電磁輻射的最小方向性探索

梁昌洪,陳 曦

(西安電子科技大學天線與微波技術(shù)國防重點實驗室,陜西西安 710071)

0 引言

本文是電磁場理論教學札記之十二。

電磁波作為最重要的信息傳播媒介之一,無時無刻不與人們的生活緊緊地聯(lián)系在一起:從互聯(lián)網(wǎng)、手機、電視到汽車定位裝置,從各國的國家信息系統(tǒng)到家庭的藍牙技術(shù)都涉及電磁波的傳播和信息承載。為了構(gòu)成各種信息系統(tǒng),有時很希望設計出實際無方向性的天線,使電磁波在空間能夠平等地對待每一個用戶。而另一方面,方向性是天線輻射的最重要特性之一。很多著作和文獻均指出這一點,即任何天線都必須具有方向性,而向空間各個方向上均勻輻射能量的無方向性天線實際上是不存在的[1]。

正是這個矛盾,構(gòu)成了本文的研究目標:一方面要探索為什么無方向性不可能存在;另一方面要研究出最小方向性的思路。

1 Maxwell體系不存在各向同性解

首先,本文明確指出Maxwell所構(gòu)成的宏觀電磁理論體系不存在各向同性解。在空間任一點電場采用球坐標表示為

且有各向同性解,即采用反證法,為

在頻域中,滿足Helmholtz波動方程是

注意到球坐標系統(tǒng)中的Laplace算子為

計及各向同性特性有

現(xiàn)將式(4)進一步簡化為

而另一項-Eθ/r2sin2θ則包含對于θ的變化函數(shù)。這個矛盾反證了Maxwell體系不存在各向同性解。

進一步從物理上理解,電磁輻射與兩個旋度 ×方程密切有關。旋度概念表明,即使再巨大的龍卷風都不是各向同性,而存在著臺風眼,如圖1所示。

從數(shù)學上理解,蘇步青的《微分幾何》明確指出[2]球面上任何連續(xù)可導的切向矢量場必存在零矢量點。通俗地說:人的頭發(fā)或牛毛分布一定會存在“旋”,如圖2所示。

圖1 龍卷風中的臺風眼

圖2 人的發(fā)際必存在“旋”

事實上,文獻[3]早在1984年已經(jīng)對電磁輻射場的各向異性作了深入的研究。其結(jié)論是:在假定矢量各分量大小與球坐標變量θ和φ無關的條件下,獲得滿足Maxwell方程解是不可能的。電磁場輻射的各向異性不僅可以由場結(jié)構(gòu)所確定,而且也可由球面上切向矢量場的拓撲性質(zhì)加以確定。

2 最小方向性天線

這里,我們從兩方面著手研究,即最小方向性天線和最小方向性陣列。

什么是最小方向性天線?這個問題目前尚沒有明確的結(jié)論。比較務實的做法是先考察大家最為熟識的天線—電偶極子I l,如圖3所示。

圖3 電偶極子 的輻射

電偶極子的遠區(qū)輻射場為

其對應方向如圖4所示。

圖4 電偶極子 方向圖

確定空間方向性的一般公式是

上式中F(θ,φ)取自天線輻射場振幅:

且|E|m為最強輻射方向的場強振幅,具體對于電偶極子 ,F(θ,φ)=sinθ,于是有

作為對偶原理,磁偶極子(即圓環(huán)天線)。完全類似,不再贅述。

如前所述,我們沒有辦法證明電(或磁)偶極子是最小方向性天線。由圖4明顯看出yoz面的方向圖恰為有一零點“旋”,也即表明方向圖的各向異性。

本文可進行一個猜測:十字偶極子的z方向一個偶極子和y方向另一個偶極子組成是否可以減小方向性。把極化只放在θ方向即有

其中,F0為歸一化系數(shù),即最大方向振幅為1。畫出方向圖如圖5所示。

圖5 十字交叉偶極子方向圖

并算出方向性

其結(jié)果為D0=1.5。上述分析中未考慮天線間互耦的影響。

3 最小方向性陣列

最小方向性陣列又是一個需要深入研究的問題。我們給出

其中,FA(θ,φ)表示陣列方向圖,而FD(θ,φ)表示單天線方向圖。當然,必須滿足一定條件才能寫出式(14)。在研究陣列時我們暫不考慮單天線方向圖。這又是一個尚未有明確結(jié)論的課題。為了有簡單明了的直觀認識,我們考慮如圖6所示的平面二維8元圓陣。此時不考慮單個天線的方向性函數(shù),圓陣的方向性函數(shù)可簡化為

其中,φ為參考點與x軸的夾角,R為8元圓陣的半徑,k為波數(shù)。

圖6 二維8元圓陣參考陣面是垂直A點的平面

畫出kR=2π,1.5π,π和π/2時的圓陣方向圖如圖7所示,對應的方向性系數(shù)為

圖8表示8元圓陣的方向性函數(shù)與kR的函數(shù)關系,由圖可知該圓陣的最小方向性為1。

如果我們再考慮單個偶極子天線的方向性函數(shù),則平面二維8元偶極子圓陣的方向性函數(shù)為

圖7 圓陣天線的平面方向圖

圖8 方向性與kR的函數(shù)關系

對應kR=2π,1.5π,π和π/2時的8元圓形天線陣的方向性系數(shù)分別為

至此,我們已算出十字交叉陣列的最小方向性為1.5。因而,是否可大膽猜測天線的最小方向性就是1.5,嚴格證明尚需要進一步思考。天線陣列的方向性與電尺寸相關,電尺寸越小,陣列的方向性趨近于1.0,這倒是比較合理的一個結(jié)論。

4 結(jié)語

電磁波輻射的最小方向性是一個理論緊密聯(lián)系實際的研究課題,很多方面向我們提出了嚴峻的挑戰(zhàn),進一步工作正在研究過程中。

感謝張小苗老師提供的寶貴意見和幫助,謹致謝忱。

[1] 楊儒貴.電磁場與電磁波[M].北京:高等教育出版社,2007

[2] 蘇步青等.微分幾何[M].北京:高等教育出版社,1979

[3] 王爾杰,黃際英.電磁輻射場各向異性的判定[J].西安:西北電訊工程學院學報,NO.2,1984.pp:110-113