用最小二分法進(jìn)行已知兩端點(diǎn)及半徑圓弧測設(shè)

趙崇山

施工中常會遇到一些圓弧造型的放線工作,一般情況下,圓弧的起點(diǎn)、終點(diǎn)、半徑設(shè)計中都會給定,而掃圓弧半徑由于現(xiàn)場條件限制,如半徑較長、存在障礙物甚至圓心位于空中位置,直接從圓心放圓弧并不現(xiàn)實。這里介紹一種簡單易行的放線方法。

1 計算過程

如圖1所示:已知圓弧起點(diǎn) A,B,半徑 R,AB直線距離L1為已知(或可現(xiàn)場內(nèi)測量得知)。

其矢高為:

H1=R-sqrt(R×R-L1×L1/4)(圓心角不大于180°時)。

特殊的,H1=R+sqrt(R×R-L1×L1/4)(圓心角大于180°時)。

作 AB垂直平分線,量H1得 C11點(diǎn)。

則 AC11=C11B=L2,L2=sqrt(L1×L1/4+H1×H1)。

依次類推,得各最小二分點(diǎn):一級點(diǎn):C11;二級點(diǎn):C21,C22;三級點(diǎn):C31,C32,C33,C34;……i級點(diǎn):Ci1,Ci2,…,Cin(n=2i-1)。 Hi=R-sqrt(R ×R-Li×Li/4)。 Li+1=sqrt(Li×Li/4+Hi×Hi)。列表1計算(可利用Excel公式計算功能)。

表1 二分法計算表

根據(jù)測設(shè)精度要求,直至:Hi+1＜δ/2(其中,δ為規(guī)范允許偏差)。

2 操作步驟

1)測設(shè) A,B端點(diǎn)。2)連線 AB為1級弦,尺量 LAB/2找出弦 AB中點(diǎn),以此中點(diǎn)用方尺垂直弦 AB量H1,得一級點(diǎn) C11點(diǎn)。3)連接起始點(diǎn)及 1級點(diǎn),得2級弦(有2條),尺量 L2/2找弦中點(diǎn),以各中點(diǎn)用方尺垂直各弦量 H2,得二級點(diǎn) C21,C22點(diǎn)。4)重復(fù)以上步驟。5)連接起始點(diǎn)及1級～i-1級點(diǎn)得 i級弦(有2i-1條),尺量 Li/2找弦中點(diǎn),以各中點(diǎn)用方尺垂直各弦量 Hi,得i級點(diǎn)Ci1,Ci2,…,Cin(n=2i-1)點(diǎn)。6)測設(shè)點(diǎn)數(shù)統(tǒng)計見表2。7)此時,可光滑連接起始點(diǎn)及1級～i級各二分點(diǎn)[也可以直(i+1級弦)代弧連接],得到所求圓弧放樣線(見圖2)。

表2 測設(shè)點(diǎn)數(shù)總統(tǒng)計表

3 舉例

例:已知圓弧半徑R=19.67 m,起始點(diǎn) A,B距離為 8 m,則各級數(shù)據(jù)計算如表3所示。

表3 各級數(shù)據(jù)計算表 mm

從表3中數(shù)據(jù)可以看出,測設(shè)點(diǎn)收斂至四級時,以弦代弧所得連線(5級弦)產(chǎn)生理論誤差應(yīng)為五級時對應(yīng) H5=2 mm＜8/2=4 mm(以混凝土結(jié)構(gòu)為例,建筑施工質(zhì)量驗收規(guī)范允許軸線偏差為8 mm)。

表4 測設(shè)點(diǎn)數(shù)統(tǒng)計表

1)測設(shè) A,B端點(diǎn),復(fù)核 AB距離8 000 mm。2)連線 AB,尺量8 000/2=4 000 mm,找出弦 AB中點(diǎn),以此中點(diǎn)用方尺垂直弦AB量H1=411 mm,得1級點(diǎn) C11點(diǎn)。3)連接起始點(diǎn)及1級點(diǎn),得2級弦(有2條),尺量4 021/2=2 010.5 mm找弦中點(diǎn),以各中點(diǎn)用方尺垂直各弦量 H2=103 mm,得2級點(diǎn) C21,C22點(diǎn)。4)連接起始點(diǎn)及1級,2級點(diǎn),得3級弦(有23-1=4條),尺量2 013/2=1 006.5 mm找弦中點(diǎn),以各中點(diǎn)用方尺垂直各弦量 H3=26 mm,得3級點(diǎn) C31,C32,C33,C34點(diǎn)。5)連接起始點(diǎn)及 1級,2級,3級點(diǎn),得4級弦(有 24-1=8條),尺量 1 007/2找弦中點(diǎn),以各中點(diǎn)用方尺垂直各弦量 H4=6 mm,得4級點(diǎn) C41,C42,C43,…,C48點(diǎn)。6)測設(shè)點(diǎn)數(shù)統(tǒng)計見表4。7)此時,光滑連接起始點(diǎn)及1級～4級各二分點(diǎn)(也可以直(5級弦)代弧連接),得到所求圓弧放樣線。

4 結(jié)語

此方法優(yōu)點(diǎn)為:1)收斂速度快:常見建筑工程中圓弧測設(shè),一般只需3級～5級即可達(dá)到規(guī)范要求。2)測設(shè)工具簡單:一般只需直尺、線繩即可。3)測設(shè)精度高:選擇合適的級數(shù),即可達(dá)到要求的精度。其缺點(diǎn)是測設(shè)點(diǎn)多,且隨著級數(shù)增多,其增加測設(shè)點(diǎn)數(shù)成倍增長,如上例四級總點(diǎn)數(shù)達(dá)到15點(diǎn)。但由于其計算公式化,操作的簡單性,且方法通用性強(qiáng),在已知兩端點(diǎn)及半徑的圓弧放樣工作中不失為一種值得優(yōu)選的測設(shè)方法。