簡(jiǎn)析函數(shù)對(duì)稱性和周期性的關(guān)系

●周少鋒 (嵊州市第一中學(xué) 浙江嵊州 312400)

函數(shù)內(nèi)容貫穿于高中數(shù)學(xué)的始終，歷來是高考考查的難點(diǎn)和熱點(diǎn)，要求學(xué)生熟練掌握函數(shù)的性質(zhì).但在學(xué)習(xí)過程中，許多學(xué)生都被函數(shù)的若干性質(zhì)弄得頭昏腦漲.事實(shí)上，只要把握好其中的關(guān)系，就不難解決了.函數(shù)的這些性質(zhì)到底有哪些相互關(guān)系呢?這里就以函數(shù)圖像的對(duì)稱性和周期性為例，探討它們之間的關(guān)系.

在學(xué)習(xí)三角函數(shù)知識(shí)時(shí)，我們知道三角函數(shù)是周期函數(shù)，它的變化過程是周期性不斷重復(fù)的.以下2條性質(zhì)已是人所共知的函數(shù)性質(zhì)，在研究函數(shù)圖像的對(duì)稱性和周期性時(shí)，若以三角函數(shù)為例，則更容易理解.

性質(zhì)1 若函數(shù)f(x)滿足f(a+x)=f(a-x)(或f(2a-x)=f(x))，x∈D(D是函數(shù)f(x)的定義域)，則函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱.

性質(zhì)2 若函數(shù)f(x)滿足f(a+x)=-f(ax)(或f(2a-x)=-f(x))，x∈D(D是函數(shù)f(x)的定義域)，則函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(a，0)對(duì)稱.

對(duì)于這2條性質(zhì)與函數(shù)周期性的關(guān)系，討論得不多.本文試圖就這2個(gè)方面作一些探索，求教于同行.

1 由函數(shù)的對(duì)稱性討論周期性

定理1 若函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱，且f(x)的圖像又關(guān)于直線x=b對(duì)稱(a≠b)，則函數(shù)f(x)是一個(gè)周期函數(shù)，且周期T=2k(ba)(k∈Z，k≠0).

證明因?yàn)閒(x)的圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱，且關(guān)于直線x=b對(duì)稱(a≠b)，所以對(duì)于任意t∈R，有

令 2b-t=x，則

代入式(1)得

又由 a≠b，得

因此f(x)的周期是 T=2k(b-a)(k∈Z，k≠0).

例1 設(shè)函數(shù)f(x)在(-∞，+∞)上滿足

且在閉區(qū)間［0，7］上，只有 f(1)=f(3)=0.

(1)試判斷函數(shù)y=f(x)的奇偶性;

(2)試求方程f(x)=0在閉區(qū)間［-2 005，2 005］上的根的個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論.

(2005年廣東省數(shù)學(xué)高考理科試題)

分析(1)由 f(2-x)=f(2+x)，f(7-x)=f(7+x)，知函數(shù)f(x)關(guān)于直線x=2和x=7對(duì)稱.從而由定理1知函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù)，且周期為 T=2k(7-2)=10k.又

故函數(shù)y=f(x)是非奇非偶函數(shù).

(2)又 f(3)=f(1)=0，f(11)=f(13)=f(-7)=f(-9)=0，故 f(x)在［0，10］和［-10，0］上均有2個(gè)解，從而可知函數(shù)y=f(x)在［0，2 005］上有402個(gè)解，在［-2 005，0］上有400個(gè)解，所以函數(shù)y=f(x)在［-2 005，2 005］上有802個(gè)解.

定理2 若函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)A(a，0)對(duì)稱，且f(x)的圖像又關(guān)于點(diǎn) B(b，0)對(duì)稱(a≠b)，則函數(shù)f(x)是一個(gè)周期函數(shù)，且周期T=2k(ba)(k∈Z，k≠0).

證明f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn) A(a，0)和 B(b，0)都對(duì)稱，故對(duì)于任意t∈R，有

令 x=2b-t，則

代入式(2)得

又由 a≠b，得從而f(x)是以T=2k(b-a)(k∈Z，k≠0)為周期的周期函數(shù).

例2 函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，若f(x+1)與f(x-1)都是奇函數(shù)，則 ( )

A.f(x)是偶函數(shù) B.f(x)是奇函數(shù)

C.f(x)=f(x+2) D.f(x+3)是奇函數(shù)

(2009年全國(guó)數(shù)學(xué)高考理科試題Ⅰ)

分析由f(x+1)是奇函數(shù)，可知f(x)關(guān)于點(diǎn)(1，0)對(duì)稱;由f(x-1)是奇函數(shù)，可知f(x)關(guān)于點(diǎn)(-1，0)對(duì)稱.又由定理2知，f(x)是一個(gè)周期函數(shù)，且周期

故選D.

例3 已知f(x)是R上的偶函數(shù)，g(x)是R上的奇函數(shù)，且g(x)=f(x-1)，若f(-2)=a(a為常數(shù))，則f(2 002)= _______.

分析由已知得

故f(x)關(guān)于點(diǎn)(1，0)對(duì)稱.因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，所以f(x)也關(guān)于點(diǎn)(-1，0)對(duì)稱.由定理2知，f(x)是一個(gè)周期函數(shù)，且周期

定理3 若函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱，且f(x)的圖像又關(guān)于點(diǎn)(b，0)對(duì)稱(a≠b)，則函數(shù)f(x)是一個(gè)周期函數(shù)，且周期T=4k(b-a)(k∈Z，k≠0).

證明由函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱，且f(x)的圖像又關(guān)于點(diǎn)(b，0)對(duì)稱(a≠b)，得

因此f(x)是以T=4k(b-a)(k∈Z，k≠0)為周期的周期函數(shù).

A.-2 B.-1 C.0 D.1

(2010年浙江省紹興市統(tǒng)考試題)

得f(x)是偶函數(shù).由定理3知，函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，且周期為

2 由函數(shù)的周期性討論對(duì)稱性

證明由函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱，且f(x)是周期為T的周期函數(shù)，得

例5 已知定義在R上的奇函數(shù) f(x)滿足f(x-4)=-f(x)，且在區(qū)間［0，2］上是增函數(shù).若方程f(x)=m(m＞0)在區(qū)間［-8，8］上有4 個(gè)不同的根 x1，x2，x3，x4，則x1+x2+x3+x4= _______.

圖1

(2009年山東省數(shù)學(xué)高考理科試題)

分析因?yàn)槎x在R上的奇函數(shù)滿足f(x-4)=-f(x)，所以

由點(diǎn)x3，x4關(guān)于直線x=2對(duì)稱，得

證明函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(a，0)對(duì)稱，且f(x)是周期為T的周期函數(shù)，從而

例6 定義在R上的函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)，又是周期函數(shù)，3是它的一個(gè)正周期.若將方程f(x)=0在閉區(qū)間(0，6)上的根的個(gè)數(shù)記為n，則n可能為 ( )

A.0 B.1 C.3 D.5

(2007年安徽省數(shù)學(xué)高考理科試題)

但以下2個(gè)命題卻不一定成立.

反例：f(x)=|tanx|只有對(duì)稱軸，但沒有對(duì)稱中心.

反例：f(x)=tanx只有對(duì)稱中心，沒有對(duì)稱軸.

注若已經(jīng)知道函數(shù)f(x)既有對(duì)稱中心，也有對(duì)稱軸，則以上2個(gè)命題均成立.

綜上可知，認(rèn)識(shí)函數(shù)對(duì)稱性和周期性可使我們對(duì)函數(shù)的圖像特征與性質(zhì)有比較清晰的認(rèn)識(shí)，克服對(duì)函數(shù)(特別是抽象函數(shù))恐懼的心理，從而進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生解題思想方法的探求，提高解決問題的能力，培養(yǎng)思維的靈活性，最終達(dá)到培養(yǎng)創(chuàng)新思維的目標(biāo).

［1］ 王國(guó)云.抽象函數(shù)的對(duì)稱性與周期性芻議［J］.中學(xué)教研，2010(6)：31-33.

［2］ 侯立剛.例析函數(shù)中十二對(duì)易混問題［J］.數(shù)理化解題研究，2009(1)：1.

［3］ 張建國(guó).函數(shù)圖像的對(duì)稱性與其周期的教學(xué)［J］.上海中學(xué)數(shù)學(xué)，2009(6)：14.