偶極子對(duì)動(dòng)態(tài)性能影響可忽略的充分條件

李 娟,高鴻雁,李勝多,岳丹松

(青島農(nóng)業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院,山東青島 266109)

0 引言

“自動(dòng)控制原理”是一門重要的電氣化和電自化等專業(yè)的基礎(chǔ)必修課,在本課程中對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能的分析中,一般教材都要講偶極子對(duì)系統(tǒng)性能的影響。但對(duì)于偶極子對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的影響何時(shí)可以忽略的問題上,不同的教材有不同說法。綜合可見有三種說法:①不十分接近坐標(biāo)原點(diǎn)的偶極子對(duì)動(dòng)態(tài)性能的影響可忽略,而十分接近坐標(biāo)原點(diǎn)的偶極子對(duì)動(dòng)態(tài)性能的影響必須考慮[1-2];②不十分接近虛軸的偶極子對(duì)動(dòng)態(tài)性能的影響可忽略,而十分接近虛軸的偶極子對(duì)動(dòng)態(tài)性能的影響必須考慮[3-5];③在分析高階系統(tǒng)的性能時(shí),可以忽略偶極子的影響,而沒有指明條件[6]。當(dāng)然也有個(gè)別教材在提及偶極子對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的影響可以忽略的條件時(shí),將接近虛軸和接近坐標(biāo)原點(diǎn)這兩者混為一談。

教材[1]和[2]都指出不十分接近原點(diǎn)的偶極子對(duì)動(dòng)態(tài)性能的影響可忽略,并以實(shí)數(shù)偶極子的情況給出了證明。但偶極子有實(shí)數(shù)偶極子和復(fù)數(shù)偶極子之分。對(duì)實(shí)數(shù)偶極子而言,偶極子接近虛軸就是接近原點(diǎn),但對(duì)復(fù)數(shù)偶極子而言,接近虛軸和接近原點(diǎn)是不一樣的。因而從已有的證明中無法看出是十分接近原點(diǎn)還是十分接近虛軸的偶極子可以忽略。而能查閱到的其它教材都沒有給出證明。那么對(duì)所有類型的偶極子而言,究竟是在什么條件下偶極子對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性影響才可以忽略呢?換句話說,偶極子對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響可以忽略的充分條件是什么?

1 偶極子影響可忽略的充分條件

關(guān)于偶極子對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的影響可忽略的條件,我們給出如下定理。

【定理】對(duì)于線性定常系統(tǒng),偶極子對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的影響可忽略的充分條件是:偶極子不十分接近坐標(biāo)原點(diǎn)。而對(duì)于十分接近坐標(biāo)原點(diǎn)的偶極子對(duì)動(dòng)態(tài)性能的影響必須考慮。

證明:研究含有一對(duì)復(fù)數(shù)偶極子的具有下列閉環(huán)傳遞函數(shù)的單輸入單輸出SISO線性定常系統(tǒng):

其中,a、b和δ是正實(shí)數(shù)。

在式(1)描述的閉環(huán)系統(tǒng)中,有一對(duì)復(fù)數(shù)極點(diǎn)s1,2=-a±jb、一個(gè)實(shí)數(shù)極點(diǎn)s3=-1和一對(duì)復(fù)數(shù)零點(diǎn)z1,2=-(a+δ)±jb。

假定δ※0,即復(fù)數(shù)閉環(huán)零點(diǎn)z1,2和復(fù)數(shù)極點(diǎn)s1,2十分接近,從而構(gòu)成復(fù)數(shù)偶極子。則式(1)的單位階躍響應(yīng)的拉氏變換為

其中:

由式(3)可得

將式(4)代入式(2)得

對(duì)式(5)取拉氏反變換,則得單位階躍響應(yīng)為

考慮到δ※0,則式(6)可簡(jiǎn)化為

下面對(duì)式(7)分兩種情況討論。

(1)a趨向0但b不趨向0

復(fù)數(shù)偶極子十分接近虛軸而不十分接近原點(diǎn),則式(7)可簡(jiǎn)化為

注意到式(8)的結(jié)果恰與忽略式(1)中的偶極子所得的結(jié)果一致,因而此時(shí)偶極子的影響可以完全略去不計(jì),系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)由主導(dǎo)極點(diǎn)決定。

[注1]該情況下的結(jié)果充分說明:偶極子對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的影響是否能被忽略不取決于偶極子是否十分接近虛軸。

(2)a※0,b※0

復(fù)數(shù)偶極子十分接近原點(diǎn),則式(7)可簡(jiǎn)化為

此時(shí),式中的兩個(gè)系數(shù)分式2aδ/(a2+b2)和δ[2a-2a2+2b2]/(a2+b2)中的分子和分母是可比的,其對(duì)應(yīng)的兩項(xiàng)不能略去不計(jì),所以接近坐標(biāo)原點(diǎn)的偶極子對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的影響必須考慮。

綜合以上(1)和(2)兩種情況,便可得到上述的定理。

[注2]從上面的證明可看出,就對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的影響而言,偶極子接近虛軸和接近原點(diǎn)是不一樣的,因而不能將兩者混為一談。

[注3]實(shí)數(shù)偶極子可以看作復(fù)數(shù)偶極子的一種特例,當(dāng)復(fù)數(shù)偶極子的虛部取為零,即b=0時(shí),上述證明就簡(jiǎn)化為教材[1-2]中關(guān)于實(shí)數(shù)偶極子的證明。

2 應(yīng)用實(shí)例

對(duì)于由式(1)描述的系統(tǒng),考慮下列兩種情況:

(1)a=0.1,b=0.1,δ=0.01

s1,2=-0.1±j0.1,z1,2=-0.11±j0.1。由偶極子的定義知,s1,2和z1,2構(gòu)成了接近原點(diǎn)的偶極子。

(2)a=0.1,b=50,δ=0.01

s1,2=-0.1±j50,z1,2=-0.11±j50。由偶極子的定義知,s1,2和z1,2構(gòu)成了遠(yuǎn)離原點(diǎn)但接近虛軸的偶極子。用Matlab進(jìn)行仿真,以上兩種情況下的系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖1所示。

圖1 單位階躍響應(yīng)

由圖1可看出,當(dāng)偶極子接近原點(diǎn)時(shí)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)和偶極子遠(yuǎn)離原點(diǎn)但接近虛軸時(shí)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)有較大差異。以調(diào)節(jié)時(shí)間為例,取誤差帶為 Δ=0.02。在偶極子接近原點(diǎn)時(shí)(對(duì)應(yīng)虛線),調(diào)節(jié)時(shí)間為ts=6.77s;在偶極子遠(yuǎn)離原點(diǎn)但接近虛軸時(shí)(對(duì)應(yīng)實(shí)線),調(diào)節(jié)時(shí)間為ts=3.92s。當(dāng)將系統(tǒng)中的偶極子忽略時(shí),則可計(jì)算出調(diào)節(jié)時(shí)間為ts=3.998s。比較忽略偶極子前后的調(diào)節(jié)時(shí)間可看出:遠(yuǎn)離原點(diǎn)但接近虛軸的偶極子對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的影響甚微,可忽略;而接近原點(diǎn)的偶極子對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的影響較大,必須考慮。

3 結(jié)語

本文針對(duì)《自動(dòng)控制原理》教材中關(guān)于偶極子對(duì)動(dòng)態(tài)性能的影響出現(xiàn)的分歧,從理論上證明并給出了偶極子對(duì)動(dòng)態(tài)性能的影響可忽略的充分條件,從而統(tǒng)一了教材中的說法。

[1] 胡壽松.自動(dòng)控制原理(第五版)[M].北京:科技出版社,2007

[2] 黃家英.自動(dòng)控制原理(上冊(cè))[M].北京:高等教育出版社,2003

[3] 董明曉,李娟.機(jī)械工程控制基礎(chǔ)[M].北京:電子工業(yè)出版社,2010

[4] 厲玉鳴,馬召坤,王晶.自動(dòng)控制原理[M].北京:化學(xué)工業(yè)出版社,2005

[5] 高飛,袁遠(yuǎn)能,楊晨陽.自動(dòng)控制原理[M].北京:北京航空航天大學(xué)出版社,2009

[6] 王孝武,方敏,葛鎖良.自動(dòng)控制理論[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2009