解讀《數(shù)學(xué)分析》中的數(shù)學(xué)思想方法

李福興

(賀州學(xué)院 數(shù)學(xué)系,廣西 賀州 542800)

解讀《數(shù)學(xué)分析》中的數(shù)學(xué)思想方法

李福興

(賀州學(xué)院 數(shù)學(xué)系,廣西 賀州 542800)

文章簡要分析數(shù)學(xué)思想方法的內(nèi)涵,從育人視角結(jié)合數(shù)學(xué)分析的知識結(jié)構(gòu)分析、歸納、概括出數(shù)學(xué)分析中三個層次的數(shù)學(xué)思想方法。

數(shù)學(xué)分析;數(shù)學(xué)思想;數(shù)學(xué)方法;數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識的精髓,是形成良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)的紐帶,也是知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁,是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)觀念,形成優(yōu)良的思維品質(zhì)的關(guān)鍵[1]P28-39?！稊?shù)學(xué)分析》是數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生首先學(xué)習(xí)的一門重要基礎(chǔ)課、重點課,肩負(fù)著為后繼課程提供必要的基礎(chǔ)知識和應(yīng)用工具的重任?！稊?shù)學(xué)分析》內(nèi)容多、理論精深、知識結(jié)構(gòu)復(fù)雜、思想方法豐富。領(lǐng)悟、理解、掌握好《數(shù)學(xué)分析》的理論與數(shù)學(xué)思想方法,是學(xué)習(xí)好《常微分方程》、《大學(xué)物理》、《復(fù)變函數(shù)》、《實變函數(shù)》、《概率統(tǒng)計》等后續(xù)課程的前提條件,同時也有利于深刻理解和整體認(rèn)識與把握《數(shù)學(xué)分析》的知識結(jié)構(gòu),有利于培養(yǎng)學(xué)生實事求是的科學(xué)態(tài)度,獨立思考的思維方式以及勇于創(chuàng)新的進(jìn)取精神。

1 關(guān)于數(shù)學(xué)思想方法的理解

數(shù)學(xué)思想方法促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科的創(chuàng)新作用 ——在數(shù)學(xué)史上,數(shù)學(xué)家創(chuàng)造符號、運用方程促進(jìn)算術(shù)向代數(shù)轉(zhuǎn)化;數(shù)與形之間變換方法的創(chuàng)立使得解析幾何產(chǎn)生成為必然;綜合幾何向幾何代數(shù)轉(zhuǎn)變,其中的變換起了決定性的作用;函數(shù)概念和函數(shù)思想的提出、運用使得變量數(shù)學(xué)誕生了;常量數(shù)學(xué)發(fā)展到變量數(shù)學(xué),函數(shù)思想起了決定性作用;無窮小方法的創(chuàng)新,微積分誕生了;從歐拉使用數(shù)學(xué)模型的方法成功解決了著名的七橋問題,從而導(dǎo)致圖論的創(chuàng)立等等。這不難看出,數(shù)學(xué)的每一步發(fā)展都離不開數(shù)學(xué)思想方法的重大突破。

數(shù)學(xué)思想(詞組)在我國教育界頗為流行,但“概念”的明確界定幾乎沒有。數(shù)學(xué)思想意指人們對數(shù)學(xué)科學(xué)研究的本質(zhì)及規(guī)律的深刻認(rèn)識,是人們對數(shù)學(xué)研究對象統(tǒng)一的、本質(zhì)的認(rèn)識。它包括對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解,對數(shù)學(xué)基本特性、數(shù)學(xué)對象、數(shù)學(xué)與其它科學(xué)、數(shù)學(xué)與客觀世界的關(guān)系的認(rèn)識,以及在數(shù)學(xué)中創(chuàng)立的新概念、新理論、新模型和新方法的認(rèn)識。從研究的范圍進(jìn)行劃分,又有宏觀與微觀之別。所謂宏觀數(shù)學(xué)思想,即指對數(shù)學(xué)整體的認(rèn)識,如古希臘哲學(xué)家柏拉圖(Plato.公元前427-前347)的以數(shù)學(xué)(不變世界-理念世界的不變關(guān)系)為基礎(chǔ)去觀察世界的思想;畢達(dá)哥拉斯(Pythagoras.希臘前572-前497)想從自然界和人的思想的千變?nèi)f華的過程中,分離抽象出某些共同特點,認(rèn)為“萬物皆數(shù)”,“數(shù)是萬物的本質(zhì)”;文藝復(fù)興時期(約公元15世紀(jì)下半葉—17世紀(jì)上半葉)的伽利略(Galilei.意大利1564-1642)認(rèn)為“宇宙這本書是用數(shù)學(xué)語言寫成”的思想;解析幾何創(chuàng)立者笛卡爾(Descartes.法1596-1650)認(rèn)為“一切現(xiàn)象都可以用數(shù)學(xué)描述”(一切問題都可歸結(jié)為數(shù)學(xué)問題,一切數(shù)學(xué)問題可以歸結(jié)為代數(shù)問題,一切代數(shù)問題都可歸結(jié)為方程問題)的思想;研究數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的邏輯主義、直覺主義、形式主義三大學(xué)派的數(shù)學(xué)思想以及布爾巴基學(xué)派的結(jié)構(gòu)主義思想等。微觀數(shù)學(xué)思想,意指對數(shù)學(xué)內(nèi)部各分支體系結(jié)構(gòu)中特定內(nèi)容和方法的認(rèn)識。如古代歐幾里得等古希臘數(shù)學(xué)家的演繹推理思想;笛卡爾借助坐標(biāo),把實數(shù)對和平面上的點、方程和曲線聯(lián)系起來(對應(yīng))的思想;微積分中的極限思想(無窮小量思想),代數(shù)中的伽羅華置換群思想;現(xiàn)代數(shù)學(xué)的集合論思想、概率統(tǒng)計思想等等[2]P9-11。數(shù)學(xué)方法是一種元概念,沒法精確定義?！掇o?！分形词珍洝胺椒ā鞭o條,它和“物質(zhì)”、“運動”、“集合”等概念一樣,不能邏輯地定義,只能概略性描述。方法可說成是人們在認(rèn)識世界和改造世界的活動中所采取的方式、手段、途徑的統(tǒng)稱[3]P1-5。徐利治先生認(rèn)為“數(shù)學(xué)方法論主要是研究和討論數(shù)學(xué)的發(fā)展、規(guī)律、數(shù)學(xué)的思想方法以及數(shù)學(xué)中的發(fā)現(xiàn)發(fā)明與創(chuàng)造等新法則的一門學(xué)問”[4](含義廣、史、哲乃至整個數(shù)學(xué))。思想與方法的理解,兩詞有聯(lián)系也有區(qū)別,如同一數(shù)學(xué)成就當(dāng)用它去解決別的問題時稱之為方法,當(dāng)評價它在數(shù)學(xué)體系中的自身價值和意義時,稱之為思想。二意合一說就有“數(shù)學(xué)思想方法”之類的提法。思想比方法在抽象程度上處于更高層次。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)方法的理論基礎(chǔ)和精神實質(zhì),思想是源泉、精華;方法是實踐行為的體現(xiàn),每一種數(shù)學(xué)方法都體現(xiàn)著一定的數(shù)學(xué)思想,且數(shù)學(xué)活動中總是在數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)下數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用。于是數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法在數(shù)學(xué)活動中的表現(xiàn)形態(tài)不具有明確的界限[5]P57-61。在這種意義上的數(shù)學(xué)思想方法,其內(nèi)容涵蓋了數(shù)的思想和數(shù)學(xué)方法兩個方面。

2 數(shù)學(xué)思想方法的層次性理解

數(shù)學(xué)思想方法是伴隨著數(shù)學(xué)科學(xué)的產(chǎn)生而產(chǎn)生的。人們最初的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗實際上就是最原始的數(shù)學(xué)思想方法;隨著數(shù)學(xué)活動的深入,人們對已有的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗加以抽象概括、就形成了較高層次的數(shù)學(xué)思想方法,這種抽象概括、再抽象再概括循環(huán)發(fā)展,也就產(chǎn)生更高層次的數(shù)學(xué)思想方法[1]P28-39。據(jù)此,根據(jù)數(shù)學(xué)思想方法的涵義,大致可以將其劃分為三個層次。

2.1 低層次的數(shù)學(xué)思想方法。即操作性較強(qiáng)的方法,可稱之為基本技巧型方法,也可以認(rèn)為是解決具體問題的思想方法,如數(shù)學(xué)分析中的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則、待定系數(shù)法等。

2.2 較高層次的數(shù)學(xué)思想方法,主要是邏輯型的數(shù)學(xué)思想方法,該方法具有確定的邏輯結(jié)構(gòu),是普遍適用的推理論證模式,如分析法、綜合法、歸納、演繹、抽象、概括、類比等。

2.3 高層次的數(shù)學(xué)思想方法。即全局型的思想方法,它們較多的帶有思想、觀點的屬性,它們提示的是數(shù)學(xué)發(fā)展中及其普遍的想法,為數(shù)學(xué)的發(fā)展起著指引方向的作用,牽扯動著數(shù)學(xué)發(fā)展的全局,或為新學(xué)科的誕生起著推動作用。如模型化方法、微積分方法、概率統(tǒng)計方法、拓?fù)浞椒?、符號化思想、公理化思想、互逆型思想等。各層次間的思想方法并沒有明顯的界限,故人們又常將其統(tǒng)稱為數(shù)學(xué)思想方法。

3 數(shù)學(xué)分析中的數(shù)學(xué)思想方法

所謂數(shù)學(xué)分析中的數(shù)學(xué)思想方法,一方面指數(shù)學(xué)分析自身的論證、運算以及應(yīng)用的手段;另一方面還包括數(shù)學(xué)分析中的概念、理論、方法產(chǎn)生及發(fā)展規(guī)律?；谇笆龅姆治隼斫?數(shù)學(xué)分析的數(shù)學(xué)思想方法也可劃分為三個層次。

3.1 低層次的思想方法。就是指數(shù)學(xué)分析的基本內(nèi)容、解證題法。特征為操作性強(qiáng),具體.如極限的計算法:利用兩個重要極限、等價無窮小代換、兩邊夾法、單調(diào)有界法、導(dǎo)數(shù)法(用導(dǎo)數(shù)定義式、羅必達(dá)法則)、級數(shù)法等。再如在導(dǎo)數(shù)計算、偏導(dǎo)數(shù)的計算中,基本求導(dǎo)公式、復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、隱函數(shù)、參數(shù)方程的求導(dǎo)法則,積分計算中的基本公式、法則等屬較低層次。

3.2 較高層次的數(shù)學(xué)思想方法 。是從數(shù)學(xué)分析的基本內(nèi)容、基本理論、解證題方法出發(fā),經(jīng)過分析、歸納、概括而得到的具有普遍性的方法。

3.2.1 化歸思想方法(換元法、變換是這一思想方法的體現(xiàn)),所謂化歸就是把面臨的問題化解,歸結(jié)為一個或幾個已解決的問題或簡單易解的問題。人們解決問題時都自覺不自覺地用化歸的思想方法。從更一般意義上講,化歸是一種具有廣泛的普適性的深刻的,且是數(shù)學(xué)分析中一類重要的數(shù)學(xué)思想方法,中學(xué)到大學(xué)都在用,但知識面擴(kuò)展了。在數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)過程中,隨著知識內(nèi)容的延伸,就有相應(yīng)的化歸方法。如計算極限時,有一類問題就是通過變換化歸為“兩個重要極限”而求得的?；瘹w、變換的思想方法在數(shù)學(xué)分析中的具體表現(xiàn)形式是多種多樣的。海涅定理實現(xiàn)了數(shù)列極限與函數(shù)極限理論方法上的轉(zhuǎn)化;微分中值定理架起了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)之間的橋梁;微積分基本定理(由牛頓、萊布尼茲最先給出證

明

)的微分形式:設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]連續(xù),則積分上限函數(shù)φ(x)[a,b]的內(nèi)點)可微,且φ′(x)=f(x)(a

3.2.2 構(gòu)造性思想方法。這種方法在數(shù)學(xué)分析中也是一種比較重要的數(shù)學(xué)思想方法。常用的有:構(gòu)造輔助函數(shù)法。(尤其在證明存在性問題時用此法,該法更具體的:數(shù)形結(jié)合法構(gòu)造輔助函數(shù),對題斷的分析而構(gòu)造輔助函數(shù),由二元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)而構(gòu)造輔助函數(shù)等),構(gòu)造點列、子列法、構(gòu)造開覆蓋法、構(gòu)造反例法等等。如在求線、面積分時,常構(gòu)造閉曲線、閉曲面,使之化歸到能用格林公式、斯托克斯、奧高公式進(jìn)行計算[7]P70-73。

3.2.3 估值思想方法。我們知道,極限(無窮小)思想方法是數(shù)學(xué)分析中最核心(全局性)也最基本的思想方法,它是研究直與曲、線性與非線性、靜與動、有限與無限、近似與精確之間對立統(tǒng)一及相互轉(zhuǎn)化規(guī)律的思想方法。該方法是以極限概念為基礎(chǔ),而極限概念是用不等式刻劃的。這就決定了不等式的變形(估值)是整個分析學(xué)最基本最核心的數(shù)學(xué)運算。把這種研究變量的變化趨勢、變化速度和變化范圍的不等式變形的方法稱之為估值法。數(shù)學(xué)分析中的估值法有:分段估計、小區(qū)間法、逐次累加法等,用它可將復(fù)雜的函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為簡單的函數(shù)問題。

3.3 高層次的數(shù)學(xué)思想方法

3.3.1 公理化思想方法。這是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中普遍使用的最基本的一種數(shù)學(xué)思想方法。它的實質(zhì)是一種結(jié)構(gòu)論的思想方法。在數(shù)分中實數(shù)的完備性理論中體現(xiàn)了公理化的數(shù)學(xué)思想方法。此方法對訓(xùn)練學(xué)生思維的條理性、清晰性、深刻性(思維品質(zhì))非常有效。

3.3.2 符號化思想方法。這是數(shù)學(xué)一貫就具有的特點之一,只不過現(xiàn)代數(shù)學(xué),符號化意識更為強(qiáng)烈,它使數(shù)學(xué)盡量形式化符號化,使其更易于抽象統(tǒng)一。符號化思想方法不僅為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展起了突飛猛進(jìn)的作用,而且它的意義遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了數(shù)學(xué)本身,為信息化時代計算機(jī)事業(yè)的發(fā)展創(chuàng)造了條件。

3.3.3 互逆型思想方法。數(shù)學(xué)分析中的互逆思想方法主要包括概念上的互逆和運算上的互逆兩種,概念上的互逆有收斂與發(fā)散、各種極限定義及其否定敘述、連續(xù)與間斷等。在運算方面的互逆關(guān)系有導(dǎo)數(shù)(微分)與積分運算、級數(shù)收斂與函數(shù)級數(shù)展開等。學(xué)習(xí)任一數(shù)學(xué)概念、定理以及考慮各種數(shù)學(xué)問題時,不僅需要從正面理解,沿正向探索,而且還要從側(cè)面(反面)理解,沿逆向探索,這樣才能對數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)等數(shù)學(xué)知識有更深刻、更全面的理解?；ツ嫘蛿?shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用非常廣泛。例如利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限、用泰勒公式、收斂極數(shù)的必要條件求極限;用定積分幾何意義求定積分,積分問題的導(dǎo)數(shù)解法,用二重積分求解定積分問題等等。

數(shù)學(xué)知識和蘊(yùn)含于知識體系中的思想方法是極為豐富的,尤其是隱含于知識背后的數(shù)學(xué)思想方法的教育價值更應(yīng)引起我們的高度重視。這正如日本數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家米山國藏先生所指出:學(xué)生們在初中或高中所學(xué)到的知識,進(jìn)入社會后,幾乎沒有什么機(jī)會應(yīng)用,因而這種作為知識的數(shù)學(xué),通常在走出校門后不到一二年就忘掉了,然而不管他們從事什么業(yè)務(wù)工作,那種銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)思想方法卻長期在他們的生活和工作中發(fā)揮作用(這是他多年數(shù)學(xué)教育研究、實踐的感悟)。德國學(xué)者馮.勞厄也指出:“教育無非是一切已學(xué)過的東西都忘掉時所剩下的東西?！盵8]P97-99數(shù)學(xué)教育的最終目的應(yīng)該是數(shù)學(xué)思想方法在學(xué)生的頭腦中的凝聚與積淀。提煉、概括、領(lǐng)悟、理解和運用數(shù)學(xué)思想方法,深化知識,形成技能,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素質(zhì)才是我們共同努力的目標(biāo)。

[1]馬保國.數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)分析教學(xué)[J].中國大學(xué)教學(xué),2006(5).

[2]朱學(xué)志.數(shù)學(xué)的歷史、思想和方法[M].哈爾濱:哈爾濱出版社,1991.2

[3]張奠宙,過伯祥.數(shù)學(xué)方法論稿[M].上海:上海教育出版社,1996.3

[4]徐利治.數(shù)學(xué)方法論選講[M].武漢:華中工學(xué)院出版社,1988.

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[6]劉玉璉.等數(shù)學(xué)分析講義[M].北京:高等教育出版社,2003.7

[7]林六十.“高等數(shù)學(xué)”課堂教學(xué)規(guī)律探索[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報,1999(5).

[8]劉凱年.數(shù)學(xué)思想方法與高師學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報,1998(3).

Interpreting the Mathematical Thinking Way of Math Analysis

Li Fuxing
(Mathematics Department HeZhou University,Hezhou Guangxi 542800)

Briefly analyse the connotation of the mathematical way of?thinking,and using the person education perspective combined with the mathematical analysis of?knowledge structure to analyse、conclude and generalize the three levels mathematical thinking way of mathematical analysis.

math analysis;mathematical method;mathematical way of thinking

O17

A

1673-8861(2010)03-0109-04

2010-04-09

李福興(1953-),男,廣西岑溪市人,賀州學(xué)院副教授。主要研究方向:函數(shù)論、數(shù)學(xué)教育 。

論文為賀州學(xué)院教改項目“數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)課程內(nèi)容與體系整體優(yōu)化的研究與實踐”研究成果之一(項目編號:2009J GA04)。