F·克萊因的 HPM思想及其教學(xué)啟示

蒲淑萍

(淄博師范高等?？茖W(xué)校教育科學(xué)系,山東淄博 255100)

F·克萊因的 HPM思想及其教學(xué)啟示

蒲淑萍

(淄博師范高等專科學(xué)校教育科學(xué)系,山東淄博 255100)

F·克萊因是杰出的數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家,其著作《高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)》中的 HPM思想可概括為三個方面：從概念歷史發(fā)展中吸取經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn);利用歷史素材,豐富課堂教學(xué),促進(jìn)學(xué)生發(fā)展;將歷史與現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展結(jié)合,改進(jìn)教學(xué)內(nèi)容的呈現(xiàn)形式。HPM思想對我國數(shù)學(xué)教學(xué)有以下幾點(diǎn)啟示：數(shù)學(xué)史是理解數(shù)學(xué)的途徑;數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)返璞歸真并加強(qiáng)課題研究;數(shù)學(xué)史是教師專業(yè)知識的重要組成部分。

F·克萊因;《高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)》;HPM思想;教學(xué)啟示

“生物發(fā)生學(xué)的一項(xiàng)基本定律指出,個體的成長要經(jīng)歷種族成長的所有階段,順序相同,只是所經(jīng)歷的時間縮短?！蚁虢淌跀?shù)學(xué)和其他任何事情一樣,至少在原則上要遵照這項(xiàng)定律。……科學(xué)的教學(xué)方法只是誘導(dǎo)去作科學(xué)的思考,并不是一開頭就教人去碰冷漠的、經(jīng)過科學(xué)洗練的系統(tǒng)。推廣這種自然的真正科學(xué)的教學(xué)的主要障礙是缺乏歷史知識。”[1]307-308這段基于發(fā)生教學(xué)原理、有著清晰的 HPM(History and Pedagogy ofMather matics)①思想的話語出自19世紀(jì)末 20世紀(jì)初德國著名的數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家菲列克斯·克萊因。克萊因是著名的“愛爾蘭根綱領(lǐng)”[2]的制定者,“克萊因運(yùn)動”(亦稱“培利——克萊因運(yùn)動”)[3]的發(fā)起人之一,是以高觀點(diǎn)指導(dǎo)初等數(shù)學(xué)教學(xué)的主創(chuàng)者,更是 HPM思想的倡導(dǎo)與實(shí)踐者。今天我們重點(diǎn)探討 F·克萊因的 HPM思想,以期能對我們當(dāng)前的數(shù)學(xué)教學(xué)有所啟示。

一、F·克萊因簡介

F·克萊因 (Christian Felix Klein,1849～1925)[4-5],是 19世紀(jì)末 20世紀(jì)初偉大的數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)史家和數(shù)學(xué)教育家,世界最有影響力的數(shù)學(xué)學(xué)派——哥廷根學(xué)派的創(chuàng)始人,現(xiàn)代國際數(shù)學(xué)教育奠基人,在數(shù)學(xué)界享有崇高的聲譽(yù)。克萊因在非歐幾何、連續(xù)群論、代數(shù)方程論、自守函數(shù)論等方面,都取得了杰出的成就。1885年被選為英國皇家學(xué)會會員,1897年被選為法國科學(xué)院院士,1908年他被推選擔(dān)任國際數(shù)學(xué)教育委員會 (I MUK)會議主席,1913年被選為普魯士科學(xué)院通訊院士。

他的主要論著有：《論所謂非歐幾何學(xué)》(1871)、《新近幾何學(xué)研究的比較考察》(1872)、《二十面體及五次方程解講義》(1884)、《橢圓模函數(shù)論講義》(1890、1892)、《自守函數(shù)論講義》(1897、1912)、《高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)》(1908、1909)等。此外,F·克萊因著的《19世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展史講義》(1926～1927)一書,標(biāo)志著斷代體近現(xiàn)代數(shù)學(xué)史研究的開始。他的許多觀點(diǎn)至今仍然對數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)史家有所啟迪?？巳R因在數(shù)學(xué)教學(xué)方面花費(fèi)了很多精力,提倡改革中等數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)容和方法,強(qiáng)調(diào)要用近代數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)改造傳統(tǒng)的中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容,這些都深深地影響了近代數(shù)學(xué)教學(xué)。

二、《高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)》和 F·克萊因的 HPM思想

《高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)》共分三卷。第一卷：算術(shù)、代數(shù)、分析[1];第二卷：幾何[6];第三卷：精確數(shù)學(xué)與近似數(shù)學(xué)[7]。該書是克萊因根據(jù)自己在哥廷根大學(xué)多年為德國中學(xué)數(shù)學(xué)教師及在校學(xué)生開設(shè)的講座而撰寫的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)普及讀物。在“第一版序”中克萊因?qū)懙?“我感到特別高興的是能遵循各種理論的歷史發(fā)展,理解今天教學(xué)上互相平行的幾種教授方法的顯著差別”[1]。該書的主要目的在于“促使中學(xué)數(shù)學(xué)及理科教師了解他們在大學(xué)里學(xué)的東西,特別是純數(shù)學(xué)研究對于他們教學(xué)的重要性”[1](見該書“第三版序”)。

知名學(xué)者吳大任的《博洽內(nèi)容獨(dú)特風(fēng)格——〈高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)〉導(dǎo)讀》中指出：“克萊因反復(fù)強(qiáng)調(diào)的一個教育原則是按照學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律 (包括年齡及成熟程度)進(jìn)行教學(xué)?！v數(shù)學(xué)歷史,是因?yàn)?他認(rèn)為學(xué)生對數(shù)學(xué)的認(rèn)識,在某個意義上,是與人類對數(shù)學(xué)認(rèn)知的歷史過程相對應(yīng)的”[1]。文中還指出“在講述數(shù)學(xué)的歷史時,克萊因強(qiáng)調(diào)對事物認(rèn)識深化的必然性(這不排除偶然性)。……了解一些歷史是很有意義的;我們的課程往往分別構(gòu)成首尾完整的邏輯體系。學(xué)生在學(xué)習(xí)中很難充分領(lǐng)會到數(shù)學(xué)是如何逐步成長起來,它又將如何繼續(xù)發(fā)展?！盵1]

F·克萊因認(rèn)為,按照歷史順序教授數(shù)學(xué)能使學(xué)生“看清一切數(shù)學(xué)觀念的產(chǎn)生是如何遲緩;所有觀念最初出現(xiàn)時,幾乎是草創(chuàng)的形式,只有經(jīng)過長期改進(jìn),才結(jié)晶為確定方法,成為大家熟悉的有系統(tǒng)的形式”②?？巳R因以歷史觀點(diǎn)指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)的 HPM思想在其著作《高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)》中得到淋漓盡致的體現(xiàn)。

筆者將書中 F·克萊因的 HPM思想進(jìn)行挖掘、整理、歸類,大致概括為如下三個方面：

(一)熟悉概念的歷史發(fā)展,從中吸取經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)

如,對于“負(fù)數(shù)”的教學(xué),他說“我要立即著重指出,中學(xué)里負(fù)數(shù)概念的引入,在原則上是極為困難的一步。學(xué)生已經(jīng)習(xí)慣于直觀形式,即通過事物的具體數(shù)量來表示數(shù),現(xiàn)在他們覺得運(yùn)算的符號和結(jié)果與以前太不同了”[1]16。談到負(fù)數(shù)的引入,克萊因說“現(xiàn)在允許我來講講這一切歷史發(fā)展過程”[1]17。在回顧了負(fù)數(shù)及其運(yùn)算的發(fā)展歷史后,“如果我們現(xiàn)在帶著批判的眼光去看中學(xué)里負(fù)數(shù)的教法,常常發(fā)現(xiàn)一個錯誤,就像老一代數(shù)學(xué)家如上指出的那樣努力去證明記號法則的邏輯必要性”[1]20,進(jìn)而提出自己的主張“大家應(yīng)該用簡單的例子來使學(xué)生相信,或有可能的話,讓他們自己弄清楚……確實(shí)必須不急不躁,讓學(xué)生有時間接受這種知識后思想轉(zhuǎn)過彎子來”[1]21。

再如,對于“復(fù)數(shù)”的教學(xué),在第四章“通常的復(fù)數(shù)”里,開篇即為“讓我以介紹某些歷史事實(shí)作為開端”[1]55,回顧了卡丹、萊布尼茲、歐拉、高斯等人為復(fù)數(shù)發(fā)展做出的貢獻(xiàn),以及高階復(fù)數(shù),特別是四元數(shù)表示和應(yīng)用的歷史發(fā)展情況后,專門拿出一節(jié)“4.4中學(xué)復(fù)數(shù)教學(xué)”[1]78-80向?qū)W生介紹了 18世紀(jì)下半葉哥廷根大學(xué)卡斯特納《數(shù)學(xué)初步》的做法：“子虛烏有的東西加上一個名稱就突然變成可用的一樣”,以及萊布尼茲的觀點(diǎn)：虛數(shù)事實(shí)上是很可笑的,但盡管如此,卻以某種不可理解的方式導(dǎo)出了有用的結(jié)果。進(jìn)而談到“教學(xué)復(fù)數(shù)如果不想用系統(tǒng)發(fā)展的敘述而使學(xué)生感到厭煩,當(dāng)然也不進(jìn)行抽象的邏輯解釋,那么我們就應(yīng)當(dāng)把復(fù)數(shù)解釋為所熟悉的數(shù)的概念的擴(kuò)張,避免任何神秘感”[1]80。在隨后的內(nèi)容中,插入了“一大段關(guān)于歷史問題的附錄,以便對目前的一般教法以及擬予改進(jìn)之處增加新的認(rèn)識”[1]80。

(二)利用歷史素材,豐富課堂教學(xué),促進(jìn)學(xué)生發(fā)展

此外,克萊因還建議,在復(fù)數(shù)教學(xué)中要利用歷史素材“對目前的一般教法以及擬予改進(jìn)之處增加新的認(rèn)識”[1]80。對于“無理數(shù)”教學(xué),也體現(xiàn)出類似的教學(xué)思想,克萊因首先介紹無理數(shù)的歷史發(fā)展,“無理數(shù)概念的起源當(dāng)然在于幾何直覺,在于幾何學(xué)的要求”[1]24,隨后述及畢達(dá)哥拉斯學(xué)派為慶祝發(fā)現(xiàn)勾股定理而舉行的“百牲祭祀”,以及歐幾里得發(fā)現(xiàn)更為復(fù)雜的無理數(shù)和尺規(guī)作圖等的發(fā)展過程,最后回到中學(xué)教學(xué)如何教的問題：“無理數(shù)的精確理論既未必適合大多數(shù)學(xué)生的興趣,也超過他們的接受能力。一般來說,學(xué)生對有限精確性的結(jié)果已感到滿足。……對于普通程度的學(xué)生,只要通過例子一般講明白無理數(shù)就夠了,平常也是這么做的。特別有天資個別學(xué)生肯定會要求更完整的解釋,給予這些學(xué)生以補(bǔ)充解釋而不犧牲多數(shù)人的興趣,在教師方面來說,就是值得贊揚(yáng)的教學(xué)技巧了”[1]31?？梢钥闯?克萊因?qū)τ谌绾谓虒W(xué)、如何使用數(shù)學(xué)歷史資料,已經(jīng)達(dá)到了“因材施教”的程度。

(三)將歷史與現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展結(jié)合,改進(jìn)教學(xué)內(nèi)容的呈現(xiàn)形式

在第九章“關(guān)于無窮小演算本身”的最后一節(jié)：9.3節(jié)“歷史的與教育學(xué)上的考慮”[1]270中談到“我認(rèn)為,尤其是未來有前途的教師,應(yīng)把這 4點(diǎn)③都加以考慮,這是極其重要的?！绻涣私鈿v史的發(fā)展,你們的腳跟就站不穩(wěn)。那樣的話,你們或者會退縮到最現(xiàn)代的純粹數(shù)學(xué)的陣地上,使中學(xué)生不能接受,或者屈服于攻擊……我希望我的話有利于克服這種相互脫節(jié)的現(xiàn)象,也許能為你們的教學(xué)提供一些有用的方法”[1]272。上述提法再次印證了格萊歇爾 (J.W.L.Glaisher,1848-1928)“如果試圖將一門學(xué)科和它的歷史割裂開來,那么沒有哪門學(xué)科會比數(shù)學(xué)的損失更大”[8]的說法。

對“對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)”的教學(xué),針對中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中由 a=bc的指數(shù)冪引出冪的逆運(yùn)算——對數(shù):c=logba,克萊因認(rèn)為“到這一步,許多本質(zhì)困難就出現(xiàn)了,這些困難通常都不加解釋地放了過去”[1]163。而對于“自然對數(shù)系統(tǒng)的底是,=2.7182818……,e的這個定義,……,絲毫不講它的來由,這樣就丟掉了真正有價值的、能促進(jìn)理解的部分,即不解釋為什么恰好用這樣特別的極限做底,為什么由此導(dǎo)出的對數(shù)稱為自然對數(shù)”[1]165。緊接著在7.2節(jié)“理論的歷史發(fā)展”中指出,“如果我們希望找到學(xué)校里不講的那些基本聯(lián)系,并弄清為什么這種表面上任意的約定卻能導(dǎo)致合理結(jié)果的深一層原因,簡而言之,如果希望進(jìn)一步全面了解對數(shù)的理論,最好是大體上遵循它的歷史發(fā)展”[1]165。介紹了一系列數(shù)學(xué)家的相關(guān)研究工作后,總結(jié)出“通過求雙曲線下面積而引出對數(shù),其方法與其他任何數(shù)學(xué)方法一樣嚴(yán)格,但其簡單和清晰的程度則超過了其他方法”[1]175。提倡借鑒數(shù)學(xué)的現(xiàn)代發(fā)展,并向讀者介紹了克萊因本人在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中采取的方案：“求已知曲線的積分而導(dǎo)出新的函數(shù),這是適當(dāng)?shù)某霭l(fā)點(diǎn)。我已經(jīng)說過,這不僅符合歷史情況,也與高等數(shù)學(xué)中橢圓函數(shù)的處理相一致”[1]176。

該書第二卷就物理學(xué)家在各種矢量場的研究中所需要的數(shù)學(xué)知識評論道：“在時間的推移過程中,物理學(xué)提出了各種各樣需要數(shù)學(xué)來解決的問題,……盡管這些問題可以為數(shù)學(xué)教學(xué)提供比傳統(tǒng)課題要合適得多的材料”[6]79。在介紹一般映射投影時提及：“地理繪圖理論是中學(xué)的一門重要課程。地圖是怎么畫的,會使每個中學(xué)生感興趣。數(shù)學(xué)教師如果能介紹一些這方面的知識,就比只講抽象問題要生動” 。

由上述克萊因關(guān)于數(shù)學(xué)教學(xué)的思想與做法,不難體會到,將數(shù)學(xué)的歷史與現(xiàn)代發(fā)展融于數(shù)學(xué)教學(xué)的必要性與重要性,只有這樣才能讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)發(fā)展的連續(xù)性、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的融合性,而不是孤立存在、脫離實(shí)際的。

三、對我國數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示

(一)應(yīng)把數(shù)學(xué)史看作理解數(shù)學(xué)的一種途徑

由 F·克萊因?qū)γ恳粩?shù)學(xué)知識發(fā)展歷史和教學(xué)關(guān)系的娓娓講述,讓我們充分認(rèn)識到數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教學(xué)中不可或缺的重要作用。數(shù)學(xué)史能讓我們了解數(shù)學(xué)發(fā)展的一般規(guī)律,了解歷史,指導(dǎo)教學(xué),預(yù)見教學(xué)中可能產(chǎn)生的問題;從前人研究數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)中獲取鼓舞和力量,以指導(dǎo)和推動我們今天的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究,少走彎路;數(shù)學(xué)史對于了解數(shù)學(xué)理論發(fā)展的歷史背景,加深理解數(shù)學(xué)理論、公式、定理和數(shù)學(xué)思維,揭示數(shù)學(xué)知識的現(xiàn)實(shí)來源和應(yīng)用,對于引導(dǎo)學(xué)生體會真正的數(shù)學(xué)思維過程,創(chuàng)造一種探索與研究的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)氣氛,對于激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣,培養(yǎng)探索精神,都有重要意義[9]。丹麥數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)史家鄒騰 (H.G.Zeuthen,1839-1920)強(qiáng)調(diào)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史的必要性,認(rèn)為“學(xué)生不僅獲得了一種歷史感,而且,通過從新的角度看數(shù)學(xué)學(xué)科,他們將對數(shù)學(xué)產(chǎn)生更敏銳的理解力和鑒賞力”[10]。

(二)數(shù)學(xué)教學(xué)要體現(xiàn)返璞歸真的教育價值

1859年,達(dá)爾文發(fā)表進(jìn)化論。在此基礎(chǔ)上,1864年海克爾 E.Haeckel(1834-1919)提出一個生物發(fā)生學(xué)定律：“個體發(fā)育史重蹈種族發(fā)展史”,并將該定律運(yùn)用于心理學(xué)領(lǐng)域,指出“兒童的心理發(fā)展不過是種族進(jìn)化的簡短重復(fù)而已”[11]。該定律被運(yùn)用于數(shù)學(xué)教學(xué),便誕生了“歷史發(fā)生原理”。

“歷史發(fā)生原理”告訴我們：個體的發(fā)育過程簡短地重復(fù)族群發(fā)展進(jìn)化的過程。通過類推,人們認(rèn)為人類個體的認(rèn)知過程將簡捷地重復(fù)人類的認(rèn)識過程。由此推斷,如果學(xué)生了解數(shù)學(xué)概念、命題、法則的發(fā)生、發(fā)展、沿革、完善的過程,將有助于深入理解和掌握。而這種簡潔、理想地重構(gòu)數(shù)學(xué)知識生長過程的數(shù)學(xué)教學(xué),就像歷史在戲劇中的重演,體現(xiàn)出了返璞歸真的教育理念與教育價值。著名的“愛爾蘭根綱領(lǐng)”四個要點(diǎn)的第一條就是“教材的選擇排列,應(yīng)適應(yīng)學(xué)生心理的自然發(fā)展”,克萊因在《高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)》中始終提醒數(shù)學(xué)教師要遵循這一規(guī)律,該書第一卷前言中如是說,“……總之應(yīng)當(dāng)記住 (當(dāng)然不是處處如此),在各級教學(xué)中,甚至在大學(xué)中,都應(yīng)當(dāng)把數(shù)學(xué)同處在特定智力發(fā)展階段上學(xué)生真正感興趣的東西聯(lián)系起來,而且是無論如何都要做到的”[1]。

(三)積極開展課題研究,不斷探索 HPM教學(xué)的最佳方式

在第三卷的結(jié)束,克萊因呼吁：“數(shù)學(xué)的情況猶如造型藝術(shù)。向先賢們學(xué)習(xí)不但有益,而且很有必要。但是如果局限于學(xué)習(xí)傳統(tǒng)的東西,而只是由課本學(xué)到的繼續(xù)前進(jìn),……”[7]268這提醒我們,數(shù)學(xué)歷史素材是資源,更是寶藏,必須采取適當(dāng)?shù)姆绞胶侠砝谩?/p>

從學(xué)生的知識層面講,各個數(shù)學(xué)知識的歷史發(fā)展為學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)鋪設(shè)了一條尋古通今的光明道路。例如,教學(xué)中對于學(xué)生存在障礙、困惑或易出現(xiàn)錯誤理解的內(nèi)容,從該概念的歷史發(fā)展中尋找類似的痕跡,通過測試、定量與定性分析等手段,發(fā)現(xiàn)學(xué)生存在的問題與古代數(shù)學(xué)家等的認(rèn)識是否具備歷史相似性[12],在此基礎(chǔ)上借鑒前人克服障礙與困難的方式方法指導(dǎo)教學(xué)。從學(xué)生的人格發(fā)展層面看,數(shù)學(xué)史上偉大人物成功與失敗的經(jīng)歷,無不可以起到正面的榜樣作用或反面的警示效果。如,為提高學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣,促進(jìn)學(xué)生人格的健全發(fā)展,可從介紹數(shù)學(xué)家的生平與成就,甚至人格缺陷之處入手 等等。這些數(shù)學(xué)史料的積累與合理使用,必然會增加數(shù)學(xué)課堂的魅力,使更多的學(xué)生理解數(shù)學(xué)、欣賞數(shù)學(xué)、熱愛數(shù)學(xué)。

(四)數(shù)學(xué)史知識是教師專業(yè)知識的重要組成部分

F·克萊因在《高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)》第二卷前言部分提到：“我要把注意力更多地吸引到幾何學(xué)科的歷史發(fā)展以及偉大先驅(qū)者的成就上來,……我希望通過這類討論,提高我常說的你們的一般素養(yǎng),因?yàn)槌藢ｉT課程提供的詳盡知識外,還應(yīng)當(dāng)抓住主題內(nèi)容及歷史關(guān)系”[6]。教師的數(shù)學(xué)史素養(yǎng)是數(shù)學(xué)史能否融入數(shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)鍵,數(shù)學(xué)教師應(yīng)把數(shù)學(xué)史知識當(dāng)成自身專業(yè)知識必不可少的組成部分[14]。為提高教師的數(shù)學(xué)史素養(yǎng)可為教師創(chuàng)設(shè)如下途徑：提供教材[15]、加強(qiáng)培訓(xùn)、觀摩示范等;創(chuàng)建 HP M教學(xué)資源庫,為教師運(yùn)用數(shù)學(xué)史提供參考。教師個人也應(yīng)該積極學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史,挖掘促進(jìn)教學(xué)的數(shù)學(xué)史資源,探索將數(shù)學(xué)史運(yùn)用于課堂教學(xué)的合適方法與途徑。這必將極大地提高教師自身的教學(xué)能力,促使更多的學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)、熱愛數(shù)學(xué)。Fulvia Furinghetti的研究證實(shí)：教師對數(shù)學(xué)史的認(rèn)識、擁有數(shù)學(xué)史知識的多少、運(yùn)用數(shù)學(xué)史于教學(xué)的能力,三者之間存在著相輔相成的關(guān)系[16]。

注釋：

①1972年在第二屆國際數(shù)學(xué)教育大會上,成立了數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)關(guān)系國際研究小組 (International Study on the Relation between History and Pedagogy ofMathematics),標(biāo)志著數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育關(guān)系作為一個學(xué)術(shù)領(lǐng)域的出現(xiàn)。通常我們把這一研究領(lǐng)域本身稱作 HPM。

②轉(zhuǎn)引自洪萬生：《數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育》,科學(xué)月刊 (臺灣),1984年第 5期。

③這四點(diǎn)是 (1)借助圖形 (在傅里葉和泰勒級數(shù)里用逼近曲線)來說明抽象的思想。(2)強(qiáng)調(diào)與相鄰領(lǐng)域的關(guān)系,諸如與差分法、插值的關(guān)系,最后是和哲學(xué)研究的關(guān)系。(3)強(qiáng)調(diào)歷史的發(fā)展。(4)展出一些普及著作的樣本,以說明受到這些著作影響的大眾觀念與受過專門訓(xùn)練的數(shù)學(xué)家的觀念的差異。

[1]菲利克斯·克萊因.高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)：第 1卷 [M].舒湘芹,陳義章,楊欽樑,譯.上海：復(fù)旦大學(xué)出版社,2008.

[2]Birkhoff G,BennettM K.Felix Klein and his‘Erlanger Programm’,history and philosophy of modern mathematics[J]Minnesota Stud Philos Sci,1988,XI：145-176.

[3]Felix Klein.Vergleichende Betrachtungenüber neuere geometrische Forschungen(A comparative review of recent researches in geometry)[J].Gesammelte Abh.Springer,1921,1：460-497.

[4]Halsted GB.Biography.Professor Felix Klein[J].Amer.Math.Monthly,1894,1：416-420.

[5]Rowe D E.“JewishMathematics”at G?ttingen in the era of Felix Klein[J].Isis,1986,77(3)：422-449.

[6]菲利克斯·克萊因.高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)：第 2卷 [M].幾何.舒湘芹,陳義章,楊欽樑,譯.上海：復(fù)旦大學(xué)出版社,2008.

[7]菲利克斯·克萊因.高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)：第 3卷 [M].精確數(shù)學(xué)與近似數(shù)學(xué).吳大任,舒湘芹,陳義章,譯.上海：復(fù)旦大學(xué)出版社,2008.

[8]KatzV.Using History to TeachMathematics：An International Perspective[M].Washington：MathematicalAssociation ofAmerica,2000：1-261.

[9]Gulikers I,Klaske Blom.‘A HistoricalAngle’,A Survey of RecentLiterature on the Use andValue of History in Geometrical Education[J].Educational Studies inMathematics,2001,47(2)：223-258.

[10]Kleiman S L.Hieronymus Georg Zeuthen[J].ContemporaryMathematics,1991,123：1-13.

[11]Egan K.The EducatedMind：How Cognitive Tools Shape OurUnderstanding[M].Chicago：University of Chicago Press,1997：27.

[12]任明俊,汪曉勤.中學(xué)生對函數(shù)概念的理解：歷史相似性研究[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報,2007,16(4)：84-86.

[13]西奧妮·帕帕斯.數(shù)學(xué)丑聞光環(huán)底下的陰影 [M].涂泓,譯.上海：上海科技教育出版社,2008：1-160.

[14]李國強(qiáng).數(shù)學(xué)史素養(yǎng)及其提高：數(shù)學(xué)教師專業(yè)發(fā)展新視角[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2009(10)：61-63.

[15]汪曉勤,韓祥臨.中學(xué)數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)史[M].北京：科學(xué)出版社,2002：1-274.

[16]Furinghetti F.Teacher education through the history ofMathematics[J].Educational Studies in Mathematics.2007,1：66.

Felix Klein’s HPM Thought and Its Relative Teaching Enlightenment

PU Shuping
(Department of Educational Science,Zibo No rmal College,Zibo 255100,China)

F.Klein is an out standing mathematician and mathematics educationalist.The HPM thought in hisElem entary Mathem atics from an Advanced Stand pointincludes three aspects：drawing experiences and lessons from the historical development of concepts;using the historicalmaterial to enrich classroom instruction and to promote the development of students;and combining the developments of historical and modern mathematics to improve the presentation forms of course content.The following is its enlight enmenton our country’smath ematics instruction：the history ofmathematics is one of the ways to understood mathematics;mathematics teaching should give up affectation and strengthen the project research;and the history ofmathematics is one of the important constituents of teachers’professional knowledge.

Felix Klein;Elem entary M athem atics from an Advanced Standpoint;HPM thought;teaching enlightenment

G633.6

A

1671-6574(2010)03-0016-06

2010-04-10

蒲淑萍(1971-),女,山東淄博人,淄博師范高等?？茖W(xué)校教育科學(xué)系副教授,華東師范大學(xué)理工學(xué)院數(shù)學(xué)系學(xué)科教育專業(yè) 2010級博士研究生。