數(shù)制間的轉(zhuǎn)換技巧

李紀

（太原廣播電視中專，山西 太原 030001）

數(shù)制間的轉(zhuǎn)換技巧

李紀

（太原廣播電視中專，山西 太原 030001）

計算機原理是中等職業(yè)學校計算機專業(yè)的一門主干專業(yè)課程，數(shù)制轉(zhuǎn)換是其中的基礎(chǔ)知識。我們?nèi)粘Ｉ钪惺褂玫氖鞘M制，而計算機中是用二進制來表示數(shù)據(jù)的，這就需要進行數(shù)制間的轉(zhuǎn)換，但用常規(guī)方法計算量較大，本文介紹通過在教學中總結(jié)的一些轉(zhuǎn)換技巧，從而提高效率和準確性。

數(shù)制；轉(zhuǎn)換；十進制；二進制

計算機原理是中等職業(yè)學校計算機及應(yīng)用專業(yè)的一門主干專業(yè)課程，其中數(shù)據(jù)在計算機中的表示這一章中要求學生能夠熟練掌握各數(shù)制間的轉(zhuǎn)換，為以后掌握必要的軟硬件知識，掌握微型計算機組成結(jié)構(gòu)和各部件的工作原理，了解指令系統(tǒng)和匯編語言知識及程序設(shè)計的基本概念奠定基礎(chǔ)。另外，它也是中等職業(yè)學生對口升學考試中的基礎(chǔ)知識點。

一、基本概念

數(shù)制是用一組固定的數(shù)字和一套統(tǒng)一的規(guī)則來表示數(shù)目的方法。在計算機中，常用的數(shù)制有十進制、二進制、八進制和十六進制。

十進制數(shù)是人們十分熟悉的計數(shù)方式，它是用0～9十個數(shù)字符號，按一定規(guī)律排列起來，表示值的大小，按照“逢十進一”的原則計數(shù)。例如，6336這個四位數(shù)可寫成：6336=6×103+3×102+3×101+6×100，從這個表達式中可發(fā)現(xiàn)以下特點：（1）十進制的基數(shù)為10，即允許選用基本數(shù)碼的個數(shù)，只有0～9這10個數(shù)字符號。

（2）同一數(shù)字符號在不同位置代表的數(shù)值是不同的。右邊第一位為個位，記作100；第二位為十位，記作101；第三和第四位依此類推。通常將103、102、101、100稱為對應(yīng)數(shù)位的權(quán)，各位數(shù)的權(quán)都是基數(shù)的冪。每個數(shù)位對應(yīng)的數(shù)字符號稱為系數(shù)，所以某數(shù)位的數(shù)值等于該位的系數(shù)和該位權(quán)的乘積。如6336這個數(shù)中雖然有兩個6，但一個代表6000，一個代表6；3也是如此。（3）從右向左采用逢十進位。

從上邊對十進制數(shù)的分析，得到二進制數(shù)的基數(shù)為2即0和1兩個數(shù)字符號；各位的權(quán)為2的冪；從右到左，采用“逢二進一”的原則。

同樣的道理：八進制的基數(shù)為8，即0～7八個數(shù)字符號；各位的權(quán)為8的冪；從右到左，采用“逢八進一”的原則。十六進制的基數(shù)為16，即0～9、A、B、C、D、E、F16個數(shù)字符號；各位的權(quán)為16的冪；從右到左，采用

“逢十六進一”的原則。

在計算機中，通常用數(shù)字后面跟一個英文字母來表示該數(shù)的進制。其中，“D”表示該數(shù)為十進制數(shù)（Decimal number），有時可以省略；“B”表示該數(shù)為二進制數(shù)(Binarynumber)；“Q”表示八進制數(shù)（Octal number）；“H”表示十六進制數(shù)（Hexadecimal number）。

二、各進制轉(zhuǎn)換成十進制的普通算法——按權(quán)展開相加法

二進制：1101111B=1×26+1×25+0×24+1×23+1× 22+1×21+1×20=64+32+8+4+2+1=111即二進制數(shù)1101111轉(zhuǎn)換成十進制數(shù)為111

八進制：213Q=2×82+1×81+3×80=139

十六進：2FAH=2×162+15×161+10×160=762

這種方法計算量很大，比較容易出錯，而且浪費時間?？荚噷r間和準確性要求非常高，而且不能使用任何有關(guān)的電子設(shè)備或是計算類工具，通過長期的思考和總結(jié)，對于有些特殊的值，我們可以使用一些簡便方法，提高效率。另外，因為8和16，都是2的整次冪，所以二進制正整數(shù)與八進制和十六進制正整數(shù)的相互轉(zhuǎn)換又比較容易。這樣一來，十進制數(shù)和二進制數(shù)相互轉(zhuǎn)換的技巧就至關(guān)重要了。

三、二進制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進制數(shù)

由于二進制數(shù)的特殊性，要不是加上所在位的權(quán)值，要不就是0，所以權(quán)值的規(guī)律就很重要。它們分別是1、2、4、8……構(gòu)成的是等比數(shù)列。根據(jù)等比數(shù)列的求和公式Sn=a1(1-qn)/(1-q)，第一項a1=1，公比q=2，求得二進制中特有的求和公式，這個公式就是當二進制數(shù)碼全部為1情況下的累積權(quán)值，也就是二進制數(shù)轉(zhuǎn)換成的十進制數(shù)。例如：11111111B=28-1=255,即先數(shù)清總的二進制位數(shù)，此題為8，n=8，代入公式就可立即求出結(jié)果，比普通算法既省時又不易出錯。

對于二進制數(shù)中有個別0的情況，用累計權(quán)值減去0位上的權(quán)值即可，這樣就得到公式：Sn=（2n-1）-2a-2b……（注：Sn為十進制數(shù)，n為總的二進制位數(shù)，a、b等為0位上相應(yīng)的位序），例如：1111110B=(27-1) -20=128-1-1=126，當然在0絕對多的情況下，采用這種方法就比較麻煩，可以用普通按權(quán)展開相加法。

對于像第一個數(shù)為1，其余都為0的二進制數(shù)，也有簡單方法可尋。如：10000000B=27=128，即為2n（注：n為0的個數(shù)）。

四、十進制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進制數(shù)

十進制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進制數(shù)，通常使用的是除2取余法，這種方法如果數(shù)比較大的話，我們畫連除圖有點浪費時間且容易出錯，現(xiàn)在我們嘗試換一種思路，從權(quán)值出發(fā)，找到相應(yīng)的位權(quán)，逐步推導(dǎo)，將十進制數(shù)快速轉(zhuǎn)換成二進制數(shù)。

因為二進制數(shù)是由數(shù)碼與位權(quán)的值相乘后累積的和，又因為任何數(shù)與0相乘的積都為0，所以我們把二進制數(shù)轉(zhuǎn)換十進制數(shù)時，只要把1位上的權(quán)值相加即可。反之，在十進制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進制數(shù)時，我們可以逆向思維，首先找到等于或小于且最接近該十進制數(shù)的權(quán)值，確定數(shù)碼為1的最高位數(shù)；然后把十進制數(shù)與確定的最高位的權(quán)值相減，得到差值，再找到與差值相等或比差值小且與之最接近的權(quán)值，確定第二個數(shù)碼為1的位數(shù)，依次類推，直到差值為0，最后在空位填上0，注意不要丟掉第0位，另外，這種方法需要熟記2的0～10次冪數(shù)值。

例如，我們將12轉(zhuǎn)換成二進制數(shù)，首先找到與12相等或小于12且與12最接近的權(quán)值，我們可以確定是8=23，又因為12-8=4，我們再找到與4相等或比4且小接近4的權(quán)值，即為4=22，這時我們可以寫為12=8+4=23+22=1100B，即在第3位寫1，第2位寫1，第1位寫0，第0位寫0，一定別忘記第0位，我們可以看出二進制數(shù)的位數(shù)是最高位次冪加1，如上例中最高次冪為3，二進制數(shù)位數(shù)為4。這種方法漸漸熟悉后就會很快求得結(jié)果。

同樣道理的逆向思維，對于一些特殊的十進制數(shù)，也可反過來用二進制數(shù)轉(zhuǎn)十進制數(shù)的方法。如8=23=1000B，16=24=10000B，32=25=100000B，它們的制數(shù)為1后加n個0。再如規(guī)律是十進制數(shù)為2的n(n為正整數(shù))次冪轉(zhuǎn)換為二進7=23-1=111B，15=24-1=1111，31=25-1=11111，它們的規(guī)律是十進制數(shù)為2的n(n為正整數(shù))次冪減1轉(zhuǎn)換為二進制數(shù)為n個1。

五、八進制和十六進制數(shù)

有了二進制數(shù)和十進制數(shù)的技巧，八進制和十六進制數(shù)就可借助于二進制數(shù)這個橋梁輕松和十進制數(shù)進行互換了。

［1］宮靜洲.巧換二進制與十進制［J］.中國信息技術(shù)教育，2009，（5）:27-28.

［4］武馬群主編.計算機原理［M］.北京：高等教育出版社，2002.

［3］李立東，朱曉鷗.微機原理與匯編語言基礎(chǔ)［M］.北京:高等教育出版社,2002.

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