數(shù)字圖像的逆濾波復(fù)原

陳華玲，馮 桂，寥家亮

（華僑大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，福建 泉州 362021）

1 引言

在各類圖像系統(tǒng)中，由于圖像的傳送和轉(zhuǎn)換，如成像、復(fù)制、掃描、傳輸、顯示等，總要造成圖像的降質(zhì)[1]，典型表現(xiàn)為圖像模糊、失真、有噪聲等，這一過(guò)程稱為圖像的退化。相反的，將圖像退化的過(guò)程模型化，并據(jù)此采取相反的過(guò)程以求得原始（清晰）圖像即為圖像復(fù)原技術(shù)。圖像復(fù)原的質(zhì)量和可靠性通常依賴于對(duì)圖像退化信息了解的確切程度。所以模糊圖像復(fù)原一般分為兩個(gè)步驟：一是通過(guò)系統(tǒng)辨識(shí)方法求解退化函數(shù)（PSF），二是采取相應(yīng)算法由退化圖像和退化函數(shù)復(fù)原出原始圖像。

系統(tǒng)辨識(shí)方法通常有測(cè)試靶方法、互相關(guān)方法和圖像辨識(shí)系統(tǒng)方法[2]。前兩種方法適用于手頭有一套攝像系統(tǒng)，對(duì)系統(tǒng)輸入的一些特殊信號(hào)得到輸出，然后根據(jù)輸入和輸出計(jì)算系統(tǒng)傳遞函數(shù)，即PSF。后一種方法則試圖根據(jù)退化圖像本身來(lái)確定退化的PSF。筆者從離焦模糊和運(yùn)動(dòng)模糊產(chǎn)生的原因出發(fā)，結(jié)合模糊圖像與頻譜圖的對(duì)應(yīng)關(guān)系，應(yīng)用Hough變換估計(jì)出退化參數(shù)，然后利用逆濾波方法對(duì)模糊圖像進(jìn)行復(fù)原。

2 逆濾波復(fù)原原理

原始圖像 f（x，y）經(jīng)過(guò)一個(gè)算子或者系統(tǒng) h（x，y）作用后，與噪聲 n（x，y）疊加而形成觀察到的退化圖像 g（x，y）[3]。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式中：h（x，y）是一個(gè)綜合了所有退化因素的函數(shù)。式（1）對(duì)應(yīng)的頻域表達(dá)式為

由式（2）可以得到

將 F（u，v）進(jìn)行傅立葉逆變換得到的 f′（x，y）即為原始圖像的最佳估計(jì)。這個(gè)過(guò)程就是逆濾波的基本原理。在不考慮噪聲的情況下，g（x，y）=f（x，y）*h（x，y），則有

由式（4）可見，如果 H（u，v）在 uv 平面上取零或者很小，就會(huì)帶來(lái)計(jì)算上的困難，使復(fù)原結(jié)果與預(yù)期結(jié)果有很大差距。一般情況下，逆濾波器并不正好是1/H（u，v），而是 u 和 v的某個(gè)函數(shù)，可記為 M（u，v）。 M（u，v）常稱為復(fù)原轉(zhuǎn)移函數(shù)或處理傳遞函數(shù)。通常取M（u，v）為

式中：w0的選取原則是將H（u，v）為零的點(diǎn)除去。這種方法使得復(fù)原結(jié)果的振鈴效應(yīng)較明顯。改進(jìn)的方法是取M（u，v）為

式中：k和d均為小于1的常數(shù)，而且d選得較小為好。

3 模糊原理及參數(shù)估計(jì)

3.1 離焦模糊圖像模型

在幾何光學(xué)條件下，對(duì)于線性移不變成像系統(tǒng)，離焦模糊圖像的退化模型可以抽象為一圓盤函數(shù)[4]

式中：r為退化模型唯一的模糊參數(shù)，是待求參數(shù)。對(duì)應(yīng)的離散傅立葉變換可表示為[5]

式中：Jl[]表示一階第一類貝塞爾（Bessel）函數(shù)，M和N為二維傅立葉變換尺寸。由一階第一類貝塞爾函數(shù)的性質(zhì)可知，Hr（u，v）在頻率域的第一個(gè)暗環(huán)（零點(diǎn)）的軌跡為

根據(jù)式（9），可以由離焦模糊圖像的二維傅立葉變換頻譜圖G（u，v）的第一個(gè)暗環(huán)（零點(diǎn)）所對(duì)應(yīng)的空間頻率u和v 求出模糊半徑 r，從而求出點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù) hr（x，y）和 Hr（u，v）。

3.2 運(yùn)動(dòng)模糊圖像模型

對(duì)勻速運(yùn)動(dòng)模糊圖像來(lái)說(shuō)，設(shè)物體沿水平方向移動(dòng)了d個(gè)像素，則退化模型可以描述為[6]

式（10）對(duì)應(yīng)的離散傅立葉變換可表示為[7]

Hd（u，v）的頻譜幅值為。 由此可知，的零點(diǎn)位置分布在1/d的倍數(shù)處。零點(diǎn)所在頻譜圖像上體現(xiàn)為暗條紋，而曲線包絡(luò)的峰值點(diǎn)在頻譜圖像上體現(xiàn)為亮條紋。因此，只要求出條紋間距D，根據(jù)式（11）計(jì)算相移量 d，點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù) Hd（x，y）和Hd（u，v）也就確定。

3.3 參數(shù)估計(jì)

對(duì)退化圖像做二維傅立葉變換得到退化圖像頻譜圖，再通過(guò)霍夫變換求取暗環(huán)半徑及條紋間距。求取暗環(huán)半徑過(guò)程如下:

1）對(duì)頻譜圖進(jìn)行邊緣檢測(cè)得到邊緣圖像。

2）根據(jù)先驗(yàn)知識(shí)，分別確定第一暗環(huán)半徑范圍，從而減小搜索半徑。

3）圓的參數(shù)方程可寫為：a=x-rcos θ，b=y-rsin θ。 將邊緣點(diǎn)代入式中求出參數(shù)（a，b）之值。由于圓心位于圖像中間區(qū)域的某個(gè)范圍，因此如果（a，b）位于這一范圍，則將相應(yīng)的累加陣 H（a，b，r）中的元素加 1，否則加 0。

4）找出 H（a，b，r）中元素的最大值，即是對(duì)應(yīng)半徑為r，圓心為（a，b）的暗環(huán)。

求取條紋間距過(guò)程與暗環(huán)半徑相似，不同的是直線參數(shù)方程表示為ρ=xcos θ+ysin θ。對(duì)檢測(cè)到的直線求取出直線間距，再利用公式（9）和（11）算出模糊半徑與相移量。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

選用256×256的Lena圖像作為原始圖像，利用Hough變換在頻率域上估計(jì)退化參數(shù)，采用改進(jìn)的逆濾波器對(duì)模糊圖像進(jìn)行復(fù)原。表1與表2分別是利用Hough變換求取的暗環(huán)半徑和條紋間隔同實(shí)際大小的比較，可見，結(jié)果與真實(shí)值比較接近。圖1是模糊半徑為5及相移量為15的逆濾波復(fù)原結(jié)果。

表1 利用Hough變換求取的暗環(huán)半徑同實(shí)際大小的比較

表2 利用Hough變換求取條紋間隔同實(shí)際大小的比較

圖1 Lena圖像實(shí)驗(yàn)結(jié)果

圖像的復(fù)原效果比較好，不過(guò)在圖像中仍然存在一些振鈴波紋，可采用巴特沃斯低通濾波器等對(duì)圖像進(jìn)行處理，從而減小振鈴波紋現(xiàn)象。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，改進(jìn)的逆濾波器簡(jiǎn)單易實(shí)現(xiàn)，復(fù)原結(jié)果較好。但Hough變換估計(jì)退化參數(shù)的準(zhǔn)確性有待進(jìn)一步提高。

5 小結(jié)

數(shù)字圖像復(fù)原是圖像處理中的一項(xiàng)重要技術(shù)。筆者采用改進(jìn)的逆濾波器，避免了一般逆濾波器的普遍病態(tài)性，算法簡(jiǎn)單易實(shí)現(xiàn)，且計(jì)算運(yùn)行時(shí)間少。實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明了該方法的可行性和有效性，適用于模糊圖像的快速?gòu)?fù)原。

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