學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中習(xí)題課的教學(xué)探討

●鄭關(guān)忠 (遂昌縣第三中學(xué) 浙江麗水 323300)

新課程理念下的數(shù)學(xué)教學(xué)將由“關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)結(jié)果”轉(zhuǎn)向“關(guān)注學(xué)生活動(dòng)”，重塑知識(shí)的形成過(guò)程.課程設(shè)計(jì)將由“給出知識(shí)”轉(zhuǎn)向“引導(dǎo)活動(dòng)”，數(shù)學(xué)新教材倡導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探索、自主學(xué)習(xí)、合作討論，體現(xiàn)數(shù)學(xué)再發(fā)現(xiàn)的過(guò)程.數(shù)學(xué)教學(xué)不再是教師向?qū)W生傳授知識(shí)的單一過(guò)程，而是鼓勵(lì)學(xué)生觀察、操作、發(fā)現(xiàn)，并通過(guò)合作交流，讓學(xué)生發(fā)展自主學(xué)習(xí)的能力、個(gè)性品質(zhì)的發(fā)展，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力.

如何充分體現(xiàn)學(xué)生在數(shù)學(xué)教學(xué)中的主體作用，提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)質(zhì)量，特別是如何上好數(shù)學(xué)習(xí)題課，是擺在每一位數(shù)學(xué)教師面前的重要課題.教師除了要認(rèn)真學(xué)習(xí)新課標(biāo)，鉆研教材，把握好每章節(jié)的重點(diǎn)、難點(diǎn)，明確教學(xué)目的外，還要精心設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程.習(xí)題課教學(xué)和數(shù)學(xué)概念、公式、公理、定理、例題的教學(xué)及復(fù)習(xí)課教學(xué)構(gòu)成了初中數(shù)學(xué)教學(xué)的三大支柱.高效的習(xí)題課教學(xué)在培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)、提高學(xué)生分析與解決問(wèn)題的能力、了解教學(xué)效果等方面都有不可替代的作用.

在從強(qiáng)化知識(shí)的傳統(tǒng)教育模式向素質(zhì)教育的現(xiàn)代教育模式轉(zhuǎn)化的改革中，應(yīng)該將習(xí)題課教學(xué)改革作為整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要環(huán)節(jié)對(duì)待.

1 選題必須具有典型性、針對(duì)性、靈活性，以學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)為出發(fā)點(diǎn)

習(xí)題課的選題要圍繞學(xué)生的知識(shí)點(diǎn)展開(kāi)，所選題目主要有2個(gè)部分，即教師課堂分析的例題和檢測(cè)學(xué)生的練習(xí)題.其中例題的難度略高于練習(xí)題，應(yīng)優(yōu)先考慮課本中的例題與習(xí)題，并且對(duì)其進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兪脚c拓展(畢竟課本習(xí)題都是經(jīng)過(guò)專(zhuān)家多次篩選后的精品);要避免純粹地從中考題或資料中抄來(lái)，一味的內(nèi)容求新、題型求全.

例如，對(duì)浙江版八年級(jí)上冊(cè)勾股定理一節(jié)的習(xí)題課進(jìn)行一些探討.首先鞏固基礎(chǔ)，了解學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)存在“漏洞”.

(1)已知：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a.若 a=6 cm，b=8 cm，則 c=_______;若 a=3 cm，c=8 cm，則 b= _______;若 b=3，c=4，則 a= _______.

(2)已知：直角三角形的2條邊長(zhǎng)分別為2 cm和3 cm，那么第3條邊長(zhǎng)為_(kāi)______;直角三角形的斜邊長(zhǎng)為_(kāi)_______.

(3)試判斷下列三角形是否為直角三角形.

①3條邊長(zhǎng)分別為5，12，13;

②△ABC的3條邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2-b2=c2;

(4)如果 ΔABC 的3 條邊分別為a，b，c，且滿足a2+b2+c2+502=6a+8b+10c，判斷 ΔABC 的形狀.

這一題組既幫助學(xué)生復(fù)習(xí)鞏固了知識(shí)點(diǎn)，填補(bǔ)了學(xué)生在知識(shí)結(jié)構(gòu)上存在的漏洞，又能使教師準(zhǔn)確了解學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)掌握的程度.

2 在解題過(guò)程中要以學(xué)生為主體，教師是課堂教學(xué)中的組織者、引導(dǎo)者和合作者

課堂上，教師應(yīng)營(yíng)造出和諧、民主的課堂氛圍.教師出示題目之后，一定要沉得住氣，給學(xué)生足夠的時(shí)間，發(fā)動(dòng)全體學(xué)生審題、思考、嘗試、探索，教師只要適時(shí)、適度、適量地給予點(diǎn)撥，而不應(yīng)該搞個(gè)人承包(指教師一講到底或指定某位學(xué)生，一問(wèn)一答，一說(shuō)一寫(xiě)，直到結(jié)束)，這樣就忽視了學(xué)生的主體地位，忽視了大多數(shù)學(xué)生的參與，教師的主導(dǎo)作用也未能充分發(fā)揮.教師就出示的題目發(fā)動(dòng)全體學(xué)生討論或分小組討論，自己也可加入其中，直至全體學(xué)生形成思維共振、情感共鳴，最后形成共識(shí).

筆者在二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)的復(fù)習(xí)課中，選用了這樣一道題作為例題.

例1 已知二次函數(shù)y=x2+4x+3.

(1)畫(huà)出函數(shù)草圖;

(2)結(jié)合函數(shù)草圖，寫(xiě)出盡可能多的結(jié)論，并說(shuō)出一般結(jié)論.

筆者讓學(xué)生讀題目，畫(huà)好草圖，考慮2分后開(kāi)始交流.學(xué)生通過(guò)相互交流、討論、補(bǔ)充，得出了以下結(jié)論：

(1)開(kāi)口方向：向上(一般由a的值決定).

(2)對(duì)稱(chēng)軸：x=-2(直線).

(5)與 x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)：A(-3，0)，B(1，0)(設(shè)y=0，解就是交點(diǎn)橫坐標(biāo)).

(6)與 y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)：C(0，3).

(8)增減性：略.

(9)點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是(-4，3).

(10)△ABP是等腰直角三角形.

(12)圖像可以由y=x2的圖像先向左平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位得到.

(13)①當(dāng)-3＜x＜ -1時(shí)，y＜0;②當(dāng)x=-3或x=-1時(shí)，y=0;③當(dāng)x＜ -3或x＞ -1時(shí)，y＞0.

(14)圖像繞著頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后的解析式是y=(x+2)2-1.

(15)圖像繞著x軸旋轉(zhuǎn)后的解析式是y=-(x+2)2+1.

所有的學(xué)生馬上興趣盎然地投入思考、探索，通過(guò)學(xué)生間的交流、討論，使學(xué)生對(duì)二次函數(shù)性質(zhì)、特征有了較深刻的理解，從而達(dá)到了在題目中復(fù)習(xí)性質(zhì)、在性質(zhì)中解決問(wèn)題的效果，擺脫了以往純文字復(fù)習(xí)性質(zhì)的常規(guī).

3 講題要注重學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程，有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維和求異思維

教師在講題時(shí)，過(guò)程比結(jié)果更重要，過(guò)程中有方法、有能力.只有充分展示過(guò)程，才能潛移默化地培養(yǎng)能力.因此在習(xí)題課教學(xué)中必須經(jīng)常進(jìn)行“變式與拓展訓(xùn)練”，對(duì)學(xué)生進(jìn)行發(fā)散思維與求異思維訓(xùn)練，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維.數(shù)學(xué)變式教學(xué)是指通過(guò)不同角度、不同側(cè)面、不同背景，從多個(gè)方面變更所提供的數(shù)學(xué)對(duì)象或數(shù)學(xué)問(wèn)題的呈現(xiàn)形式，使事物的非本質(zhì)特征發(fā)生變化而本質(zhì)特征保持不變的教學(xué)形式.在保持本質(zhì)特征不變的前提下，數(shù)學(xué)變式教學(xué)主要通過(guò)變更數(shù)學(xué)概念的非本質(zhì)特征、數(shù)學(xué)問(wèn)題的條件或結(jié)論，轉(zhuǎn)換數(shù)學(xué)問(wèn)題的形式或內(nèi)容，創(chuàng)設(shè)各種實(shí)際應(yīng)用的環(huán)境來(lái)實(shí)現(xiàn)，從而也保證了習(xí)題選擇的有效性和針對(duì)性.

例2 如圖1，有一塊三角形余料ABC，它的邊BC=120 mm，高AD=80 mm.要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余2個(gè)頂點(diǎn)分別在AB，AC上.問(wèn)加工成的正方形零件的邊長(zhǎng)為多少?

變式1 如圖2，將原題中“正方形PQMN”改為“矩形PQMN”(如圖2).問(wèn)當(dāng)矩形的長(zhǎng)和寬分別為多少時(shí)，所截得的矩形面積最大，最大面積是多少，余料的利用率是多少?

圖1

圖2

變式2 一塊直角三角形木板的一條直角邊AB 長(zhǎng)為1.5 m，面積為1.5 m2.工人師傅要把它加工成一個(gè)面積最大的正方形桌面，請(qǐng)甲、乙2位同學(xué)設(shè)計(jì)加工方案，甲設(shè)計(jì)方案如圖3所示，乙設(shè)計(jì)方案如圖4所示.你認(rèn)為哪位同學(xué)設(shè)計(jì)的方案較好?試說(shuō)明理由(加工損耗忽略不計(jì)，計(jì)算結(jié)果可保留分?jǐn)?shù)).

(2006年南京市數(shù)學(xué)中考試題)

圖3

圖4

變式3 已知△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，AC=80，BC=60，如圖 5 所示.把邊長(zhǎng)分別為 x1，x2，x3，…，xn的 n個(gè)正方形依次放入△ABC中，則第1個(gè)正方形的邊長(zhǎng)x1=_______;第n個(gè)正方形的邊長(zhǎng)xn= _______(用含n的式子表示，n≥1).

圖5

變式4 如圖6，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3.

(1)如圖6，四邊形DEFG為Rt△ABC的內(nèi)接正方形，求正方形的邊長(zhǎng);

(2)如圖7，三角形內(nèi)有并排的2個(gè)相等的正方形，它們組成的矩形內(nèi)接于Rt△ABC，求正方形的邊長(zhǎng);

(3)如圖8，三角形內(nèi)有并排的3個(gè)相等的正方形，它們組成的矩形內(nèi)接于Rt△ABC，求正方形的邊長(zhǎng);

(4)如圖9，三角形內(nèi)有并排的n個(gè)相等的正方形，它們組成的矩形內(nèi)接于Rt△ABC，求正方形的邊長(zhǎng).

圖6

圖7

圖8

圖9

通過(guò)變式，促使學(xué)生能聯(lián)系地、多層次地、多角度地看問(wèn)題，擴(kuò)大學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力.

例3 求證：順次連結(jié)平行四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是平行四邊形.

變式1 求證：順次連結(jié)矩形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是菱形.

變式2 求證：順次連結(jié)菱形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是矩形.

變式3 求證：順次連結(jié)正方形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是正方形.

變式4 問(wèn)題：順次連結(jié)什么四邊形中點(diǎn)可以得到平行四邊形?

變式5 問(wèn)題：順次連結(jié)什么四邊形中點(diǎn)可以得到矩形?

變式6 問(wèn)題：順次連結(jié)什么四邊形中點(diǎn)可以得到菱形?

……

通過(guò)以上變式訓(xùn)練，可防止學(xué)生形式地、機(jī)械地背誦或套用公式和定理，使學(xué)生充分掌握四邊形這一章節(jié)所有的基礎(chǔ)知識(shí)和基本概念，強(qiáng)化溝通常見(jiàn)特殊四邊形的性質(zhì)定理、判定定理、三角形中位線定理等，極大地拓展了學(xué)生的解題思路、活躍思維、激發(fā)興趣.

例4 證明：等腰梯形的判定定理：在同一底上的2個(gè)底角相等的梯形是等腰梯形.

筆者在講解此題時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生從以下4個(gè)方面進(jìn)行分析：

(1)平移一腰，轉(zhuǎn)化為平行四邊形和等腰三角形;

(2)過(guò)上底的2個(gè)端點(diǎn)作高線，轉(zhuǎn)化為2個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)矩形;

(3)延長(zhǎng)兩腰，轉(zhuǎn)化為2個(gè)等腰三角形.

這幾種證法分別用到了全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、等角對(duì)等邊、平行四邊形的性質(zhì)、等式的性質(zhì)等，體現(xiàn)了知識(shí)的縱向、橫向的結(jié)合.輔助線的添設(shè)也各有特色，展示了解決梯形問(wèn)題的一般規(guī)律.這樣對(duì)強(qiáng)化學(xué)生的解題技能、優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)具有重要的意義.

4 注重習(xí)題的過(guò)程評(píng)價(jià)，讓學(xué)生通過(guò)易誤點(diǎn)進(jìn)行錯(cuò)因分析

在課堂教學(xué)中，教師要準(zhǔn)確發(fā)現(xiàn)學(xué)生在知識(shí)理解、方法運(yùn)用等方面的成績(jī)和不足，要給予必要的肯定和及時(shí)矯正，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)尋找突破口的方法，總結(jié)易混、易錯(cuò)處，歸納同類(lèi)習(xí)題的共性與異性、習(xí)題的聯(lián)系與區(qū)別，達(dá)到解題時(shí)會(huì)一類(lèi)、通一片的目的.其中“設(shè)錯(cuò)”是數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中的一個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)手段，其目的是通過(guò)“設(shè)錯(cuò)來(lái)糾錯(cuò)”進(jìn)一步理解和掌握知識(shí)的難點(diǎn)和重點(diǎn)，不斷激發(fā)出強(qiáng)烈的求知欲望，從而達(dá)到理想的教學(xué)效果.

例5 若一元二次方程(m-2)x2+3x+m2-4=0有1個(gè)根為0，則m = ________.

學(xué)生在求解時(shí)，有相當(dāng)一部分學(xué)生會(huì)錯(cuò)誤地解答成m=±2.當(dāng)然，習(xí)題課教學(xué)中允許學(xué)生解錯(cuò)，它可以開(kāi)拓學(xué)生思維，培養(yǎng)能力;可以進(jìn)行教學(xué)反饋，及時(shí)彌補(bǔ)教學(xué)不足.因此要正確對(duì)待學(xué)生學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的錯(cuò)誤，甚至運(yùn)用一定的方法誘使學(xué)生出錯(cuò)，“擠”出學(xué)生頭腦中錯(cuò)誤的模糊東西，并最終達(dá)到正確.在例5中，教師接著可以讓學(xué)生試著把x=2代入原方程驗(yàn)算，學(xué)生很快會(huì)發(fā)現(xiàn)x=2不符合題意，應(yīng)舍去.他們的好奇心馬上就被調(diào)動(dòng)起來(lái)了，主動(dòng)去尋找剛才解答過(guò)程中可能存在錯(cuò)誤的地方.教師要主動(dòng)把自己的教學(xué)情感融入到學(xué)生的心理中，要站在學(xué)生的角度與學(xué)生同歡、同樂(lè)、同奇、同疑.對(duì)學(xué)生的“糾錯(cuò)”，要肯定其創(chuàng)新精神，即使回答錯(cuò)誤，教師也要因勢(shì)利導(dǎo)、隨機(jī)應(yīng)變，把學(xué)生的錯(cuò)誤資源當(dāng)做反面教材，認(rèn)真分析、尋找原因;或者把問(wèn)題切換成低一層次稍容易的相關(guān)問(wèn)題作啟迪，指出思考方向，使整個(gè)課堂教學(xué)始終處于和諧、協(xié)調(diào)、高效的態(tài)勢(shì).

在習(xí)題課教學(xué)中，教師應(yīng)要求學(xué)生對(duì)知識(shí)和習(xí)題進(jìn)行整理，對(duì)規(guī)律進(jìn)行小結(jié)與反思，對(duì)思想方法進(jìn)行提煉，形成觀點(diǎn);同時(shí)把自己出錯(cuò)的原因?qū)懗鰜?lái)，及時(shí)糾正一些學(xué)生不認(rèn)真復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)而引起出錯(cuò)，起到查漏補(bǔ)缺的作用.這對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)水平的提高有很大的促進(jìn)作用.當(dāng)然，數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)所涉及的問(wèn)題遠(yuǎn)不止這些，譬如教師的語(yǔ)言表達(dá)，語(yǔ)調(diào)、形體語(yǔ)言，、板書(shū)的規(guī)范化，講練脫節(jié)等都是值得研討的問(wèn)題.總之，教師應(yīng)針對(duì)學(xué)生的實(shí)際情況和認(rèn)知水平，精心選編習(xí)題，要善于調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，給學(xué)生更多的思考時(shí)間和空間，讓學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主人.

［1］ 中華人民共和國(guó)教育部制訂.數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2001.

［2］ 陳開(kāi)金.初中數(shù)學(xué)習(xí)題課教學(xué)初探［J］.中國(guó)在線：聚焦新課程，2009(8)：38.

［3］ 王群能.解題錯(cuò)誤是一種教學(xué)資源［J］.教育實(shí)踐與研究.中學(xué)版，2009(12)：48-50.