)可以得到:

(3)我們相信由成功的科學(xué)理論的本體論陳述承諾的實(shí)體存在;

(4)本體論承諾原則:存在就是約束變項(xiàng)的值; (本體論承諾)

(5)我們的科學(xué)理論的本體論陳述中變項(xiàng)值域中的值不僅包括物理對(duì)象,而且包括數(shù)學(xué)對(duì)象;

因此,根據(jù)上述的所有前提條件,數(shù)學(xué)實(shí)體的實(shí)在性得到確證,即:

(6)科學(xué)的成功確證了數(shù)學(xué)實(shí)體的存在。

很顯然,蒯因的上述論證是以他的自然主義、確證整體論和本體論承諾原則等主要的哲學(xué)洞見為前提的。簡(jiǎn)單地說,蒯因的不可或缺性論證的核心主張是:數(shù)學(xué)對(duì)于科學(xué)的不可或缺性確證了數(shù)學(xué)實(shí)體的存在。雷斯尼克 (Michael Resnik)也認(rèn)為蒯因的不可或缺性論證是在他的自然主義和整體論的框架中提出來的,因此,雷斯尼克把該論證稱之為“整體論 -自然主義的不可或缺性論證”[Holis m-Naturalis m(H-N)Indispensability Argument]。其核心主張為:“第一,數(shù)學(xué)是自然科學(xué)不可或缺的一個(gè)組成部分。第二,這樣,按照整體論,我們所擁有的關(guān)于科學(xué)的一切證據(jù)恰好也是科學(xué)所預(yù)示的數(shù)學(xué)對(duì)象和數(shù)學(xué)原理的證據(jù),同樣也是其他科學(xué)理論體系的證據(jù)。第三,根源于自然主義,數(shù)學(xué)為真,并且數(shù)學(xué)對(duì)象存在的理由也是經(jīng)科學(xué)證實(shí)的其他實(shí)體存在的理由?！盵3]對(duì)于蒯因而言,“何物存在”的唯一仲裁者是自然科學(xué),由于數(shù)學(xué)實(shí)體的承諾對(duì)于科學(xué)理論不可或缺,從而抽象數(shù)學(xué)實(shí)體存在?？傊?蒯因的不可或缺性論證以他的科學(xué)自然主義、確證整體論和本體論承諾原則為前提。

(一)數(shù)學(xué)實(shí)體的存在標(biāo)準(zhǔn):科學(xué)自然主義

如果從字面上看,數(shù)學(xué)中大量的陳述在本體論上承諾了各種數(shù)學(xué)實(shí)體,比如,“2是素?cái)?shù)”、“存在處處不可微的連續(xù)函數(shù)”、“兩點(diǎn)之間有一條且只有一條直線”等等。問題是,數(shù)學(xué)陳述中承諾的這些實(shí)體存在嗎?我們?nèi)绾文苤罃?shù)學(xué)是否描述了一個(gè)實(shí)在世界?這樣的問題才是我們的哲學(xué)探究所關(guān)心的。要得到該問題的答案,按照蒯因的標(biāo)準(zhǔn),自然主義的解釋方案是最佳策略,即通過科學(xué)的方式來回答,不需要任何超越科學(xué)之外的形而上學(xué)探索。這是因?yàn)樽匀豢茖W(xué)是實(shí)在的唯一和最終仲裁者。

蒯因的科學(xué)自然主義主張:“放棄第一哲學(xué)的目標(biāo)。自然主義把自然科學(xué)看作是對(duì)實(shí)在的一種探究,自然科學(xué)是可錯(cuò)的和可糾正的,但是它不對(duì)任何超科學(xué)的法庭負(fù)責(zé),并且不需要超越于觀察和假說-演繹方法之上的任何辯護(hù)。”[4]這樣,如果我們要確定數(shù)學(xué)實(shí)體的實(shí)在性,就需要依賴于經(jīng)驗(yàn)的自然科學(xué)。我們看到,蒯因的自然主義強(qiáng)調(diào)的是,“不存在第一哲學(xué)和與科學(xué)事業(yè)連續(xù)的哲學(xué)事業(yè)。被這樣解釋的科學(xué) (即把哲學(xué)作為一個(gè)連續(xù)的部分)被視為世界的完備敘述 (story)。自然主義起源于對(duì)科學(xué)方法論的一種深深的尊敬和承認(rèn),這種方法論在作為回答關(guān)于事物的所有本質(zhì)的基本問題的一種方式時(shí)所表現(xiàn)出的不可否認(rèn)的成功?！盵5]因此,要確證數(shù)學(xué)實(shí)體的實(shí)在性就需要訴諸確證科學(xué)理論在探索實(shí)在世界時(shí)表現(xiàn)出的成功。這樣,數(shù)學(xué)實(shí)體的確證就轉(zhuǎn)移到了證據(jù)對(duì)于數(shù)學(xué)和科學(xué)的整體確證的要求上,即“確證整體論”。

(二)數(shù)學(xué)實(shí)體存在的確證:確證整體論

既然傳統(tǒng)的本體論和認(rèn)識(shí)論問題已經(jīng)交給了科學(xué),那么數(shù)學(xué)實(shí)體是否存在的本體論探究和如何確證數(shù)學(xué)實(shí)體存在的認(rèn)識(shí)論說明就應(yīng)該通過科學(xué)的方式加以回答。按照蒯因的經(jīng)驗(yàn)主義,科學(xué)理論的確證最終依賴于我們的經(jīng)驗(yàn)證據(jù)。同時(shí),蒯因的整體論強(qiáng)調(diào):“我們關(guān)于外在世界的陳述不是個(gè)別地而是僅僅作為一個(gè)整體來面對(duì)感覺經(jīng)驗(yàn)的法庭。”[6]42因此,上述思想形成了蒯因所謂的“確證整體論”?，F(xiàn)在我們具體考察蒯因是如何用確證整體論的思想對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)體的存在進(jìn)行確證的。

首先,蒯因所謂的“科學(xué)”不僅包括自然科學(xué),而且還包括數(shù)學(xué)。他在《經(jīng)驗(yàn)論的兩個(gè)教條》中寫道:“全部科學(xué),數(shù)學(xué)、自然科學(xué)和人文科學(xué),是類似地但是更為極端地被經(jīng)驗(yàn)所不充分決定。這個(gè)系統(tǒng)的邊緣必須與經(jīng)驗(yàn)保持一致?！盵7]因而,由經(jīng)驗(yàn)確證的科學(xué)理論自然包括數(shù)學(xué)在內(nèi)。他把全部科學(xué)作為整體看作一個(gè)信念的網(wǎng)絡(luò),數(shù)學(xué)和邏輯處于網(wǎng)絡(luò)的中心。整個(gè)信念網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)接受經(jīng)驗(yàn)的檢驗(yàn),當(dāng)與經(jīng)驗(yàn)發(fā)生沖突時(shí),就優(yōu)先修改離經(jīng)驗(yàn)較近的系統(tǒng)邊緣的陳述,直到與經(jīng)驗(yàn)一致。當(dāng)整個(gè)系統(tǒng)能夠說明或者較好地解釋經(jīng)驗(yàn)時(shí),科學(xué)就被認(rèn)為是成功的。

其次,在這個(gè)信念之網(wǎng)中,數(shù)學(xué)與自然科學(xué)并沒有嚴(yán)格的區(qū)分。數(shù)學(xué)與自然科學(xué)共同接受經(jīng)驗(yàn)的檢驗(yàn)和確證。按照蒯因的觀點(diǎn),自然科學(xué)中的本體論陳述和數(shù)學(xué)中的本體論陳述之間的區(qū)別僅僅是程度上的區(qū)別,而非種類上的區(qū)別。蒯因在《論卡爾納普的本體論觀點(diǎn)》一文中明確提到:“在自然科學(xué)中,存在著一個(gè)從報(bào)告觀察的陳述到反思 (比如說)量子理論或相對(duì)論之基本性質(zhì)的那些陳述的逐級(jí)遞進(jìn)的序列。…本體論陳述,甚或那些數(shù)學(xué)和邏輯陳述,構(gòu)成這個(gè)序列的進(jìn)一步延伸…。依我看,區(qū)別只是程度上的而不是種類上的?？茖W(xué)是一個(gè)統(tǒng)一的結(jié)構(gòu),原則上它是作為整體的結(jié)構(gòu),經(jīng)驗(yàn)所能確證或所能顯明其缺陷者不是一對(duì)一的作為其構(gòu)成成分的陳述?！盵8]因此,科學(xué)理論的陳述中就不僅承諾了像電子、夸克等這樣的物理對(duì)象,而且還承諾了像數(shù)、函數(shù)這樣的數(shù)學(xué)對(duì)象。事實(shí)上,在蒯因看來,數(shù)學(xué)實(shí)體的承諾對(duì)于科學(xué)而言是不可或缺的。他認(rèn)為,“我們?cè)诳茖W(xué)中想要說的某些東西可能會(huì)使我們?nèi)コ姓J(rèn),在數(shù)量關(guān)系的變項(xiàng)值域中不僅有物理對(duì)象,而且有類和它們之間的關(guān)系;同樣還有數(shù)、函數(shù)和純粹數(shù)學(xué)的其他對(duì)象。因?yàn)閿?shù)學(xué) (不是未經(jīng)解釋的數(shù)學(xué),而是真正的集合論、邏輯、數(shù)論、實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)的代數(shù)、微積分等等)最好是被看做科學(xué)的組成部分,與物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等并駕齊驅(qū),而數(shù)學(xué)則被說成是在這些領(lǐng)域中獲得了應(yīng)用。”[9]

這樣,如果科學(xué)理論是作為整體被經(jīng)驗(yàn)確證的,那么數(shù)學(xué)作為科學(xué)理論的一部分也應(yīng)該被認(rèn)為是對(duì)實(shí)在世界的最佳說明?，F(xiàn)在的問題是,我們?nèi)绾闻袆e整體的科學(xué)理論是否承諾了數(shù)學(xué)對(duì)象呢?這就需要第三步,即蒯因著名的判別何物存在的“本體論承諾原則”。

(三)數(shù)學(xué)實(shí)體的識(shí)別本質(zhì):本體論承諾

“數(shù)學(xué)對(duì)象是否存在”與“我們?nèi)绾文軌蛑罃?shù)學(xué)對(duì)象是否存在”在本質(zhì)上是兩個(gè)不同的問題。蒯因關(guān)于數(shù)學(xué)本體論問題所采取的策略是“語義上溯”,也就是,他并不直接討論“數(shù)學(xué)對(duì)象是否存在”的本體論事實(shí)問題,而是轉(zhuǎn)而通過分析數(shù)學(xué)理論是否承諾了數(shù)學(xué)對(duì)象存在的認(rèn)識(shí)論問題來間接地對(duì)數(shù)學(xué)的本體論問題作出回答。

數(shù)、集合、函數(shù)存在嗎?這個(gè)經(jīng)典的數(shù)學(xué)本體論問題由于在經(jīng)驗(yàn)上得不到確證,曾一度使得邏輯實(shí)證主義者和邏輯經(jīng)驗(yàn)主義者們將其作為無意義的形而上學(xué)問題從哲學(xué)中排除出去。數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)的哲學(xué)探索由此得到壓制,然而,一種充分的數(shù)學(xué)哲學(xué)說明的必要條件是必須能夠回答“數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)及其實(shí)在性”這個(gè)根本的形而上學(xué)問題,否則這種說明就是不完備的。由于邏輯 (實(shí)證)經(jīng)驗(yàn)主義者認(rèn)為事物存在的確證標(biāo)準(zhǔn)是可感知,而抽象數(shù)學(xué)對(duì)象是不可感知的,所以邏輯經(jīng)驗(yàn)主義者們有充分的理由認(rèn)為它們不存在。然而,蒯因并不這樣認(rèn)為。

關(guān)于“經(jīng)驗(yàn)”和“存在”的關(guān)系問題,蒯因的核心洞見是:事物能夠被感知并不是事物存在的真正本質(zhì)。他論證說:“如果飛馬存在,他確實(shí)就會(huì)一定在空間和時(shí)間之中,但這只是因?yàn)椤w馬’這個(gè)詞有空間 -時(shí)間的含義,而不是因?yàn)椤嬖凇锌臻g -時(shí)間的含義。如果我們肯定 27的立方根存在,沒有空間

-時(shí)間上的所指,這只是因?yàn)榱⒎礁⒉皇且环N在空間 -時(shí)間中的東西,而不是因?yàn)槲覀儗?duì)‘存在’的使用有歧義。”[6]4關(guān)于“何物存在”,蒯因真正關(guān)心的是本體論的承諾問題:“當(dāng)我們想要考察存在的時(shí)候,物體由于其可感知性而優(yōu)于別的對(duì)象。但是,我們現(xiàn)在已經(jīng)轉(zhuǎn)移到了關(guān)于下述事情的問題上來了:不去考察存在,而去考察存在的歸屬問題,即考察一個(gè)理論說什么東西存在。這個(gè)問題就是:何時(shí)可以認(rèn)為一個(gè)理論假定了一個(gè)給定的對(duì)象,或者一個(gè)給定種類中的若干對(duì)象,比如說數(shù)、數(shù)的集合、性質(zhì)或點(diǎn),等等?！盵10]417-418這樣,問題的關(guān)鍵就變?yōu)榭疾煲粋€(gè)理論中“存在”一詞的真正本質(zhì)是什么。

在蒯因看來,首先必須明確的是,我們不能通過在一個(gè)真陳述中使用了單稱詞項(xiàng)或者名字就直接宣稱該陳述承諾了某個(gè)對(duì)象。理由是語詞的意義和由該語詞命名的對(duì)象是不同的,我們可以使用沒有指稱對(duì)象的語言,同時(shí)該語言是有意義的。比如我們可以不用預(yù)設(shè)飛馬存在而有意義地談?wù)摗帮w馬”這個(gè)語詞。因此,“名字對(duì)于本體論問題是完全無關(guān)緊要的”。[6]13甚至,像“飛馬”這樣的名字可以通過羅素的策略把其轉(zhuǎn)換為摹狀詞,摹狀詞最終又可以被消除掉。因此,本體論許諾的真正本質(zhì)并非名字。這也就是說,我們不能通過“2是素?cái)?shù)”為真和“2”是抽象單稱詞項(xiàng)來斷定“2”指稱了抽象的數(shù)學(xué)對(duì)象2。那么,我們通過什么方式可以確定真陳述“2是素?cái)?shù)”中承諾了抽象的數(shù)學(xué)對(duì)象 2呢?

如果我們把“2是素?cái)?shù)”用符號(hào)表示為“Fa”,那么根據(jù)羅素的摹狀詞分析,“2是素?cái)?shù)”就可以用一個(gè)量化表達(dá)式來表示,即“?x(Fx∧x=a)”。經(jīng)過這樣的處理之后,蒯因主張,“2是素?cái)?shù)”中的數(shù)字“2”指稱 2這個(gè)數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)上述的量化表達(dá)式為真。換言之,“為了表明某一給定對(duì)象在一個(gè)理論中是被需要的,我們所必須表明的事情恰恰就是:為了保持該理論的真理性,那個(gè)對(duì)象必須處于約束變項(xiàng)所涉及的那些取值之中?！盵10]419更一般的,比如我們要考察“存在著 10和 100之間的素?cái)?shù)”這個(gè)陳述在本體論上承諾了哪些對(duì)象,就是要確定使得量化表達(dá)式“?x(Fx∧x>10∧x<100)”為真的那些約束變項(xiàng)所取的值。這樣看來,一個(gè)理論承諾了哪些對(duì)象存在,取決于使該理論為真的、落入約束變項(xiàng)的取值范圍內(nèi)的那些對(duì)象。這就是蒯因著名的本體論承諾原則,即“存在就是約束變項(xiàng)的值”。

簡(jiǎn)言之,通過上述分析,蒯因關(guān)于數(shù)學(xué)實(shí)在性的不可或缺性論證始終貫穿于他的科學(xué)自然主義、確證整體論和本體論承諾的三個(gè)前提中,最終得出了“數(shù)學(xué)對(duì)象存在”的數(shù)學(xué)實(shí)在論結(jié)論。圖示如下:

圖1 “數(shù)學(xué)對(duì)象存在”的數(shù)學(xué)實(shí)在論結(jié)論圖

二 數(shù)學(xué)實(shí)在性的不可或缺性論證的困難

數(shù)學(xué)實(shí)在性的不可或缺性論證為數(shù)學(xué)實(shí)在論提供了新的辯護(hù),我們現(xiàn)在關(guān)心的是:這種不可或缺性論證最終成功了嗎?我們已經(jīng)看到,蒯因的不可或缺性論證的整個(gè)背景框架都要依賴于他的科學(xué)自然主義。但令人遺憾的是,蒯因在具體實(shí)施上述所有三個(gè)前提的論證過程中,都或多或少地違背了這一主張,導(dǎo)致他的總綱領(lǐng)與具體的實(shí)施策略之間的不一致,最終使得數(shù)學(xué)實(shí)在性的不可或缺性論證不能令人信服。

首先,蒯因的自然主義主張反對(duì)“第一哲學(xué)”原則,然而,他的整個(gè)不可或缺性論證依然保留有“第一哲學(xué)”的探討模式,是一種不徹底的自然主義。一方面,在蒯因看來,對(duì)數(shù)學(xué)的本體論探究應(yīng)該以自然科學(xué)的方式進(jìn)行,不需要任何超科學(xué)的方法,即超越于觀察和假說 -演繹方法之上的任何辯護(hù)。因此,對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)體是否存在的探討自然應(yīng)該用經(jīng)驗(yàn)自然科學(xué)的方法來直接判定。由于數(shù)學(xué)對(duì)象不能被人類感知到,即使高精密的科學(xué)儀器也探測(cè)不到 (比如,現(xiàn)有的所有測(cè)量工具無論如何都測(cè)量不到),因此,像這樣的數(shù)學(xué)對(duì)象就不存在。這個(gè)結(jié)論依賴于蒯因科學(xué)自然主義的信念:自然科學(xué)是關(guān)于實(shí)在之本質(zhì)的最終仲裁者。但是另一方面,蒯因的不可或缺性論證卻告訴我們“數(shù)學(xué)對(duì)象存在”。無疑,蒯因的論證是充滿矛盾的。他的科學(xué)自然主義充其量只能是一種不徹底的自然主義,或者更準(zhǔn)確地說,“數(shù)學(xué)對(duì)象存在”無法從科學(xué)自然主義的前提中得出。

其次,蒯因的確證整體論主張數(shù)學(xué)知識(shí)要面臨經(jīng)驗(yàn)的確證,但是在實(shí)際的數(shù)學(xué)研究中,數(shù)學(xué)知識(shí)的確證是獨(dú)立于經(jīng)驗(yàn)的。具體而言,蒯因的確證整體論認(rèn)為,數(shù)學(xué)作為科學(xué)理論的一部分,其目的是為了描述實(shí)在世界并且要接受經(jīng)驗(yàn)的檢驗(yàn)。當(dāng)我們的科學(xué)理論與經(jīng)驗(yàn)不符,我們就應(yīng)該根據(jù)經(jīng)驗(yàn)及時(shí)修改科學(xué)理論中相應(yīng)的假說。因而在原則上,數(shù)學(xué)和邏輯也有被修改的可能性,不存在絕對(duì)不可錯(cuò)的知識(shí)。但是,實(shí)際的情形表明,并沒有哪些經(jīng)驗(yàn)會(huì)把以往已經(jīng)確立起來的數(shù)學(xué)知識(shí)推翻。比如,數(shù)學(xué)家們一旦斷定了“2是素?cái)?shù)”,“2是素?cái)?shù)”就一直成立,它不會(huì)隨著外在于數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)的改變而改變。同樣,直角邊邊長(zhǎng)為 1的等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)是,這條數(shù)學(xué)定理不會(huì)因?yàn)槲覀冊(cè)诂F(xiàn)實(shí)中無法測(cè)量到而被推翻或者需要修改。因此,面對(duì)經(jīng)驗(yàn)的法庭,已確立的數(shù)學(xué)知識(shí)本身根本不存在需要修改的可能性。

關(guān)于蒯因確證整體論的這一缺陷,布朗 (James RobertBrown)也指出應(yīng)用數(shù)學(xué)的本質(zhì)在于對(duì)物理世界的表征而非描述。換言之,數(shù)學(xué)可以被視為物理世界的模型,而并非是對(duì)特定物理事實(shí)的一種絕對(duì)刻畫。布朗給出了一個(gè)簡(jiǎn)單的例子 (考慮物理中速度的“加”和數(shù)學(xué)中的“加”)以表明物理事實(shí)不會(huì)改變數(shù)學(xué)概念的意義。比如我們現(xiàn)在設(shè)想:如果在一架正在飛行的飛機(jī) (其相對(duì)于地面的飛行速度是V)內(nèi)扔一個(gè)其速度為W(相對(duì)于飛機(jī))的小球,那么小球相對(duì)于地面的速度是多少?這要分兩種情形來討論,如果飛機(jī)以高速飛行,那么我們就需要在相對(duì)論物理學(xué)的框架中來計(jì)算小球相對(duì)于地面的速度,也就是小球速度和飛機(jī)速度的合成:φ(W⊕V) =(φ(W)+φ(V))/(1+(φ(W)×φ(V))/c2)=(w +v)/(1+(wv)/c2);否則小球相對(duì)于地面的速度遵循經(jīng)典物理學(xué)的框架:φ(W⊕V)=φ(W)+φ(V) =w+v。布朗論證說:“很顯然,這個(gè)例子并沒有推翻我們以前關(guān)于數(shù)學(xué)加法的信念。實(shí)際上,舊的數(shù)學(xué)‘+’在新公式中起了作用——它仍然是加。相反,我們只是挑出了一個(gè)不同的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)以作為物理的速度合成的模型?！盵11]

除此之外,麥蒂 (Penelope Maddy)也竭力反對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)需要由經(jīng)驗(yàn)來確證。她從真實(shí)的數(shù)學(xué)實(shí)踐出發(fā),論證了數(shù)學(xué)家們有一套屬于他們自己的確證方式。數(shù)學(xué)家們對(duì)數(shù)學(xué)公理、定理等的確證無需等到這些公理和定理在成功的科學(xué)中找到了應(yīng)用,而蒯因不可或缺性論證的真正要點(diǎn)恰恰就在于數(shù)學(xué)在科學(xué)中的應(yīng)用。不僅如此,蒯因堅(jiān)持的觀點(diǎn)竟然和真實(shí)的數(shù)學(xué)家們所持的觀點(diǎn)相反。這就是,集合論中的可構(gòu)成性公理 (V=L)在現(xiàn)行集合論中被普遍拒絕;而蒯因卻堅(jiān)持認(rèn)為這條公理應(yīng)該被認(rèn)可。這顯然違背了真實(shí)的數(shù)學(xué)實(shí)踐。因此,通過科學(xué)的確證標(biāo)準(zhǔn)來確證數(shù)學(xué)是不合理的。

最后,蒯因的本體論承諾標(biāo)準(zhǔn)在本質(zhì)上是一種邏輯標(biāo)準(zhǔn)或者語義標(biāo)準(zhǔn),這本身就違反了他的科學(xué)自然主義原則。根據(jù)蒯因不可或缺性論證的推理,科學(xué)理論在邏輯或者語義的意義上承諾了數(shù)學(xué)實(shí)體,如果經(jīng)驗(yàn)在整體上確證了這個(gè)科學(xué)理論為真,那么由該理論承諾的數(shù)學(xué)實(shí)體就存在。顯然,在蒯因的討論中,數(shù)學(xué)實(shí)體的“存在”從邏輯或語義的層面轉(zhuǎn)移到了本體論或者形而上學(xué)的層面。充其量,自然科學(xué)對(duì)于數(shù)學(xué)實(shí)體存在的確證也只是一種間接的確證。假設(shè)蒯因的論證是成立的,那么蒯因也只是斷言了數(shù)學(xué)實(shí)體存在,至于數(shù)學(xué)實(shí)體究竟是一種什么樣的存在,或者數(shù)學(xué)實(shí)體是在什么意義上存在的,蒯因并沒有給出進(jìn)一步的說明。這樣,蒯因關(guān)于數(shù)學(xué)本體論的說明就是不充分或者不完備的。假設(shè)蒯因的論證不成立,這是因?yàn)樗鞔_聲稱“本體論問題是和自然科學(xué)問題同等的”,[6]47因此,通過自然科學(xué)的方法無論如何都得不出數(shù)學(xué)實(shí)體存在的結(jié)論?？偟膩砜?蒯因關(guān)于數(shù)學(xué)實(shí)體存在的不可或缺性論證最終不能成立。

三 結(jié)語

總的來看,數(shù)學(xué)實(shí)在性的不可或缺性論證主張:“數(shù)學(xué)對(duì)于我們最佳的科學(xué)是不可或缺的。我們應(yīng)該相信我們最佳的科學(xué)理論,因此我們應(yīng)該接受由我們最佳的科學(xué)理論所量化的實(shí)體。”[12]當(dāng)然,我們已經(jīng)試圖說明了訴諸數(shù)學(xué)在科學(xué)中的不可或缺性對(duì)于數(shù)學(xué)實(shí)在性的辯護(hù)是站不住腳的。不過即使如此,我們卻不能否認(rèn)不可或缺性論證對(duì)于推動(dòng)數(shù)學(xué)哲學(xué)進(jìn)步的重要意義。一方面,它引發(fā)了哲學(xué)家們繼續(xù)關(guān)注“數(shù)學(xué)與科學(xué)、實(shí)在的物質(zhì)世界之間究竟具有什么樣的關(guān)系?”這一課題,激起了數(shù)學(xué)哲學(xué)中虛構(gòu)主義立場(chǎng)的興起;另一方面,他的科學(xué)自然主義的哲學(xué)傾向也引發(fā)了數(shù)學(xué)自然主義的誕生,將哲學(xué)家們引向深入思考數(shù)學(xué)哲學(xué)研究范式的根本問題,比如“數(shù)學(xué)的哲學(xué)探討與科學(xué)、數(shù)學(xué)探討之間的聯(lián)系和區(qū)別”、“第一哲學(xué)、科學(xué)自然主義和數(shù)學(xué)自然主義研究?jī)A向的適當(dāng)性問題”等等。無論如何,數(shù)學(xué)實(shí)在性的不可或缺性論證的影響是深遠(yuǎn)的,而且“數(shù)學(xué)對(duì)于科學(xué)的不可或缺性”本身依然是當(dāng)代數(shù)學(xué)哲學(xué)研究領(lǐng)域中一個(gè)需要深入研究的課題。

[1]Hilary Putnam.Philosophy of Logic[M].Hilary Putnam. Mathematics,Matter and Method. Second edition.New York:Cambridge University Press,1979:347.

[2]Hilary Putnam.What isMathematical Truth?[M]//Hilary Putnam.Mathematics,Matter and Method.Second edition.New York:Cambridge University Press,1979:74.

[3]Michael D.Resnik.Quine and the Web of Belief[M]// Stewart Shapiro. The Oxford Handbook of Philosophy of Mathematics and Logic. New York:Oxford University Press,2005:430.

[4]W.V.Quine.Theories and Things[M].Cambridge, Mass:Harvard University Press,1981:72.

[5]Mark Colyvan.The Indispensability of Mathematics[M]. New York:Oxford University Press,2001:12.

[6][美]蒯 因.從邏輯的觀點(diǎn)看[M].陳啟偉,江天驥,張家龍,等譯.北京:中國(guó)人民大學(xué)出版社,2007.

[7]W.V.Quine.From a Logical Point of View[M].Second edition.Massachusetts:HarvardUniversity Press,1961:45.

[8]蒯 因.論卡爾納普的本體論觀點(diǎn)[M]//涂紀(jì)亮,陳波.蒯因著作集:第 5卷.北京:中國(guó)人民大學(xué)出版社, 2007:204.

[9]蒯 因.科學(xué)的范圍和語言[M]//涂紀(jì)亮,陳 波.蒯因著作集:第 5卷.北京:中國(guó)人民大學(xué)出版社,2007:232-233.

[10]蒯 因.存在與量化[M]//涂紀(jì)亮,陳 波.蒯因著作集:第 2卷.北京:中國(guó)人民大學(xué)出版社,2007.

[11]James Robert Brown.Philosophy of Mathematics:A Contemporary Introduction to theWorld of Proofs and Pictures [M].Second edition.New York:Routledge,2008:61.

[12]Paolo Mancosu.The Philosophy of Mathematical Practice [M].New York:Oxford University Press,2008:136.

Indispensability Argument for the Reality ofMathematics

KANG Shi-hui
(Research Center for Philosophy of Science and Technology,Shanxi University,Taiyuan030006,China)

Indispensability argument is a new form of mathematical realis m,which tries to defend for the reality of mathematics by using"mathematics’indispensability to science".This argument derives from Quine’s scientific naturalism,confirmational holis m and ontological commitment.By analyzing indispensability argument,this article concludes thatQuine’s scientific realis m is an incomplete naturalis m,that the confir mation ofmathematical knowl

edge dose not depend on experience,and thatmathematical entities’ontological commitment is not consistent with scientific naturalis m.So indispensability argument failed to defend for the reality ofmathematics.

mathematical realism;indispensability argument;scientific naturalism

book=1,ebook=271

N02

A

1000-5935(2010)03-0001-05

(責(zé)任編輯 李雪楓)

2010-02-22

國(guó)家社會(huì)科學(xué)基金青年項(xiàng)目“數(shù)學(xué)的本質(zhì)與實(shí)在世界:一種語境論世界觀的哲學(xué)探索”(09CZX013);教育部人文社會(huì)科學(xué)研究基金青年項(xiàng)目“基于數(shù)學(xué)實(shí)踐的當(dāng)代數(shù)學(xué)實(shí)在論研究”(08JC720008);教育部人文社會(huì)科學(xué)重點(diǎn)研究基地 2008年度重大項(xiàng)目“當(dāng)代數(shù)學(xué)的語境解釋”(08JJD720031)

康仕慧 (1980-),女,山西太原人,山西大學(xué)科學(xué)技術(shù)哲學(xué)研究中心講師,博士研究生,主要從事科學(xué)哲學(xué)與數(shù)學(xué)哲學(xué)研究。