Sinc-Chebyshev配置方法求解一維對流擴散方程

毛 志

（ 銅仁學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)系，貴州 銅仁 554300 ）

一、引言

對流擴散方程（convection diffusion equation）是一類基本的運動方程，是描述粘性流體的非線性方程的線性化模型方程。它可以用來描述空氣動力學(xué)、水力學(xué)、環(huán)境保護和生物、化學(xué)工程等眾多科技和工程領(lǐng)域中的對流擴散問題[1]，所以關(guān)于對流擴散方程數(shù)值方法的研究具有十分重要的理論價值和現(xiàn)實意義。對流擴散問題的有效數(shù)值解法一直是計算數(shù)學(xué)中重要的研究內(nèi)容。由于對流擴散方程同時含有對流項和擴散項，在數(shù)值求解時會引起數(shù)值振蕩和數(shù)值彌散[2]，使得方程的求解比較復(fù)雜。目前，求解對流擴散方程的數(shù)值方法有多種，如有限差分法（FDM）[3]、有限元法（FEM）[4][5]、有限體積法（FVM）[6][7]、邊界元法（BEM）等，其中有限差分方法是一種重要的數(shù)值計算方法。

目前對于常系數(shù)的對流擴散方程已有較多、較好的研究，而對于變系數(shù)的對流擴散方程的研究卻較少，需要對方程做一定的假設(shè)。但在實際應(yīng)用中，比如耦合流場的對流擴散方程，則需要研究變系數(shù)的情形[8]。基于此，本文考慮如下變系數(shù)的一維對流擴散方程的初邊值問題，

其 中a（x,t）、b（x,t）、f（x,t）和g（x）已 知 ，a（x,t ） ≠0、 b （x,t ） ≠ 0 且連續(xù)。

本文設(shè)計了一種新的求解上述問題（1）～（3）的數(shù)值方法---Sinc-Chebyshev配置方法。該方法是基于配置方法的。在空間方向和時間方向上，分別采用復(fù)合移位Sinc函數(shù)和移位Chebyshev多項式作為基函數(shù)，將方程（1）的未知解展開成一組具有未知系數(shù)的基函數(shù)和。通過選取相應(yīng)的配置點后，原問題轉(zhuǎn)化為線性代數(shù)方程組的求解。充分利用復(fù)合移位 Sinc函數(shù)和移位Chebyshev多項式的性質(zhì)，可高效地從線性代數(shù)方程組中解出未知系數(shù)。

二、Sinc函數(shù)和移位Chebyshev多項式

（一）Sinc函數(shù)

Sinc函數(shù)具有許多優(yōu)良的性質(zhì)[9][10]，它被廣泛地用于數(shù)值分析及積分方程、常微分方程和偏微分方程的數(shù)值求解中[11][12][13]。

在整個實軸上，Sinc函數(shù)定義如下：

下面給出具有均勻網(wǎng)格節(jié)點的移位 Sinc函數(shù)的表達式：

該函數(shù)在插值節(jié)點jx jh= 處有如下結(jié)論：

對于函數(shù)（）,fxxR∈，若級數(shù)

收斂，則稱之為Whittaker Cardinal function。

定理1 如果 f ∈Bh，其中Bh為Paley-Wiener類函數(shù)，則；進一步，若），則

由于本文所討論的問題是在有限區(qū)間上，故考慮如下的一一映射，

該映射將區(qū)間［a, b］--- 映射到（-∞ , +∞ ）。記映射φ的逆映射為ψ = φ-1，在它的作用下，R上均勻網(wǎng)格點｛kh｝k∈Z的象為：

于是，需在區(qū)間［a, b］上取復(fù)合移位Sinc函數(shù)

上面的結(jié)論顯示，對于 Bh上的函數(shù)，使用Sinc插值可達到指數(shù)收斂。為了構(gòu)造 Sinc-Chebyshev配置方法，需要給出復(fù)合移位Sinc函數(shù) Sφ（k, h ） （x）在節(jié)點 xk= ψ (kh), k = 0 ,± 1 ,±2 ,… 的各階導(dǎo)數(shù)值，

（二）移位Chebyshev多項式

定理3 移位Chebyshev多項式 Tτ,i(t)的解析形式如下：

由于構(gòu)造 Sinc-Chebyshev配置方法的需要，給出移位Chebyshev多項式 Tτ,i（ t）,i = 0 ,1,2,… 的一階導(dǎo)數(shù)，

三、Sinc-Chebyshev配置方法

為了求解問題(1) ～ (3)，我們首先通過2 m +1個復(fù)合 移位 Sinc函 數(shù)Sφ（k, h ） （x） , k = 0,±1,±2,… ,±m(xù) 和n+1個 移 位Chebyshev多項式 Tτ,i（t）,i = 0 ,1,2,… ,n 逼近u（x,t）。具體如下：

引理 1 取復(fù)合移位 Sinc函數(shù)的配置點為xk,k =0,±1,±2,… ,±m(xù)（表達式(9)），有如下關(guān)系成立：

下面求解問題(1) ～ (3)。將表達式(19)代入方程(1)中可得，

在上述表達式(23)中，我們選取配置點分別為xk,k =0,±1,±2,… ,±m(xù)（表達式(9)）和tτ,n,j,j = 1,2,…,n（表達式(17)）。根據(jù)引理1可得，

將表達式(19)代入初始條件(2)中可得，

將上述表達式(25)在2 m +1個點 xk,k =0,±1,±2,…,±m(xù)上進行配置，并利用表達式(11)可得，

于是可從表達式（24）和（26）所構(gòu)成的線性方程組中解出 （2 m + 1 ） （n+ 1 ）個未知系數(shù) cij，從而得到原問題（1）～（3）的數(shù)值解 um,n（x, t）。

四、總結(jié)

本文給出了一種求解對流擴散方程的Sinc-Chebyshev配置方法，它把求解對流擴散方程的初邊值問題轉(zhuǎn)化為解線性代數(shù)方程組。數(shù)值試驗結(jié)果顯示，該方法十分有效。下一步將嘗試把該方法用于分?jǐn)?shù)階對流擴散方程[15]的求解。這與許多實際應(yīng)用問題如DNA和蛋白質(zhì)分子的傳輸[16]密切相關(guān)，具有較大的實用價值。

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