例談求解不等式中的放縮技巧

●江厚利 (杭州市第二中學(xué) 浙江杭州 310053)

不等式問題是競賽中的熱點問題，用放縮法解不等式問題對考生來說也是一個難點，難就難在放縮時需要綜合運用一些技巧.譬如，添項舍項、換元轉(zhuǎn)化、以直代曲、借助重要不等式等.同時，還要把握好放縮的方向與度，即要放縮得恰到好處.本文結(jié)合實例，談?wù)劜坏仁阶C明中的放縮技巧.

1 利用函數(shù)的單調(diào)性放縮

2 利用重要不等式放縮

上式等號成立的充要條件是

3 利用添項、舍項放縮

例3 已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足Sn=2an+(-1)n，n∈N+，證明：對任意整數(shù) m ＞4，有

分析利用已知條件中的an與Sn的關(guān)系，易求得

由于待證不等式的左邊比較復(fù)雜，因此先要設(shè)法將左邊的項放縮，使之能夠求和.

(1)當(dāng)m＞4且m為偶數(shù)時，

(2)當(dāng)m＞4且m為奇數(shù)時，

綜合(1)，(2)可知，結(jié)論成立.

評注當(dāng)-1和1在待證和式的項中交錯出現(xiàn)時，僅考慮通項放縮往往不能奏效.若本題將通項中的-1和1舍去，則雖然可以化為等比數(shù)列求和，但由于通項有的放大，有的縮小，仍不能確定和式是放大還是縮小.此時，可以把奇偶相鄰項捆綁求和后再放縮.注意在添項、舍項放縮時，不能放縮過頭.

4 利用曲線的切線放縮

例4 設(shè)實數(shù)a，b，c滿足a+b+c=3，求證：

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=1時，等號成立.

評注本題蘊含了一個非常樸素且重要的數(shù)學(xué)思想方法——以“直”代“曲”：將函數(shù)的曲線圖像轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的切線，以簡化表達(dá)式.這也是一種放縮!對于當(dāng)且僅當(dāng)各變元相等時不等式取得等號的一類不等式，是一種常用且有效的證明方法.

5 利用積分思想放縮

(2009年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試試題)

故f(x)在［0，1］上單調(diào)遞增，在［1，+∞)上單調(diào)遞減.結(jié)合函數(shù)圖像可得，對任意k∈N+，有

評注分割及“曲直”替換是積分的基本思想方法.本題求解的關(guān)鍵是逆用積分的思想，通過直線轉(zhuǎn)化為曲線，將不等式轉(zhuǎn)化為某個函數(shù)的上和或下和，并結(jié)合積分中的上和不小于積分值、下和不大于積分值的原理即可以達(dá)到證題目標(biāo).