簡(jiǎn)述不等式恒成立問(wèn)題的幾種求解策略

●曹江誼 (蘇溪中學(xué) 浙江義烏 322000)

不等式恒成立問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)中的一類典型問(wèn)題，也是歷年高考的熱點(diǎn)題型之一.確定不等式恒成立中參數(shù)的取值范圍，需靈活應(yīng)用函數(shù)與不等式的基礎(chǔ)知識(shí)，并時(shí)常要在兩者間進(jìn)行合理的交匯，因此此類問(wèn)題屬于學(xué)習(xí)的重點(diǎn).怎樣確定其取值范圍呢?課本中卻從未論及，但它已成為近年來(lái)命題測(cè)試中的常見(jiàn)題型，因此此類問(wèn)題又屬學(xué)習(xí)的熱點(diǎn).在確定恒成立不等式中參數(shù)的取值范圍時(shí)，需要在函數(shù)思想的指引下，靈活地進(jìn)行代數(shù)變形、綜合地運(yùn)用多科知識(shí)，方可取得較好的效益，因此此類問(wèn)題的求解是學(xué)習(xí)的難點(diǎn).基于此，本文試對(duì)此類問(wèn)題的求解策略與方法作一提煉總結(jié).

1 最值法

是將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題的一種處理方法，其一般類型有：

(1)f(x)＞a恒成立?a＜f(x)min;

(2)f(x)＜a恒成立?a＞f(x)max.

2 分離變量法

若所給的不等式能通過(guò)恒等變形使參數(shù)與主元分離于不等式的2端，從而使問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求主元函數(shù)的最值，進(jìn)而求出參數(shù)的取值范圍.這種方法的本質(zhì)也還是求最值，但它的思路更清晰、操作性更強(qiáng).一般有：

(1)f(x)＜g(a)(a為參數(shù))恒成立?g(a)＞f(x)max;

(2)f(x)＞g(a)(a為參數(shù))恒成立?g(a)＜f(x)max.

實(shí)際上，例1就可利用此法解決.

略解 x2+2x+a＞0在x∈［1，+∞)時(shí)恒成立，只要a＞-x2-2x在x∈［1，+∞)時(shí)恒成立.易求得二次函數(shù)h(x)=-x2-2x在［1，+∞)上的最大值為-3，因此a＞-3.

可知g(x)在(0，4］上為減函數(shù)，因此

得a＜0，即a的取值范圍為(-∞，0).

評(píng)注分離參數(shù)后，方向明確、思路清晰，能使問(wèn)題順利得以解決.

3 變換主元法

將原先不等式的主元變換成另外一個(gè)主元，以變換后的主元為自變量構(gòu)造函數(shù)，利用構(gòu)造出的函數(shù)圖像與性質(zhì)進(jìn)行求解.

例3 對(duì)任意 a∈［-1，1］，不等式 x2+(a-4)x+4-2a＞0恒成立，求x的取值范圍.

分析題目中的不等式是關(guān)于x的一元二次不等式，但若把a(bǔ)看成主元，則問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為一次不等式(x-2)a+x2-4x+4＞0在 a∈［-1，1］上恒成立的問(wèn)題.

解令f(x)=(x-2)a+x2-4x+4，則原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為f(a)＞0在a∈［-1，1］上恒成立.

當(dāng)x=2時(shí)，可得f(a)=0，不合題意;

當(dāng)x≠2時(shí)，應(yīng)有

故x的取值范圍為(-∞，-1)∪(3，+∞).

評(píng)注變換主元法其實(shí)是一種“反客為主”的策略：把欲求字母變量作為“客”即參數(shù)，題設(shè)中有范圍的字母變量作為“主”即自變量.

4 求導(dǎo)法

當(dāng)不等式中出現(xiàn)3次以上的多項(xiàng)式函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等函數(shù)時(shí)，可考慮利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)探求問(wèn)題的解法.

例4 已知函數(shù)

其中a＞1，試問(wèn)當(dāng)k取何值時(shí)，不等式f(x)＜g(x)對(duì)任意的x∈(1，+∞)恒成立?

分析注意到logax與logxa是倒數(shù)關(guān)系，設(shè)t=logax+logxa，可對(duì)函數(shù)f(x)，g(x)的表達(dá)式進(jìn)行化簡(jiǎn)，進(jìn)而將題設(shè)不等式轉(zhuǎn)化關(guān)于t的不等式，利用導(dǎo)數(shù)求解.

解設(shè)t=logax+logxa，則

由x∈(1，+∞)且 a＞1，可得 t≥2，因此不等式f(x)＜g(x)對(duì)任意的x∈(1，+∞)恒成立，等價(jià)于t3-kt2-k2t+2k＞0對(duì)任意t≥2恒成立.設(shè)h(t)=t3-kt2-k2t+2k，則函數(shù) h(t)在［2，+∞)上的最小值大于0，于是

由導(dǎo)數(shù)知識(shí)得

當(dāng) k≥2時(shí)，h(x)min=h(k)＞0，解得 k∈φ;

當(dāng)0＜k＜2時(shí)，k(x)min=h(2)＞0，解得

當(dāng) k=0時(shí)，h'(t)=3t2＞0，即 h(t)在［2，+∞)上是增函數(shù)，于是

當(dāng) -6≤k＜0時(shí)，h(x)min=h(2)＞0，解得

評(píng)注利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、極值點(diǎn)情況，進(jìn)而描繪出函數(shù)的大致圖像，是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵.若情況復(fù)雜，則還需進(jìn)行分類討論.

5 構(gòu)建函數(shù)法

當(dāng)參數(shù)難以分離而不等式是有關(guān)某個(gè)變量的一次或二次函數(shù)時(shí)，可以通過(guò)構(gòu)建函數(shù)來(lái)解決.我們知道，函數(shù)概念是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)很重要的概念，其思想和方法已滲透到數(shù)學(xué)的各個(gè)分支.在某些數(shù)學(xué)問(wèn)題中，通過(guò)數(shù)式類比，構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，然后利用函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)結(jié)論解題，往往能收到意想不到的效果.這里，主要介紹如何通過(guò)構(gòu)造一次函數(shù)、二次函數(shù)模型，并利用它們的性質(zhì)來(lái)確定參數(shù)的取值范圍.

5.1 構(gòu)造一次函數(shù)

例5 若對(duì)一切|p|≤2，不等式(log2x)2+plog2x+1＞2log2x+p恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.

解原不等式可變形為

現(xiàn)在考慮p的一次函數(shù)：

解原不等式可變形為

令 sinθ=t，t∈［0，1］，則

評(píng)注本題對(duì)于一切|p|≤2，原不等式恒成立，因此應(yīng)視p為主元，視x為參數(shù)，把不等式變成關(guān)于p的一次函數(shù)型.

5.2 構(gòu)造二次函數(shù)

例6 對(duì)于

令f(t)=t2-2mt+2m+1，因此可轉(zhuǎn)化為f(t)＞0在 t∈［0，1］上恒成立，從而

評(píng)注二次函數(shù)圖像由其開(kāi)口方向、頂點(diǎn)和對(duì)稱軸這三要素確定.當(dāng)對(duì)稱軸中含有字母參量時(shí)，要先討論其與給定區(qū)間的位置關(guān)系，然后才能確定函數(shù)在給定區(qū)間上的最值.

6 基本不等式法

當(dāng)不等式中涉及的字母變量較多而無(wú)法將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)考慮使用基本不等式求解.

分析由條件推出函數(shù)f(x)的單調(diào)性.據(jù)單調(diào)性“脫”去不等式中的“f”得到關(guān)于 x，y，a的普通不等式，利用基本不等式求a的取值范圍.

得f(x)在(0，+∞)上是減函數(shù).因此

評(píng)注利用基本不等式求表達(dá)式的取值范圍或最值，要注意其條件：“一正、二定、三相等”是否具備.

7 數(shù)形結(jié)合法

將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像的問(wèn)題處理.

圖1

評(píng)注借助函數(shù)的圖像，往往能找到簡(jiǎn)捷、巧妙的解法.

數(shù)學(xué)的不等式恒成立問(wèn)題形式多樣，方法靈活多變，技巧性較強(qiáng).這就要求我們要以變應(yīng)變.在解題過(guò)程中，要根據(jù)具體的題設(shè)條件，認(rèn)真觀察題目中不等式的結(jié)構(gòu)特征，從不同的角度、不同的方向，加以分析探討，從而選擇適當(dāng)方法快速而準(zhǔn)確地解出.因此，系統(tǒng)地掌握不等式恒成立問(wèn)題的解題方法，無(wú)疑會(huì)對(duì)學(xué)生今后學(xué)習(xí)及培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題等方面有很大的幫助.