數學運用于經濟學:一個歷史性綜述

李逸群

(鄭州大學 數學系,河南 鄭州 450001)

數學運用于經濟學:一個歷史性綜述

李逸群

(鄭州大學 數學系,河南 鄭州 450001)

盡管長期以來,學界對經濟學的科學性質存在爭論,但數學方法運用于經濟學這一事實反映了經濟學的科學性質是無可置疑的。目前主流經濟學的研究以采用數學方法為主線,數學已經成為經濟學研究的國際通用語言。現代經濟學的發(fā)展所使用的數學工具幾乎涵蓋了近代數學的所有領域,包括數理統計學、概率論、隨機過程、博弈論、排隊論、組合數學、常微分方程、偏微分方程、差分方程、線性規(guī)劃、最優(yōu)規(guī)劃、整數規(guī)劃、投入產出、控制論、不動點理論、集合論、拓撲學、泛涵分析、映射、微分幾何、群論、代數學等等,反映了數學越來越滲透到經濟學研究中并且發(fā)揮越來越重要的作用。

數學;經濟學;方法論

一、數學的基礎性與工具性

數學(mathematics)這一詞在西方源自于古希臘語“máthēma”,其有學習、學問、科學之意,較狹隘且技術性的意義上還指“數學研究”。英語中的mathmatics可溯至拉丁文的中性復數mathematica,由公元前古羅馬的馬庫斯·圖留斯·西塞羅(Marcus Tullius Cicero)譯自希臘文復數“ta mathēmatiká”,此希臘語又被亞里士多德(Aristotle)拿來指“萬物皆數”的概念。拉丁文中的“Mathemetica”原意是數和數數的技術。中國古代將“數學”叫算術,又稱算學,最后才改為數學。

數學是研究現實世界中數量關系和空間形式的,簡單地說,是研究數和形的科學(Mathematics is the study of quantity,structure,space,and change)。數學是人們對客觀世界的定性把握和定量刻畫,逐漸抽象概括,形成方法和理論,并進行廣泛應用的進程。專門研究數及數量關系的數學,對各門學科的發(fā)展都有巨大影響。無論是自然科學,還是社會科學,凡是涉及數、數量關系、數量計算、空間形態(tài)等問題的學科無一例外地都以數學方法作為行之有效的研究手段;同時,許多學科也都將數量關系作為必不可少的研究內容。因此,卡爾·海因里?！ゑR克思(Karl HeinrichMarx)指出,“一種科學只在成功地運用數學時,才算達到了真正完善的地步?！雹俑ヌm西斯·培根(Francis Bacon)說,數學是思維的體操。懷德海(Whitehead)認為,純數學這門科學在其現代發(fā)展階段,可以說是人類精神之最具獨創(chuàng)性的創(chuàng)造。高斯(Johann Carl Friedrich Gauss)說,數學,科學的女皇;數論,數學的女皇。數學是科學的基礎,能充分應用數學的學科或領域盡管不完全等價于科學,但數學所顯示出的人類理性能力、根源和力量在諸多自然科學領域也似乎得到了完美的體現?！敖o我一個支點和杠桿,我就可以把整個地球撬起?！笨梢姺椒ㄊ嵌嗝吹闹匾?。

一個學科具有科學性質的重要特點之一是,“研究的方法要求擺脫價值判斷,公正而客觀”。數學是科學的基礎,它對經濟學研究起到基礎性作用。經濟學的科學性在于它運用與自然科學同樣的研究方法,這是一個基礎性問題。經濟學之所以成為一門科學,其重要特點之一是經濟學的研究使用了數學方法。伽利略說,數學是自然的語言。經濟行為的基礎是人的行為,人也是自然的部分,所以可以說,數學也可成為經濟分析的語言。經濟學中的數學運用只是一種方法,是將數學作為一種描述語言使用,不一定是具體的數字計算,在這一點上,經濟學類似于理論物理。實際上,目前經濟學運用數學方法無論在廣度還是深度上都超過了一般的工程科學領域,幾乎所有的現代數學都在經濟學中找到了用武之地,如角谷定理、集值映射的積分定理、近似不動點計算的算法、微分拓撲、公理集合論、非標準分析等,可與理論物理學媲美。

羅森伯格(N.Rosenberg)指出,經濟學是一門“處于純公理系統與應用幾何學的交叉點上、類似于數學的一個分支”的科學。美國經濟學家格里高利·曼昆(N.Gregory Mankiw)指出:“經濟學家努力以科學的態(tài)度來探討他們的主題。他們研究經濟的方法與物理學家研究物質和生物學家研究生命的方法一樣:他們提出理論、收集資料,并分析這些資料以努力證明或否定他們的理論?！雹诒M管經濟學家“不用試管或望遠鏡進行研究工作。但是,科學的本質是科學方法——冷靜地建立并檢驗有關世界如何進行的各種理論。這種研究方法適用于研究一國經濟,就像適用于研究地心引力或生物進化一樣”。③這種科學方法首先在于經濟學和其他自然科學一樣在研究時可以超脫了價值判斷,以客觀的態(tài)度研究客觀現象。當然,科學本質特點是它的實證性,即解釋對象“是怎樣的”問題;但是科學家也要回答“應該怎樣”的規(guī)范性問題。規(guī)范性判斷可以看作是實證分析結論的具體應用。正像萊昂內爾·羅賓斯(Lionel Robbins)一樣,反對的只是在方法論上做道德判斷,但并不反對經濟學家們有各自的道德立場。在激烈的政治斗爭中,各方的意見會產生巨大的分歧,像在他之后的弗里德曼一樣,羅賓斯強調運用科學的方法來解決事實認識上的分歧,而價值問題,則科學無能為力。從這個角度看,為了在這個充斥著太多可以避免的分歧的世界上我們能取得一些一致意見,值得慎重地將可以解決分歧的研究領域與不可解決分歧的研究領域區(qū)分開來——值得將中立的科學領域與爭論較多的道德哲學和政治哲學領域區(qū)分開來。在十九世紀之前,經濟學是以道德科學的面目出現的。十九世紀中期之后,以英國經濟學家納索·威廉·西尼爾(Nassau W illiam Senior,1836)和法國經濟學家讓·巴蒂斯特·薩伊(Say,Jean Baptiste,1830)為代表,努力使經濟學擺脫價值判斷,成為一門像自然科學一樣的實證科學④?，F在實證經濟學(Positive Economics)已成為經濟學的主流。其次,經濟學家在研究經濟現象、探討經濟運行規(guī)律時,將經濟現象作為若干經濟變量變動的結果,分析這些變量之間的關系。經濟學成功地運用了數學說明它研究方法的科學性。最后,經濟學在某種假設之下分析社會現象,得出結論,并用事實來檢驗結論。這些與自然科學運用的研究方法在本質上是相同的。經濟學采用假設手段構造理論,并用簡化的模型表達理論。

波普爾(Karl Raimund Popper)的認為,科學的劃分標準在于其客觀性,而科學的客觀性并“不是建立在脫離了科學家個人的價值斷定采取超然態(tài)度的基礎之上的”。由于科學的客觀性在于科學方法的客觀性,而不是內容的客觀性,科學最主要的性質是方法論上的科學性。數學方法運用于經濟學是使經濟學更加科學的關鍵。

二、數學方法應用于經濟學研究的發(fā)展進程

數學在經濟學中的運用已有漫長的歷史,可以分為三個不同時期:邊際革命之前,數學在經濟學中的應用處于萌芽時期;邊際革命到新古典經濟學期間,數學開始顯現出在經濟學中運用的重要性;新古典經濟學之后,數學大量運用于經濟學。

(一)經濟學的“邊際革命”之前:數學方法開始運用于經濟學

數學在經濟學中的應用最早可追溯到古希臘時期,杰出的歷史學家色諾芬(Xenophon)的財富增長思想中就包含了簡單的數量關系。他通過數量分析,模糊地意識到商品價格的波動是依供給和需求關系的變化而變化。但比較明確使用數學方法應該追溯到18世紀的威廉·配第(W illiam Petty)的《政治算術》和弗朗斯瓦·魁奈(Francois Quesnay)的《經濟表》。數學在當時的經濟學當中的使用也與當時的社會背景有著不可分割的聯系。17世紀中葉以后,隨著產業(yè)革命的發(fā)展,科學技術也迅速發(fā)展起來。勒奈·笛卡爾(Rene Descartes)、艾薩克·牛頓(Isaac Newton)、戈特弗里德·威廉·萊布尼茨(GottfriedW ilhelm Leibniz)等科學家們的理論在當時備為推崇,他們研究自然科學的方法自然而然地滲入到了社會經濟的研究當中。而當時經濟學的一些代表人物,如威廉·配第、弗朗斯瓦·魁奈同時也是卓越的自然科學家,因而在他們的經濟學的研究當中引入數學方法順理成章。

古典經濟學創(chuàng)立者配第主張用“數字和事實”研究經濟問題,是經濟學中明確運用數學的開始。配第試圖以簡單的統計分析為政治經濟學提供“精確性”基礎。他努力“用數學、重量和尺度的詞匯表達自己想說的問題”。魁奈的《經濟表》試圖通過理性演繹和數學運算去發(fā)現人類社會的“自然秩序”。1826年,[德]約翰·海因里?！ゑT·杜能(Johann Heinrich von.yon Thtinen)發(fā)表了《孤立國》(The I-solated State),用抽象法研究經濟,將數學方法引入經濟研究領域則開創(chuàng)了經濟學研究的新道路,首次利用了微積分(特別是考察生產費用和運輸費用的變化同經濟效益之間的關系時,運用了微分學)和其他一些變數數學公式來表達若干經濟范疇和原理,開啟了運用數學模型研究問題的先河。杜能認為數學方法有助于準確地認識規(guī)律性的東西,如果反對在經濟學中應用數學就很難改變這門學科的落后狀態(tài)。他說:“在非數學不能求得真理的地方,使用數學是允許的。如果人們在其他知識門類像農業(yè)和國民經濟一樣厭惡數學的傾向,那么我們現在仍處于對天文規(guī)律完全無知的境地?！?《孤立國》,第459頁)。這個時期,經濟學家采用數學僅是作為經濟理論的補充。

真正系統將數學運用于經濟學,并且認為數學將在經濟學中占有重要地位的是古諾(Cournot)。1983年,諾貝爾經濟學獎得主吉拉德·德布魯(Gerard Debreu)在他的獲獎演講中說:“如果要對數理經濟學的誕生選擇一個象征性的日子,我們這一行會以罕見的一致意見選定1838年,……古諾是作為第一個闡明經濟現象的數學模型的締造者而著稱于世的”。1838年,古諾發(fā)表了《財富理論的數學原理研究》(Researches into the Mathematical Principles of the Theory ofWealth)。⑤該書是第一部廣泛將數學函數用于經濟關系中,運用微分和積分計算函數關系(Cournotwent on to apply differential and integral calculus in order to analyze the functions and relationships)。⑥在該書中,他率先運用函數形式表達了商品的需求同價格之間及產量同成本之間的依存關系。盡管該書在其生前并未被引起很多注意,但其奠定了接下來30年以后經濟學上所謂的“邊際革命”(Marginalist Revolution)的基礎。古諾被稱為“數理經濟學的奠基人”。⑦1854年,戈森(Gossen)發(fā)表《交換規(guī)律的發(fā)展和人類行為準則》(The Development of the Laws of Exchange among Men and of the ConsequentRulesof HumanAction),極力主張應用變數數學方法,并將這種方法看作是唯一健全的經濟學方法,并且運用數學建立起了“戈森定律”(“Gossen’s FirstLaw”,“Gossen’s Second Law”,and“Third Law”)。戈森的數學非常好,寫下了大量的數學符號、公式和圖表,并且自比“經濟學上的哥白尼”(Gossen himself declared that hiswork was comparable in its significance to the innovations of Copernicus)。

在這一時期,大量將數學運用經濟學研究的還有馬克思。馬克思高度評價魁奈使用數學圖式的方法試圖說明社會總資本的再生產和流通過程。在《資本論》中,馬克思在很多地方采用數學語言表述自己的觀點和理論,但主要是采用簡單符號、具體數字以及簡單的數學運算來說明不同變量之間的關系。在簡單再生產和擴大再生產的條件、利潤率和剩余價值率的關系、周轉對利潤率影響等問題的分析方面采用了簡單的數學方法。

(二)“邊際革命至新古典經濟學之前”時期:數學方法廣泛運用于經濟學

邊際革命的三位代表人物威廉·斯坦利·杰文斯(W illiam Stanley Jevons)、里昂·瓦爾拉斯(Leon Walras)和卡爾費希爾(I.Fisher)、克拉克(J.B. Clark)以及龐巴維克(E.von Bohm-Bawerk)·門格爾(CarlMenger)都強調對數學的運用,此后,F.Y ·埃奇沃思(F.Y.Edgeworth)、阿爾弗雷德·馬歇爾(AlfredMarshall)、帕累托(Pareto)、克拉克(J.B. Clark)、歐文·費雪(Irving Fisher)以及龐巴維克(E.von Bohm-Bawerk)等采用數學方法研究經濟理論有了進一步發(fā)展。

杰文斯對經濟學展現他特有的開創(chuàng)性作用, 1871年,杰文斯出版《政治經濟學理論》(The Principles of Political Economy),邊際效用理論是該著作的基調,通過四個命題,強調了數學在經濟學中的重要地位:(1)經濟學的本性是數學的;(2)變量無法精確測量并不妨礙經濟學的數學性;(3)經濟學所用方法主要是微積分;(4)數學方法是使經濟學進步的必要條件?！敖洕鷮W如果是一種科學,它必須是一種數學的科學?！币驗樾в美碚?指的是商品的效用的度量是商品數量的連續(xù)函數,實際上表達出經濟學也是一門數學科學的觀點。杰文斯說:“經濟學是快樂與痛苦的微積分學……以最小的努力獲得最大的滿足,以最小厭惡的代價獲取最大欲望的快樂,使快樂增至最大,就是經濟學的任務?！?/p>

法國經濟學家里昂·瓦爾拉斯,曾經被約瑟夫·熊彼特(Joseph Alois Schumpeter)認為是“所有經濟學家當中最偉大的一位”。他開創(chuàng)了一般均衡理論,是一位數理經濟學家,邊際革命領導人,洛桑學派(Lausanne school)創(chuàng)始人。瓦爾拉斯的主要貢獻被認為是在純粹理論方面,即建立了他的一般均衡論。這一理論在一定程度上來源于瓦爾拉斯的三種觀點:(1)邊際效用價值論。邊際效用是一般均衡論的價值論的基礎。瓦爾拉斯把邊際效用稱為“稀少性”:商品的稀少性隨著它的消費量的增加而遞減,并且與購買商品時支付的價格成比例,消費者在進行購買時,力圖使他每一元貨幣所能購買到的每一種商品的效用量相等。這時,他得到最大的效用,即處于均衡狀態(tài)。(2)在經濟研究中數學方法的使用。對瓦爾拉斯而言,數學方法是研究經濟理論的唯一合乎邏輯和科學的方法。在他看來,只有使用數學才能對經濟理論加以確切的論證和說明。他的主要研究結果一般均衡論,就使用了微積分學和大量的聯立方程。也正是這個原因,瓦爾拉斯也被認為是西方經濟學數理學派的人物之一。(3)經濟變量之間的相互關系和影響。瓦爾拉斯認為,各種商品和勞務市場的供求數量和價格是相互有關的,一種市場上的價格和數量的變化會影響其他市場的供求關系。因此,在考察經濟問題時,不能僅僅研究一個市場上的供求情況,還必須同時研究其他一切市場上的供求情況。由于變量之間的相互影響,只有當一切市場都處于均衡狀態(tài),個別的市場才能處于均衡狀態(tài)。研究者不能滿足于找出一個市場的數量和價格的均衡量,還必須找出能使一切市場供求相等的全部價格和數量系列。

門格爾對經濟學的最大貢獻是方法論上的個人主義原則,在邊際效用理論中,看重主觀評價的作用。其理論要說明人們的主觀評價如何使競爭性的市場發(fā)現過程運轉起來的,將價格看作是由主觀估價形成的dependent變量。但門格爾并未否定數學方法在經濟學中的運用。1871年,門格爾發(fā)表《國民經濟學原理》(Principles of Economics),提出了經濟學中的“邊際分析法”,來以測量消費者欲望的滿足程度,衡量物的效用從而決定價值,從而推動著經濟學的研究。后來,除了“邊際效用”以外,人們又發(fā)展出了邊際成本、邊際收益、邊際貢獻、邊際生產率等一系列概念。因為人們發(fā)現,很多經濟現象都可能用“邊際規(guī)律”來解釋,也就是用“微積分”的方法來解釋。

后來,埃奇沃思是試圖對完全競爭下系統而嚴格定義的第一位經濟學家。1881年埃奇沃思出版了《數學心理學》(Mathematical Psychics),⑧試圖用抽象的數學來刻畫邊際效用論。在這部著作中,他提出了描述商品交換的著名的“埃奇沃思方盒(Edgeworth Box)”。他在闡述完全競爭條件時指出,一個完全的競技場還得具有某些特別有利于數學計算的性能。

馬歇爾最早是作為一個數學家開始學術生涯的,在其1890年出版的《經濟學原理》(The Principles of Economics)中,給出現代微觀經濟學教科書中許多“既直觀易懂、又不失數學嚴謹的曲線圖像”。馬歇爾經濟學說的核心是均衡價格論,而《經濟學原理》正是對均衡價格論的論證和引申,該書的主要成就就在于建立了靜態(tài)經濟學。作為最有才華的數學家之一,馬歇爾在他的著作里力求用最簡潔的語言表達思想,把數學的定量材料僅僅作為附錄和腳注。

帕累托完全采用數學方法研究瓦爾拉斯的一般均衡理論,提出了“帕累托最優(yōu)條件”,并在1911年為《數學百科全書》撰寫了以“數理經濟學”(Mathematical Economics)為題目的文章。正是從這個時期開始,數理經濟學作為一門學科的名稱流傳開來。歐文·費雪⑨1892年出版了《價值與價格的數學研究》(Mathematical Investigations In The TheoryOfValue And Prices,And Appreciation And Interest),成為美國比較早采用數學方法研究經濟學的學者。龐巴維克提出“邊際對偶(marginal pairs)”理論,他認為,買賣雙方眾多個人對物品都有不同的各自主觀評價,接近于供求平衡的兩對買賣者稱為邊際對偶。市場價格是由邊際對偶的主張評價所限制和決定的。

在數學方法運用于邊際分析階段,高級微觀經濟學研究取得的成就可概括為三個方面:形成和發(fā)展了一套完整的微觀經濟活動者行為理論;提出了一般經濟均衡問題,建立了一般經濟均衡的理論框架;創(chuàng)立了當今的消費者理論、生產者理論、壟斷競爭理論、及一般經濟均衡理論的數學基礎。數學工具主要是微積分中的“導數”和“偏導數”、“全微分”和“拉格朗日乘數法”。

(三)新古典經濟學之后:數學方法全面運用于經濟學

1.數理經濟學的建立和發(fā)展

數理經濟學(Mathematical Economics)是一門形式理論經濟學,是經濟學研究方法與研究方式的匯總。從學科性質上看,數理經濟學應是經濟學的基礎學科。數理經濟學在20世紀的發(fā)展受很多因素推動。其中,最重要的是一般經濟均衡理論的證明。瓦爾拉斯⑩提出一般經濟均衡之后,并未給出準確的數學證明。此后,許多學者致力于該定理的證明。真正將微積分等現代數學技術運用于表述經濟理論的是約翰·?？怂?John Hicks)的《價值與資本:經濟理論的若干基本原則之探究》(Value and Capital: An Inquiry into Some Fundamental Principles of Economic Theory,1939)。在該書中,?？怂挂試栏竦臄祵W工具,對序數效用論、無差異曲線等概念和理論進行了系統的闡述和完善。將靜態(tài)分析方法的適用范圍擴大而把多時期分析包括在內,?？怂沟哪Ｐ蜑檠芯客馍兞孔兓慕Y果提供了大得多的可能性。1947年,保羅·薩繆爾森(Paul A.Samuelson)出版《經濟分析基礎》(Foundations of Economic Analysis),該書以數學為工具,使各種理論和方法獲得基本統一的表述,并以此總結了新古典經濟學的主要成就。該書將最大化原理和均衡原理結合在一起,使新古典經濟學的主體內容有了經典的數學表述形式,這正是它成為經典的原因?？梢?希克斯的《價值與資本》和薩繆爾森的《經濟分析基礎》,全面總結和發(fā)展了邊際分析階段的研究工作,尤其是?？怂拱l(fā)展了一般均衡理論,薩繆爾森則把顯示性偏好與均衡穩(wěn)定性結合起來研究。這兩部著作使邊際分析到達了頂點,從而成為經濟學史上的兩部名著。盡管?？怂购退_繆爾森的研究中進行精密的數學分析和求解,但仍以微積分為主要工具,要受連續(xù)函數的不切實際假定的限制。所以,進入20世紀50年代以后,數理經濟學的基礎由微分轉變?yōu)榧险摰刃碌臄祵W工具。J.馮·諾伊曼(John von Neumann)、K.J.阿羅(Arrow)、吉拉德·德布魯等先后用集合論(主要數學工具是數學分析、凸分析和拓撲學)和線性模型(主要數學工具是線性代數和線性規(guī)劃)展開新的探索。在這種轉變中,影響最大的首推阿羅1951年的《社會選擇與個人價值》(Social Choice and Individual Values)。該書的主題是社會選擇理論的公理化,但在其研究過程中,運用集合論技巧,為一般均衡的研究提供了一個框架。

20世紀60年代以后數理經濟學和微積分、集合論、線性模型結合在一起,同時數學方法的運用幾乎遍及經濟學的每個領域。第二次世界大戰(zhàn)以后,經濟生活的需要和電子計算機的發(fā)明,促使與數理經濟學有關的經濟計量學得到迅速發(fā)展,它反過來又推動數理經濟學繼續(xù)前進。

2.計量經濟學的建立和發(fā)展

計量經濟分析是20世紀20年代之后發(fā)展起來的一項重要經濟學分析技術或工具。計量經濟學(Econometrics)是由弗瑞希(R.Frish)在1926年仿照“計量生物學(Biometrics)”一詞而提出。計量經濟學會在1930年得以成立,不久《計量經濟學》(Econometriea)雜志出版。弗瑞希于1933年發(fā)表《動態(tài)經濟學中的擴散問題和沖擊問題》一文,從計量經濟學的角度將經濟分析劃分為靜態(tài)分析(Static analysis)和動態(tài)分析(Dynamic analysis)。1939年,他編制了世界上第一個宏觀計量經濟模型。第一屆諾貝爾經濟學獎就授予了弗瑞希和簡·丁伯根(Jan Tinbergen)。丁伯根提出了著名的“蛛網模型”(cobweb theorymodel),并成功地運用差分方程進行動態(tài)分析,建立了一套完整的美國經濟計量模型。他還運用數學方法檢驗資本主義經濟周期運動。勞倫斯·克萊茵(Lawrence R.Klein)將計量經濟學方法與凱恩斯主義(Keynesianis m)宏觀經濟學分析結合起來,創(chuàng)立了宏觀經濟計量學。1950年在《凱恩斯革命》(The Keynesian Revolution)中,第一次完整地將凱恩斯的經濟理論表述為數學形式。1955年勞倫斯·克萊茵與戈德伯格(Arthur S.Goldberger)合作,發(fā)表《美國的一個經濟計量模型,1929-1952》(An Econometric Model of United States,1929-1952)論文,構建了一個包括22個方程的美國年度經濟的“萊因-戈德伯格模型”,不僅在結構、規(guī)模和先進的估算方法論方面是現代宏觀模型的鼻祖,而且也是正式地用于經濟波動預測的第一個經濟計量模型,對以后美國和其他國家建立的宏觀經濟計量模型有深遠而普遍的影響。克萊因還幫助其他國家建立模型,包括1947年的加拿大模型、1961年的日本模型、1961年的英國第一季度模型。他關于發(fā)展中國家模型式樣的建議,明顯地被采納于印度、墨西哥、蘇丹等不同國家的模型中。他還與他人一起,致力于建立前蘇聯的模型,對前蘇聯的經濟計劃和計劃執(zhí)行進行經濟計量的描述。

由于計量模型的預測常常失敗,20世紀60年代中期以后,計量經濟分析的重心便從模型參數的估計和檢驗轉向模型設定的方法論討論,強調對計量經濟分析方法與技術的思想本身進行研究,強調對模型同經濟理論和統計學原理的一致性進行探討,運用范圍也從傳統的宏觀經濟領域轉向微觀領域及其他領域。計量經濟學在分析方法得到迅速發(fā)展的同時,大量運用于經濟學理論命題的實證檢驗。

3.博弈論改寫經濟學

無論微積分,還是拓撲學抑或集合論,在經濟學研究中均存在著一個共同的局限性,即它們只在均衡分析中才能充分發(fā)揮作用。20世紀70年代以前的西方經濟學主要偏重于均衡分析和完全競爭,原有的用于經濟學分析的數學工具有一定局限,博弈論的數學方法能彌補這些局限,可用于非均衡分析和非完全競爭狀態(tài)下的分析。博弈論不是經濟學的一個分支,它只是一種方法,是數學的一個分支,是適用于研究行為互動局勢的一種通用的分析方法。據國外有關檢索結果,近幾年在經濟學類文獻中,出現頻率最高的關鍵詞之一就是“game theory”。

1944年奧斯卡·摩根斯坦(OskarMorgenstern)和馮·諾伊曼(John von Neumann)共同出版了《博弈論與經濟行為》(Theory of Games and Economic Behavior),該著作提出合作博弈的基本模型,標志著系統的博弈理論的形成。該著作因此被稱為“博弈論的奠基之作”,被稱為20世紀前50年人類最偉大的科學成就之一。一直到現在,該書也是博弈論的經典著作。奧斯卡·摩根斯坦和馮·諾伊曼是最早考慮經濟行為者決策“互動”性質的重要性的經濟學家。到20世紀50年代,合作博弈發(fā)展到鼎盛期,非合作博弈也開始產生。約翰·納什(John Nash)的《N人博弈的均衡點》(Equilibrium Points in N-person Games)(1950)、《非合作博弈》(Non-Cooperative Games)(1951)明確給出了“納什均衡”(Nash equilibrium)的概念和均衡存在定理,圖克(Tucker) 1992年則定義了“囚徒困境”(prisoner’s dilemma)。兩人的著作奠定了現代非合作博弈論的基石。

20世紀60年代是博弈論的成熟期。不完全信息與1985年羅伯特·約翰·奧曼(Robert John Aumann)對“非轉移效用博弈”(non-transferable utility)的擴充使博弈理論變得更具廣泛應用性。約翰·海薩尼(John Charles Harsanyi)于1967-1968年將分析方法拓展到不完全信息博弈,從而為理性行為的分析和信息經濟學奠定了堅實的基礎。20世紀70年代以后,博弈論形成了一個完整的體系;大體從20世紀80年代開始,博弈論逐漸成為主流經濟學的一部分。博弈論的運用包括不完全競爭、市場均衡、談判、產品質量、保險、委托——代理關系、歧視、公共產品等微觀領域,并且已擴展到宏觀經濟學、產業(yè)組織理論等等。有些經濟學家還利用博弈論方法,來分析合作、利他主義、信任、懲罰、報復之類的現象,力圖探討社會規(guī)范、制度如何產生的棘手問題。1994年納什、約翰·海薩尼(John Charles Harsanyi)和澤爾滕(Selten)在非合作博弈的均衡分析理論方面做出了開創(chuàng)性的貢獻,使經濟博弈論全面形成并獲得了諾貝爾經濟學獎。1996年,威廉·維克里(W illiam Wekey)和詹姆斯·莫里斯(James A.Mirrlees)再次因為對博弈論研究的突出成果而榮獲諾貝爾經濟學獎。博弈論開始對其他學科的研究產生強有力的影響,計算機技術的飛速發(fā)展使得研究復雜和設計大規(guī)模計算的博弈模型發(fā)展起來。2005年,奧曼和托馬斯·克羅姆比·謝林(Thomas Crombie Schelling),因“通過博弈論分析而增進對沖突和合作的理解”榮獲諾貝爾經濟學獎。2007年,又是三位博弈論研究領域的經濟學家榮獲諾貝爾經濟學獎,分別是:里奧尼德·赫維茨(Leonid Hurwicz)開創(chuàng)了機制設計理論;埃里克·馬斯金(Eric S.Maskin)因公共選擇理論、博弈論、激勵理論與信息理論以及機制設計而獲獎;羅杰·邁爾森(Roger B.Myerson),其博士課題為“一種合作博弈理論(A Theory of Cooperative Games)”,對博弈論有深入的研究,著有《博弈論:矛盾沖突分析》(Game Theory: Analysis of Conflict)及《經濟決策的概率模型》(ProbabilityModels for Economic Decisions)。

博弈論運用數學方法來描述所研究的問題,主要應用集合論、泛函分析、實變函數、微分方程等許多現代數學知識和分析工具,具有明顯的數學公理化方法特征,使博弈論所分析的問題更為精確。博弈論研究方法具有抽象化的特征,這是由于博弈論分析大量使用了現代數學,使它描述和分析的過程及所揭示的結論都帶有極其抽象的特點。

四、結語

1.數學是現代經濟學研究的重要工具。數學為經濟學提供了解決問題的一種思路、一種方法。若不用數學的數據與方法,一些經濟現象則無法研究?，F代經濟學博大精深,經濟學家運用數學語言能夠更嚴格地闡述、更精煉地表達其觀點和理論,用數學模型來分析各個經濟變量之間的相互依存關系。由于經濟學的度量化、將各種前提假設條件精確化,它已成為了一門體系嚴謹的社會科學。

2.21 世紀數學在經濟學領域的運用將超過物理學?；谠S多分析的方法,特別是現代數學,包括隨機數學、模糊數學、熵等理論在金融、投資等方面的運用。

3.數學方法是經濟學研究的必要條件,但不是充分條件。這也正是經濟學的數理學派與行為學派進行激烈爭論(特別在不確定領域)的重要原因。經濟學中很多問題尚不能完全用數學方法得到求解,如三人以上的博弈在數學上尚未找到一般程序求解隨機策略納什均衡。說明數學僅僅是經濟學研究的必要工具之一,但絕不是萬能的工具與方法。

[注 釋]

① 保爾·拉法格(Paul Lafargue),1891,馬集譯,1973:《憶馬克思》,輯于《回憶馬克思恩格斯》,人民出版社,第7頁.

② 格里高利·曼昆(N.GregoryMankiw),梁小民譯.經濟學原理(Principles of Economics)(上冊).機械工業(yè)出版社,2003.

③ 同上.

④ 西尼爾.政治經濟學大綱.商務印書館,1986;薩伊.政治經濟學概論.商務印書館,1964.

⑤ 1897,English.translation.byN.T.Bacon.

⑥ 常被當作數理經濟學的開端.

⑦ Edgeworth說,古諾的論著“是以數學形式把經濟科學里的某些高度概括的命題,陳述得最好的。”現代經濟學家還指出,古諾是最早用博弈論思想分析經濟問題的先驅者,他的“雙頭模型”成功地運用了博弈論.

⑧ 很可能是經濟學歷史上一部最難以理解的重要著作.

⑨ 美國經濟學家、數學家,經濟計量學的先驅者之一,美國第一位數理經濟學家.

⑩ 現在均將19世紀70年代杰文斯和瓦爾拉斯極力提倡且實行以數學推理為經濟理論研究的唯一方法當作數理經濟學和數理學派的正式形成,而把此后到20世紀初,F.Y.埃奇沃思、A.馬歇爾、費雪、V.帕累托等在經濟學里進一步運用數學推理當作這個學科和學派的發(fā)展.

[1] A.Rosenberg,If Economic Isn’t Science,What Is It[M]. The Philosophy of Economics:an anthology 2nd ed,Cambridge University press,1994.

[2] B1aug M.The Methodo1ogy of Economics[M].Cambridge:Cambridge University Press,1992.

[3] Bo1andL A.Understanding the Popperian Legacy in Economics[J].Research in the History of Economic Thought andMethodo1ogy,1992,(7):273.

[4] Friedman M.The Methodology of Positive Economics// Essays in Positive Economics[M].Chicago:University of Chicago Press,1953.

[5] J.L.凱萊著,吳從炘、吳讓泉譯.一般拓撲學[M].北京:科學出版社,1982.

[6] 卡爾·波普爾(Karl Raimund Popper).周熙良,周昌中譯.科學:猜想和反駁[M].上海:上海譯文出版社, 2005.

[7] 卡爾·波普爾(Karl Raimund Popper).查汝強,邱仁宗譯.科學發(fā)現的邏輯[M].北京:科學出版社,1986.

[8] 卡普爾(Kapur,J.N.).王慶人譯.數學家論數學本質[M].北京:北京大學出版社,1989.

[9] Knight,F.“What is Truth”in Economics[A].In:W illiam,L.&J.Alexander(eds.).On the History and Method of Economics:Selected Essays[C].Chicago:U-niversity of Chicago Press,1956:151-178.

[10] 萊昂內爾·羅賓斯(Lionel Robbins).朱泱譯.經濟科學的性質和意義[M].北京:商務印書館,2000.

[11] 李醒民.論數學方法的一般理念[J].長沙:湖南社會科學,2010,(1).

[12] 馬克·布勞格(Mark Blaug).黎明星,陳一民,季勇譯.經濟學方法論[M].北京:北京大學出版社, 1990.132-134.

[13] 米塞斯(L.V.Mises).梁小民譯.經濟學的認識論問題[M].北京:經濟出版社,2001.

[14] S.Eilenberg and N.Steenrod.Foundations of Algebraic Topology[M].Princeton Univ.Press,1952.

[15] 王傳倫.經濟學與數學之隨感[J].金融博覽(一), 2007,(8).

[16] 王傳倫.經濟學與數學之隨感[J].金融博覽(二), 2007,(9).

[責任編輯:張曉娟]

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1004-5295(2010)04-0010-07

2010-08-01

李逸群(1989-),女,內蒙古呼和浩特人,鄭州大學數學系在讀本科生,從事數學與應用數學研究.