基于動力學不確定性的重型切削工藝參數(shù)優(yōu)化

黃 華， 張樹有， 劉曉健， 何再興

(1.蘭州理工大學機電工程學院 蘭州，730050) (2.浙江大學流體動力與機電系統(tǒng)國家重點實驗室 杭州，310027)

?

基于動力學不確定性的重型切削工藝參數(shù)優(yōu)化

黃 華1， 張樹有2， 劉曉健2， 何再興2

(1.蘭州理工大學機電工程學院 蘭州，730050) (2.浙江大學流體動力與機電系統(tǒng)國家重點實驗室 杭州，310027)

針對數(shù)控重型切削加工過程的切削穩(wěn)定性具有不確定性的特點，提出了在切削穩(wěn)定性和機床工作能力的約束下，獲得最大材料去除率的工藝參數(shù)優(yōu)化方法。根據(jù)重型切削加工的工藝特點建立三維動力學模型，以機床的固有頻率、阻尼比、剛度和切削力系數(shù)作為不確定因素，結(jié)合排零定理和邊理論對其進行不確定性分析，獲得穩(wěn)健的切削穩(wěn)定性葉瓣圖，結(jié)合切削深度、刀具直徑和刀具齒數(shù)的關(guān)系，為加工過程選擇能獲得最大切削深度的刀具。在此基礎(chǔ)上，建立工藝參數(shù)優(yōu)化模型，選擇最佳的軸向切削深度、徑向切削深度和主軸轉(zhuǎn)速的組合，最后以一臺加工中心上某型號發(fā)動機缸體表面的粗加工過程為例進行了驗證。

切削穩(wěn)定性；不確定性；三維動力學；排零定理；材料去除率

引 言

在數(shù)控機床上常采用大切削用量的重型切削來盡快去除工件表面的加工余量，為了保持切削穩(wěn)定性，一般通過調(diào)整切削用量使其小于發(fā)生顫振的臨界切削深度，但這對提高生產(chǎn)率帶來了不利影響。因此，為了進行穩(wěn)定、高效的加工，優(yōu)化工藝參數(shù)具有重要的意義。

傳統(tǒng)的工藝參數(shù)優(yōu)化一般是以切削成本、效率、表面質(zhì)量為目標，采用智能算法對切削參數(shù)進行選擇。然而僅考慮切削參數(shù)本身的優(yōu)化難以滿足高效、穩(wěn)定的加工要求，尤其隨著數(shù)控機床等精密加工設(shè)備的廣泛應(yīng)用和對動力學研究的深入，在工藝設(shè)計過程中考慮切削動力學的約束十分必要。文獻[1]考慮了刀具偏心的影響，指出對于變徑向切削加工，軸向切削深度度應(yīng)小于徑向切削深度的20%才能保證穩(wěn)定加工。文獻[2]說明在工程上可通過改變時滯來間接改變銑削系統(tǒng)的阻尼，從而改善穩(wěn)定性。文獻[3]開發(fā)了一種面向數(shù)控工藝參數(shù)優(yōu)化的銑削過程動力學仿真系統(tǒng)，文獻[4]提出了一種斷續(xù)切削方法調(diào)整進給速度和徑向切削深度以控制顫振文獻[5]針對薄壁工件容易變形的特點，提出了一種同時調(diào)整每齒進給量和切削深度并保持進給量最大的情況下減小工件表面誤差的方法。文獻[6]針對目前在工藝優(yōu)化中缺少一種高效簡潔的優(yōu)化算法的缺陷，以切削穩(wěn)定性為約束，提出一種利用增強拉格朗日函數(shù)的方法以減小刀具振動和最大化材料去除率。文獻[7]以一臺立式滑枕加工中心為例，針對鑄鐵材料的粗加工過程進行優(yōu)化，選擇了最匹配的刀具和切削參數(shù)。

以上研究考慮了切削動力學的影響，使工藝優(yōu)化結(jié)果更接近實際要求。然而，由于機床加工位姿、測試條件或者制造、裝配的差異、服役性能的退化，工件材料的不均勻，導致機床切削動力學會有一定的不確定性[8]，按照確定數(shù)值進行穩(wěn)定性分析并以此為基礎(chǔ)進行工藝優(yōu)化會有一定的誤差。因此，本研究通過分析重型切削加工過程中切削穩(wěn)定性的不確定性因素，應(yīng)用排零定理和邊理論獲得穩(wěn)健的切削穩(wěn)定性曲線，在此基礎(chǔ)上根據(jù)機床額定功率、扭矩等約束條件，選擇切削參數(shù)以獲得最大切削生產(chǎn)率。

1 重型切削加工過程動力學建模及其不確定性分析

重型切削加工指應(yīng)用大直徑的面銑刀進行粗加工由于刀具螺旋角的存在，其切削動力學比較復雜，必須在三維空間進行分析。另外，切削動力學的不確定性影響因素眾多，筆者選擇主要的影響參數(shù)進行組合得到切削動力學方程的特征多項式族，基于不確定性分析的穩(wěn)健的切削穩(wěn)定性葉瓣圖，為加工過程選擇刀具并構(gòu)建優(yōu)化模型建立基礎(chǔ)。

1.1 重型切削加工的工藝特點

在重型切削中，切削參數(shù)的不合理常常導致再生型顫振。同時，重型加工階段工作頻率比較低，常處于機床固有頻率段附近，因此切削時必須選擇轉(zhuǎn)速以避開切削頻率禁區(qū)。對于鑄鐵、鋼等較難加工材料，在低頻切削時，其切削穩(wěn)定性主要取決于機床結(jié)構(gòu)的固有頻率而與刀具的動力學性能關(guān)系較小[9]。對于面銑刀來說，不同直徑的銑刀有不同的齒數(shù)，齒數(shù)與穩(wěn)定的切削深度和激勵頻率相關(guān)，刀具直徑又決定了切削速度，故選擇合理的刀具也是工藝優(yōu)化的重要目標。

1.2 切削過程三維動力學建模

根據(jù)顫振理論[10]，銑削加工系統(tǒng)穩(wěn)定的臨界切削深度aplim可表示為

(1)

對應(yīng)的主軸轉(zhuǎn)速為

(k=0,1,…,n) (2)

其中：Kt為切向切削力系數(shù);z為刀具齒數(shù);Λ為銑削力的特征方程的特征值;ΛR，ΛI分別表示Λ的特征解的實部和虛部；用α表示切削系統(tǒng)的方向系數(shù)矩陣，G(iωc)表示傳遞函數(shù)矩陣，ωc為顫振頻率。令Φ=αG(iωc)，則面銑刀的三維銑削力特征方程[11]可表示為

(3)

其中:系數(shù)a0,a1,a2是與切削系統(tǒng)的方向系數(shù)、傳遞函數(shù)相關(guān)的矩陣。

工件-刀具接觸區(qū)各方向的直接傳遞函數(shù)為

(4)

其中：ω，k，ξ，φst，φex分別為固有頻率、模態(tài)剛度、阻尼、切入角和切出角。

式(4)表明，臨界切削深度主要取決于方向因子αxx，αxy，αyx，αyy和傳遞函數(shù)Φxx，Φyy，這兩項主要由切削工藝參數(shù)和模態(tài)參數(shù)決定。

1.3 基于排零定理的切削動力學不確定性

在實際加工過程中，固有頻率、阻尼率、剛度和切削力系數(shù)不確定性比較大，因此把這4個參數(shù)作為不確定因素,傳統(tǒng)的穩(wěn)定性分析將結(jié)構(gòu)參數(shù)和工藝參數(shù)視為常數(shù)，實際上各個參數(shù)都有一定的變化范圍[8]。將各參數(shù)的最大值和最小值組合，得到一個多項式函數(shù)族，每個函數(shù)對應(yīng)復平面上一個多項式頂點，將相鄰點連線得到一個多邊形，如果原點包括在該多邊形內(nèi)，則說明系統(tǒng)不穩(wěn)定，否則穩(wěn)定。

對于每個頻率，特征多項式形成了多個特征方程(每個參數(shù)的極值的組合)。該算法在每個轉(zhuǎn)速頻率上掃描切深和顫振頻率，通過排零定理檢測其穩(wěn)定性。設(shè)參數(shù)及其最值表示為ωn∈[ωn(min),ωn(max)],ξ∈[ξmin,ξmax],k∈[kmin,kmax],Kt∈[Kt(min),Kt(max)]。

將各參數(shù)的最值組合，共有24種組合方式，代入a0，a1的表達式和式(3)，可得到

(5)

其中，q=1，…，m(m=16)表示多項式的極值點。

式(5)表明，對于給定的激勵頻率每個多項式對應(yīng)一個頂點，即為不確定參數(shù)組合的穩(wěn)定性極值點。可以將這些點連成凸多邊形，按照排零定理，如果原點在該多邊形內(nèi)，說明系統(tǒng)穩(wěn)定，否則不穩(wěn)定。根據(jù)邊理論和排零定理，得到系統(tǒng)穩(wěn)定性分析流程，如圖1所示。

圖1 基于排零定理的切削穩(wěn)定性不確定性分析流程Fig.1 Flow chart of uncertainty analysis of cutting stability based on zero exclusion principle

2 考慮切削特性的加工工藝優(yōu)化

本研究面向切削過程的粗加工，以最大切除率為目標，以切削深度、徑向切削寬度和主軸轉(zhuǎn)速為優(yōu)化參數(shù)。在機床最大功率、扭矩和切削穩(wěn)定性的約束下，對軸向和徑向切削深度、主軸轉(zhuǎn)速進行優(yōu)化。

2.1 基于直徑與齒數(shù)之比的刀具選擇

使用面銑刀進行重型切削的加工過程受眾多因素的影響，除了包括軸向切削深度和主軸轉(zhuǎn)速、進給速度的切削參數(shù)之外，刀具的選擇也非常重要。面銑刀一般采用可轉(zhuǎn)位的硬質(zhì)合金刀片，加工中心的刀庫中都會有多把面銑刀可供選擇。一般情況下，選擇直徑大的銑刀對加工有利，但是直徑大的銑刀往往有較多的齒數(shù)，降低了其能達到的穩(wěn)定切削深度。因此，需要根據(jù)切削穩(wěn)定性的約束，以最大切除率為目標，為加工選擇刀具直徑和齒數(shù)最合理的刀具。根據(jù)式(1)，(2)，有

(6)

根據(jù)式(6)作出切削深度與刀具齒數(shù)之積和刀具直徑與刀具齒數(shù)之比的關(guān)系曲線，即zalimVSD/z曲線，如圖2所示。

因為材料去除率可表示為MRR=ZalimdVc·fz/π，其中d=ae/D表示切削浸入比，Vc為切削速度，fz為每齒進給量。在給定d，V，fz的情況下，MRR僅與Zalim相關(guān)。因此，為了獲得最大的MRR，只需選擇能獲得最大的Zalim的刀具。圖2中圓圈表示可選的工藝點，據(jù)此便可以選擇相應(yīng)刀具。

2.2 建立加工工藝參數(shù)優(yōu)化模型

對于一般的切削加工來說，切削速度對刀具使用壽命的影響最大，進給量次之，切削深度最小[12]。針對毛坯材料粗加工過程，令每齒進給量一定，根據(jù)使用經(jīng)驗，筆者假定切削速度在900 m/min以下都能滿足該機床上面銑刀刀具集的壽命要求，在此前提下令工藝優(yōu)化的目標為材料去除率最高，同時總加工時間最小。材料去除率可表示為

MRR=ZapaeNft

(7)

其中：z為銑刀齒數(shù)；ap為軸向切削深度(mm)；ae為徑向切削切寬(mm)；ft為每齒進給量(mm)；N為主軸轉(zhuǎn)速(r/min)。

設(shè)工件表面需要去除的材料體積徑向?qū)挾葹閣，軸向深度為L，進給方向長S，則加工時間為

(8)

其中：c表示為實數(shù)取比原實數(shù)大的最小整數(shù)。

1) 機床最大功率和扭矩約束

銑削過程中作用在每個刀齒上的平均切削力可表示為

其中：Ktc，Kte分別代表切向切削力和切向犁切力，前者正比于切屑面積，后者正比于切削深度(對于鑄鐵件加工取Ktc=1 883 N/mm2，Kte=97.6 N/mm2)；ft為每齒進給量；ap為軸向切削深度；κ為銑刀主偏角。φend，φst分別是切出角和切入角，Δφ=φend-φst。

設(shè)此時同時處在切削區(qū)域的刀具齒數(shù)為z′，則刀具所受的扭矩和功率消耗分別為

銑削功率和扭矩不能超過機床設(shè)計的額定值，即

(9)

其中：Pe為機床主軸額定功率；Tqe為機床主軸額定功率；ηs為機床效率。

2) 切削穩(wěn)定性約束

在高速銑削中銑削參數(shù)選擇不合理容易引起顫振，影響加工質(zhì)量甚至損壞機床和刀具，通過辨識機床-刀具-工件工藝系統(tǒng)的動力學特性并進行切削穩(wěn)定性仿真，得到切削深度為

(10)

3) 切削頻率禁區(qū)約束

當激勵頻率與機床固有頻率重合時，系統(tǒng)容易引起共振，由振動理論知，系統(tǒng)共振發(fā)生在共振頻率附近的一個頻段內(nèi)，設(shè)共振區(qū)的半帶寬頻率為

(11)

其中：ωdown，ωup分別為共振區(qū)對應(yīng)的上、下邊界角頻率，單位為rad/s。

則該范圍內(nèi)的頻率為切削頻率禁區(qū)，對應(yīng)的主軸轉(zhuǎn)速分別為ndown,j=60ωdown,j/Z,nup,j=60ωup,j/Z。在切削頻率禁區(qū)約束下，主軸轉(zhuǎn)速的約束條件為

(12)

本研究針對灰鑄鐵材料進行粗加工，轉(zhuǎn)速范圍可取400～1 200 r/min。

4) 徑向切削深度約束

面銑刀加工時，為提高刀具的使用壽命而較少采用全齒浸入銑削，一般其徑向切削深度不大于直徑的75%，通常在50%～60%范圍內(nèi)。

2.3 考慮切削特性的加工工藝優(yōu)化流程

根據(jù)以上分析，按圖3所示的流程進行加工工藝參數(shù)的優(yōu)化。首先，根據(jù)工件尺寸獲得軸向切削深度L和徑向切削深度W；然后，按工件材料和面銑刀刀片形狀確定切削力系數(shù)，并根據(jù)動力學實驗得到機床的模態(tài)參數(shù)，獲得切削穩(wěn)定性葉瓣圖，在此基礎(chǔ)上根據(jù)不確定性分析進一步獲得穩(wěn)健的葉瓣圖，根據(jù)刀具選擇圖確定合適的刀具；最后，根據(jù)穩(wěn)定性葉瓣圖和工藝參數(shù)優(yōu)化模型，確定主軸轉(zhuǎn)速及徑向、軸向切削深度。

圖3 工藝優(yōu)化流程Fig.3 Flow of process optimization

3 實例分析

3.1 優(yōu)化目標的提出

現(xiàn)有某臥式加工中心用來加工柴油機發(fā)動機缸體，缸體毛坯待切除區(qū)域的長寬高為800 mm×300 mm×15 mm。機床的最大額定功率和扭矩分別為26 kW和160 N·m，機床效率為0.8。缸體表面的粗加工所使用的工藝參數(shù)如表1所示。該表面在所有工序中加工時間最長，為提高生產(chǎn)率，要求對該工序的工藝參數(shù)進行優(yōu)化。

表1 頂面加工工藝參數(shù)

3.2 切削過程動力學分析

實驗測得主軸端點前端6階模態(tài)參數(shù)如表2所示。因為切削穩(wěn)定性主要取決于剛度最小的模態(tài)[5]，因此文中取表2中第5階模態(tài)的數(shù)據(jù)進行計算。令模態(tài)參數(shù)在其初值90%～110%的范圍內(nèi)變化；令最大的切向切削力系數(shù)Kt=2 193 N/mm2，最小為1 883 N/mm2。獲得的穩(wěn)定性葉瓣圖如圖4所示。

表2 系統(tǒng)各方向模態(tài)數(shù)據(jù)

圖4 切削穩(wěn)定性圖Fig.4 Diagram of cutting stability

圖4中兩條曲線分別是按照確定參數(shù)分析得到的切削穩(wěn)定性曲線和按照不確定參數(shù)得到的穩(wěn)健的切削穩(wěn)定性曲線。不穩(wěn)定性切削點所在區(qū)域為不穩(wěn)定切削區(qū)；穩(wěn)定性切削點所在區(qū)域為不穩(wěn)定切削區(qū)；不確定切削點所在區(qū)域為穩(wěn)定性不確定的切削區(qū)。目前,按照工藝手冊和加工經(jīng)驗選擇的主軸轉(zhuǎn)速為560 r/min，切削深度為3 mm。從圖4中可以看到，該參數(shù)處于不確定切削區(qū)，有可能導致產(chǎn)生顫振。因此，必須在穩(wěn)健的切削穩(wěn)定區(qū)選擇工藝參數(shù)。

3.3 工藝參數(shù)優(yōu)化

在該加工中心的刀庫中可供選擇的面銑刀刀具一共有9把，其規(guī)格如表3所示。

表3 面銑刀刀具集

從表3可以看到，規(guī)格為?125/Z=8的刀具可以獲得最大的材料去除率，其次為?100/Z=7的刀具。這里選擇表3中規(guī)格為?125/Z=8的刀具，該銑刀主偏角45度。另外，實驗測得整機前6階模態(tài)頻率為29.2，38.1，63.2，92.4，127.0，141.0及221.0 Hz，對應(yīng)的阻尼比為2.99×10-2,5.72×10-2,4.41×10-2,5.92×10-2,4.59×10-2,4.41×10-2。根據(jù)測得的整機模態(tài)頻率和阻尼比，結(jié)合主軸轉(zhuǎn)速范圍，得到各頻率帶寬為：(35.858 3,40.216 9), (62.920 7,63.478 1), (86.767 9,97.708 0),(121.036 8,132.695 4)，(135.13,146.64),(211.04,230.53)。將以上數(shù)據(jù)代入式(6)中， 得到

(13)

MRRmax=2apaeN

(14)

N?(269,302),(453,495),(651,733),

(908,1 005),(1 014,1 100),(1 583,1 729)

為減少計算量，首先確定幾組常用的切削浸入比1/8，2/8，3/8，4/8，5/8，6/8，然后再根據(jù)約束條件篩選最佳的參數(shù)組合，具體計算流程如下：

MRR0=1；t0=60；Ftj0=2.56×103；%為MRR、切削時間和切削力賦初值;

N1=[269 270 271…302];N2=[453 454 455…495];…；N6=[1 583 1 584 1 585…1 729];N0=[N1N2…N6];%不允許選擇的轉(zhuǎn)速數(shù)組

jinrubi=[1/8 2/8 3/8 4/8 5/8 6/8] %切削浸入比

Form=1length(jinrubi);

穩(wěn)定性的不確定性計算； %得到對應(yīng)于某一浸入比的轉(zhuǎn)速數(shù)組Nall和軸向切削深度數(shù)組apall;

Fort=1∶length(Nall) %轉(zhuǎn)速數(shù)組Nall循環(huán)

If isnumber(Nall(t))=0 %判斷轉(zhuǎn)速是否在允許范圍

計算切削力；

IfFtj

If (MRR>MRR0) &&(t

MRR0=MRR；t0=t；

Else break

Else break

Else break

End

End

經(jīng)過計算，最后得到的切削深度為5 mm，轉(zhuǎn)速為860 r/min，如圖4中○所示的工藝點。此時對應(yīng)的切削浸入比為1/2，優(yōu)化前后的結(jié)果比較如表4所示，可以看到優(yōu)化后的切削參數(shù)大大提高了切削效率。

表4 頂面加工工藝參數(shù)

3.4 切削加工參數(shù)實驗驗證

為了驗證優(yōu)化后工藝參數(shù)的可行性，對工件進行切削實驗，并根據(jù)圖4選擇不同的切削參數(shù)，分別在切削狀況和空轉(zhuǎn)情況下進行振動實驗，測量機床的主軸端、工作臺、床身(地腳位置處)和立柱的振動速度，表5為切削參數(shù)。部分測試數(shù)據(jù)結(jié)果見表6，表6中x，y，z表示各測試點對應(yīng)的最大振動速度，單位為μm/s；f1表示振幅最大的頻率成份，f2表示其他頻率成份，各測點對應(yīng)的f2包含從0到3種頻率成分不等，單位為Hz。

表5 切削實驗參數(shù)

表6 測試點的最大振動速度及峰值頻率

結(jié)合圖4的仿真分析結(jié)果和表6的振動測試結(jié)果,可以看到：

1) 以300 r/min的轉(zhuǎn)速切削2 mm時的系統(tǒng)頻率和空轉(zhuǎn)時的頻率25 Hz相比，主軸端、床身(地腳位置處)、工作臺和立柱這4個測量位置的振動峰值頻率都變?yōu)?5 Hz，接近第2階固有頻率38 Hz，主軸動剛度實驗也表明主軸系統(tǒng)存在35 Hz這階固有頻率，此時機床已經(jīng)發(fā)生了顫振。同時，從圖4可以看出，該切削情況下系統(tǒng)確實處于不穩(wěn)定區(qū)。從實驗中獲得的振動速度來看，發(fā)生顫振時的振動速度要比空轉(zhuǎn)時大10～20倍，如空轉(zhuǎn)時立柱x向振動速度為12μm/s，但在切削時突變?yōu)?85μm/s。

2) 以500r/min的轉(zhuǎn)速切削2mm的振動情況同上，在各位置檢測出切削峰值頻率接近63.2Hz這階固有頻率，且與空轉(zhuǎn)時頻率25，100Hz不同，此時機床也發(fā)生了顫振。圖4表明以750r/min速度切削3mm時，切削時系統(tǒng)處于不確定穩(wěn)定區(qū)，按該參數(shù)進行切削時也發(fā)生了顫振。然而，如果按照傳統(tǒng)的分析在該區(qū)域不會發(fā)生顫振，這說明忽略不確定特性將會導致工藝優(yōu)化結(jié)果與實際情況不符。另外在機床選定860r/min，切削深度5mm時，盡管切削深度和轉(zhuǎn)速都要大于前面幾組數(shù)據(jù)，但是因為處在切削穩(wěn)定域，所以仍未發(fā)生顫振。

3) 從圖4中可以看到，在以1000r/min切削1mm時系統(tǒng)處于穩(wěn)定區(qū)，在切削實驗中檢測出的峰值頻率如100，50，117，234，350Hz都是1 000/60=16.6Hz的倍頻，和空轉(zhuǎn)峰值頻率成分一致，因此可知機床此時以受迫振動為主,與300r/min時初顫振速度相比，受迫振動的速度遠小于顫振速度。

4 結(jié) 論

1) 考慮了切削動力學的不確定特性，根據(jù)重型切削的工藝特點，分析了刀具直徑、齒數(shù)和切削深度的關(guān)系，結(jié)合切削動力學的不確定特性為切削過程選擇能獲得最大切削深度的刀具和優(yōu)化的切削參數(shù)，結(jié)果證明該方法得到的結(jié)果比常規(guī)方法更為穩(wěn)健、可靠。

2) 以固有頻率、阻尼比、剛度和切削力系數(shù)為不確定因素，應(yīng)用排零定理和邊理論獲得了新的切削穩(wěn)定性葉瓣圖，與傳統(tǒng)的穩(wěn)定性葉瓣圖之間存在穩(wěn)定性不確定區(qū)域，在該區(qū)域內(nèi)切削有一定的概率產(chǎn)生顫振，因此選擇切削參數(shù)應(yīng)盡量避開該區(qū)域。

3) 考慮面銑刀螺旋角的影響，建立了切削過程的三維動力學方程，以獲得材料的最大去除率為目標，建立了優(yōu)化模型并選擇了最佳的切削參數(shù)。在一臺臥式加工中心上對發(fā)動機缸體表面的粗加工工藝應(yīng)用了本方法，切削振動實驗結(jié)果表明該方法是可行的。

[1] 宋清華,艾興,萬熠,等.考慮刀具偏心的變徑向切深銑削穩(wěn)定性研究[J].振動、測試與診斷,2008,28(3):206-210.

Song Qinghua，Ai Xing，Wan Yi,et al. Research on milling stability of variable radial cutting depth consideration of cutter eccentricity[J].Journal of Vibration, Measurement& Diagnosis, 2008,28(3):206-210. (in Chinese)

[2] 李欣，李亮，何寧，等.時滯效應(yīng)對銑削系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響[J]. 振動、測試與診斷, 2014,34(2):301-305.

Li Xin, Li Liang, He Ning, et al. Influence of delay time on milling system stability[J]. Journal of Vibration, Measurement& Diagnosis, 2014,34(2):301-305. (in Chinese)

[3] 劉強, 李忠群. 數(shù)控銑削加工過程仿真與優(yōu)化-建模、算法與工程應(yīng)用[M].北京:航空工業(yè)出版社, 2011:157-184.

[4] Al-Zaharnah I T. Suppressing vibrations of machining processes in both feed and radial directions using an optimal control strategy: The case of interrupted cutting[J]. Journal of Materials Processing Technology, 2006,172(2):305-310.

[5] Wan Min, Zhang Weihong, Qin Guohua, et al. Strategies for error prediction and error control in peripheral milling of thin-walled workpiece[J].International Journal of Machine Tools & Manufacture, 2008,48(12):1366-1374.

[6] Zhang Xiaoming, Ding Han. Note on a novel method for machining parameters optimization in a chatter-free milling process[J]. International Journal of Machine Tools & Manufacture, 2013,72(9):11-15.

[7] Iglesias A, Munoa J, Ciurana J. Optimization of face milling operations with structural chatter using a stability model based process planning methodology[J].International Journal of Advanced Manufacture Technology, 2014,70(3):559-571.

[8] Graham E, Mehrpouya M, Park S S. Robust Prediction of chatter stability in milling based on the analytical chatter stability[J]. Journal of Manufacturing Processes, 2013,15(4):508-517.

[9] Zulaika J J, Campa F J, LNLD de Lacalle. An integrated process machine approach for designing productive and lightweight milling machines[J]. International Journal of Machine Tools & Manufacture，2011,51(7-8):591-604.

[10]Altintas Y, Budak E. Analytical prediction of stability lobes in milling[J]. Annals of Interatonal Institution for Production Engineering Research, 1995,44(1):357-362.

[11]Altintas Y. Analytical prediction of three dimensional chatter stability in milling[J]. International Journal of Mechanical Engineering, Series C,2001, 44(3):717-723.

[12]王先逵，艾興.機械加工工藝手冊(第1卷):工藝基礎(chǔ)卷[M].2版.北京:機械工業(yè)出版社, 2007:78-81.

10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2016.05.014

國家自然科學基金資助項目(51565030)；甘肅省高等學?？蒲匈Y助項目(2015B-032);國家科技重大專項課題資助項目(2015ZX04010-011)

2014-11-12；

2015-04-13

TG502.12; TP391.72; TH113.1

黃華，男，1978年8月生,博士、副教授。主要研究方向為機床動力學和機械產(chǎn)品數(shù)字化設(shè)計。曾發(fā)表《面向加工中心的加工方案優(yōu)化技術(shù)研究》(《同濟大學學報》2010年第38卷第1期)等論文。

E-mail：hh318872@126.com