鐵路線路的歸一化放樣

姜晨光 路 奎 林長(zhǎng)勝 蔡香玲 楊英姿 朱燁昕

(1.江南大學(xué)環(huán)境與土木工程學(xué)院,江蘇無(wú)錫 214122；2.山東省國(guó)土測(cè)繪院,山東濟(jì)南 250013；3.煙臺(tái)建設(shè)集團(tuán)鋼結(jié)構(gòu)有限公司,山東煙臺(tái) 264003；4.文登市建設(shè)局,山東文登 264400；5.山東宜華咨詢有限公司,山東威海 264200；6.無(wú)錫市建設(shè)局,江蘇無(wú)錫 214031)

1 概述

鐵路軌道幾何形位的科學(xué)性與準(zhǔn)確性是確保鐵路列車行車安全的關(guān)鍵之一,要確保鐵路軌道幾何形位的準(zhǔn)確性就必須依靠精細(xì)、高精度的測(cè)量技術(shù)。鐵路軌道幾何形位的基本要素包括軌距、水平、前后高低、軌向、軌底坡、曲線軌距加寬、曲線外軌超高、緩和曲線、限制坡度、豎曲線等。軌道的幾何形位應(yīng)按靜態(tài)與動(dòng)態(tài)兩種狀況進(jìn)行管理。靜態(tài)幾何形位是軌道不行車時(shí)的狀態(tài),采用道尺等工具進(jìn)行測(cè)量。動(dòng)態(tài)幾何形位是行車條件下的軌道狀態(tài),采用軌道檢查車進(jìn)行測(cè)量。曲線軌距加寬(高速鐵路一般不加寬)的方法是將曲線軌道內(nèi)軌向曲線中心(圓心)方向移動(dòng),曲線外軌的位置則保持與軌道中心半個(gè)軌距的距離不變。曲線軌距的加寬值與機(jī)車車輛轉(zhuǎn)向架在曲線上的幾何位置有關(guān)。外軌超高度是指曲線外軌頂面與內(nèi)軌頂面水平高度之差。鐵路緩和曲線及圓曲線的準(zhǔn)確定位是鐵路軌道幾何形位確定中的關(guān)鍵工作,鐵路緩和曲線及圓曲線通常會(huì)給出曲線方程式,這些曲線方程式采用的都是數(shù)學(xué)坐標(biāo)系坐標(biāo)(比如圓曲線方程式以圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)、緩和曲線方程式以曲線起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)),而鐵路測(cè)量與放樣時(shí)采用的是國(guó)家坐標(biāo)系,故傳統(tǒng)的緩和曲線及圓曲線放樣方法是先確定曲線的起點(diǎn)、再按偏角法或切線支距法或弦線支距法或直角坐標(biāo)法編制放樣數(shù)據(jù)表、然后再按與數(shù)據(jù)表對(duì)應(yīng)的方法進(jìn)行放樣。

傳統(tǒng)的緩和曲線及圓曲線放樣方法具有速度慢、效率低、精度不高、過(guò)程繁瑣等諸多弱點(diǎn),可否實(shí)現(xiàn)緩和曲線及圓曲線的精準(zhǔn)快速放樣,筆者及項(xiàng)目組在實(shí)踐的基礎(chǔ)上提出了鐵路線路歸一化放樣的思想,并在實(shí)際應(yīng)用中取得了良好的效果,在此做一介紹。

2 鐵路緩和曲線及圓曲線的基本特征

緩和曲線是設(shè)置在直線和圓曲線之間或半徑相差較大的兩個(gè)轉(zhuǎn)向相同的圓曲線之間的一種曲率連續(xù)變化的曲線。緩和曲線的作用是曲率連續(xù)變化、便于車輛遵循,離心加速度逐漸變化滿足旅客舒適要求；超高橫坡度及加寬逐漸變化使行車更加平穩(wěn),與圓曲線協(xié)調(diào)配合增加了線形的美觀度。對(duì)緩和曲線的基本要求是可行性好、緩和性好、計(jì)算方便且公式簡(jiǎn)單(便于在設(shè)計(jì)、施工中使用)。鐵路設(shè)置緩和曲線的目的是在曲線到直線、直線到曲線上,為使作用力不突變(平面上),平面曲線曲率 ρ應(yīng)由∞→R；同時(shí),使超高h(yuǎn)在緩和曲線上逐步完成長(zhǎng)度要求,其中L0為緩和曲線長(zhǎng)度。緩和曲線的主要形式有三次拋物線、高次拋物線(4,5,7次拋物線)、三角函數(shù)線、雙紐線、回旋線、等。

2.1 回旋線

回旋線(見圖1)是曲率隨著曲線長(zhǎng)度成比例變化的曲線,其基本公式為

式(1)中,r為任意點(diǎn)曲率半徑/m；l為起點(diǎn)到任一點(diǎn)的曲線長(zhǎng)/m；A為長(zhǎng)度量綱。r、l稱回旋線參數(shù),它表示回旋線曲率變化的緩急程度。在緩和曲線終點(diǎn)處 l=L0、r=R,因此,有

回旋線的性質(zhì)可概括為4點(diǎn),即曲率按線形函數(shù)增大k=1/r=l/A2(A越大、曲率k越小、回旋線變化越慢；A越小、曲率k越大、回旋線變化越快)；所有回旋線都是幾何相似的；切線角 β與曲線長(zhǎng)l的平方成正比；極角 δ近似為 β/3。

圖1 回旋線及其各相關(guān)要素

2.2 三次拋物線

三次拋物線的形式為

三次拋物線用作緩和曲線只能在 β≤24°的條件下使用。由于緩和曲線長(zhǎng)度的確定主要考慮安全和舒適2個(gè)因素,因此,高速鐵路線路緩和曲線的設(shè)置條件是L0應(yīng)足夠長(zhǎng),順坡兩端要圓順,要保證緩和曲線的曲率變化率為常量?，F(xiàn)在,我國(guó)采用圓曲線來(lái)過(guò)渡,緩和曲線的曲率半徑變化率c為

式(4)中,L0為緩和曲線的長(zhǎng)度,R為圓曲線半徑。

我國(guó)高速鐵路線路最小曲線半徑取50 m的整倍數(shù),新建客運(yùn)專線不同速度下的推薦圓曲線半徑見表1?？瓦\(yùn)專線線路的夾直線、圓曲線最小長(zhǎng)度見表2(其中vmax為火車最大運(yùn)行速度)。另外,鐵路通過(guò)設(shè)置豎曲線以限制向上的離心加速度,客運(yùn)專線不同速度下的最小豎曲線半徑見表3,考慮運(yùn)行安全性要求的豎曲線半徑見表4,應(yīng)用時(shí)一般綜合表3和表4數(shù)值(即取2表中相應(yīng)的大值)。

表1 客運(yùn)專線不同速度下的圓曲線半徑

表2 客運(yùn)專線線路夾直線、圓曲線最小長(zhǎng)度

表3 客運(yùn)專線不同速度下的最小豎曲線

表4 考慮運(yùn)行安全性要求的豎曲線半徑

2.3 不同類型緩和曲線的特點(diǎn)

雙紐線(方程式為r=c/a)在極角為45°時(shí)曲率半徑最小,此后半徑增大至原點(diǎn),全程轉(zhuǎn)角達(dá)到270°?；匦€、三次拋物線和雙紐線在極角較小(5°～6°)時(shí)幾乎沒有多少差別。隨著極角的增加,三次拋物線的長(zhǎng)度比雙紐線的長(zhǎng)度增加得快些,而雙紐線的長(zhǎng)度又比回旋線的長(zhǎng)度增加得快些?；匦€的曲率半徑減小得最快,而三次拋物線則減小最慢。從保證火車平順過(guò)渡的角度看,三種曲線都可以作為緩和曲線。目前我國(guó)鐵路采用三次拋物線。

3 鐵路線路的歸一化放樣方法

鐵路線路歸一化放樣方法實(shí)現(xiàn)的前提是將鐵路線路設(shè)計(jì)中所有的非國(guó)家坐標(biāo)系統(tǒng)的線路坐標(biāo)(比如鐵路圓曲線以圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)的坐標(biāo)系統(tǒng)、緩和曲線以曲線起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)的坐標(biāo)系統(tǒng)等)轉(zhuǎn)換為國(guó)家坐標(biāo)(高斯坐標(biāo))。假設(shè)某點(diǎn)的非國(guó)家坐標(biāo)系統(tǒng)線路坐標(biāo)為X′、Y′,該點(diǎn)在國(guó)家坐標(biāo)系統(tǒng)中的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)為 X、Y,則其坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模式為

式(5)中,ΔX0、ΔY0、m 、θ,分別為 2 個(gè)平面坐標(biāo)系間的平移、尺度、旋轉(zhuǎn)參數(shù),總稱為平面轉(zhuǎn)換四參數(shù)。不難看出,要求出平面轉(zhuǎn)換四參數(shù)至少需要2個(gè)公共點(diǎn)。即先根據(jù)鐵路線路設(shè)計(jì)圖(CAD圖)獲得非國(guó)家坐標(biāo)系統(tǒng)線路坐標(biāo)中2個(gè)線路點(diǎn)的國(guó)家坐標(biāo)(可在設(shè)計(jì)圖上直接獲得,也可利用Auto CAD的ID命令捕捉獲得,2個(gè)線路點(diǎn)一般應(yīng)為曲線的起終點(diǎn)或應(yīng)相距盡可能地遠(yuǎn))Xi、Yi,然后再根據(jù)2個(gè)線路點(diǎn)的線路設(shè)計(jì)坐標(biāo)(即非國(guó)家坐標(biāo)系統(tǒng)坐標(biāo)或數(shù)學(xué)坐標(biāo))Xi′、Yi′借助式(5)即可求出平面轉(zhuǎn)換四參數(shù),進(jìn)而可將該非國(guó)家坐標(biāo)系統(tǒng)線路坐標(biāo)中各個(gè)線路點(diǎn)的設(shè)計(jì)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為國(guó)家坐標(biāo),然后就可利用鐵路線路測(cè)量控制網(wǎng)中的控制點(diǎn)對(duì)所有的非國(guó)家坐標(biāo)系統(tǒng)的線路設(shè)計(jì)點(diǎn)進(jìn)行放樣(采用電子全站儀或 GPS)從而摒棄傳統(tǒng)的放樣方法。

由于鐵路線路一般很長(zhǎng),?？缭饺舾蓚€(gè)高斯投影帶,因此,坐標(biāo)換帶就成了必須重視的工作。另外,當(dāng)線路點(diǎn)放樣精度要求較高且高斯投影變形又較大時(shí),還應(yīng)移動(dòng)中央子午線位置以建立獨(dú)立的工程放樣控制網(wǎng)(比如特大橋控制網(wǎng))。同時(shí),采用GPS放樣時(shí)還存在GPS坐標(biāo)與國(guó)家坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換問題及GPS高程與正常高的轉(zhuǎn)換問題。上述種種情況決定了鐵路線路歸一化放樣過(guò)程中必須熟悉大地坐標(biāo)與高斯坐標(biāo)間的相互轉(zhuǎn)換、GPS坐標(biāo)與國(guó)家大地坐標(biāo)間的相互轉(zhuǎn)換以及坐標(biāo)換帶等基本理論并采用高精度的轉(zhuǎn)換方法。要實(shí)現(xiàn)上述高精度轉(zhuǎn)換,筆者建議采用以下公式。

圖2 GPS坐標(biāo)與國(guó)家大地坐標(biāo)間的關(guān)系

3.1 GPS坐標(biāo)與國(guó)家大地坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換

如圖2,GPS測(cè)量的坐標(biāo)系是世界大地坐標(biāo)系即WGS-84坐標(biāo)系,而我國(guó)目前常見的三維坐標(biāo)系為1954北京坐標(biāo)系及1956黃海高程系,或1980國(guó)家大地坐標(biāo)系及1985國(guó)家高程基準(zhǔn)以及2000國(guó)家大地坐標(biāo)系,故必須對(duì)GPS測(cè)量的三維定位成果必須進(jìn)行換算,才能滿足鐵路測(cè)量的實(shí)際需要。GPS坐標(biāo)與國(guó)家大地坐標(biāo)間的轉(zhuǎn)換至少采用七參數(shù)轉(zhuǎn)換法,七參數(shù)轉(zhuǎn)換法需轉(zhuǎn)換區(qū)域內(nèi)至少有3個(gè)已知國(guó)家坐標(biāo)的控制點(diǎn)(3個(gè)已知控制點(diǎn)應(yīng)均勻分布在轉(zhuǎn)換區(qū)域的邊緣附近),在這些國(guó)家控制點(diǎn)上獲取載波相位靜態(tài)觀測(cè)1～2 h的WGS-84系坐標(biāo)(X,Y,Z)成果,再根據(jù)數(shù)學(xué)模型(見式(6))解算出七個(gè)轉(zhuǎn)換參數(shù),然后即可對(duì)該轉(zhuǎn)換區(qū)域內(nèi)所有的點(diǎn)進(jìn)行2個(gè)不同坐標(biāo)系間坐標(biāo)的相互轉(zhuǎn)換。

式(6)中,Xi、Yi、Zi為國(guó)家坐標(biāo)系的三維空間直角坐標(biāo)；X、Y、Z為GPS的WGS-84系三維空間直角坐標(biāo)；ΔX、ΔY、ΔZ為兩坐標(biāo)原點(diǎn)間的平移參數(shù)(或叫原點(diǎn)距 )；K 為兩坐標(biāo)系間的尺度比；εx、εy、εz為兩坐標(biāo)系坐標(biāo)軸間的旋轉(zhuǎn)角(旋轉(zhuǎn)參數(shù))。

3.2 GPS高程與國(guó)家高程的轉(zhuǎn)換

GPS高程是基于WGS-84橢球的大地高高程(簡(jiǎn)稱大地高),我國(guó)采用的高程系統(tǒng)則為正常高。GPS大地高是由地面點(diǎn)沿法線到WGS-84橢球體面的距離,正常高是地面點(diǎn)沿鉛垂線到似大地水準(zhǔn)面的距離。將GPS測(cè)定的大地高轉(zhuǎn)為正常高的關(guān)鍵是求取大地高H與正常高h(yuǎn)間的差值(即高程異常值 ξ)。其高程轉(zhuǎn)換的基本數(shù)學(xué)模型為

推算 ξ值的方法很多,常用的有GPS水準(zhǔn)高程法和GPS重力高程法等。GPS水準(zhǔn)高程方法又可分為平面擬合法、二次曲面擬合法、多面函數(shù)法、樣條函數(shù)法等。GPS重力高程方法則包括地球重力場(chǎng)模型法、重力場(chǎng)模型與GPS水準(zhǔn)結(jié)合法、地形改正法等。具體應(yīng)根據(jù)工區(qū)范圍大小及地形條件(比如平地、丘陵地、山地或高山地、等)選擇相應(yīng)的有效方法。實(shí)踐證明,在局部GPS網(wǎng)中宜采用GPS水準(zhǔn)高程擬合法(100 km2以內(nèi)平坦地區(qū)平面擬合法的擬合精度優(yōu)于4cm),在高程異常變化有規(guī)律的地區(qū)且已有控制點(diǎn)分布較均勻的情況下宜用二次曲面擬合法或高次多項(xiàng)式曲面擬合法(擬合精度可優(yōu)于3 cm),大區(qū)域宜用重力場(chǎng)模型與GPS水準(zhǔn)相結(jié)合的方法。

(1)平面擬合法

平面擬合法基本公式為

式(8)中,ξi為已知的某公共點(diǎn)(同時(shí)具有GPS大地高和國(guó)家高程的點(diǎn))高程異常；xi、yi為某已知公共點(diǎn)相應(yīng)的平面直角坐標(biāo)；a1、a2、a3為待求的模型參數(shù)。當(dāng)已知公共點(diǎn)為3時(shí)可直接求出a1、a2、a3值,若公共點(diǎn)的數(shù)目大于3則應(yīng)采用最小二乘法解算a1、a2、a3,其相應(yīng)誤差方程式為

用矩陣的形式則可表示為根據(jù)最小二乘原理可求得

(2)二次曲面擬合法

二次曲面擬合法的基本公式為

式(12)中 ,a0、a1、a2、a3、a4、a5為模型待定參數(shù) ,不難理解,轉(zhuǎn)換區(qū)域內(nèi)至少應(yīng)有6個(gè)公共點(diǎn)。當(dāng)公共點(diǎn)多于6個(gè)時(shí),仍應(yīng)組成誤差方程(見式(10))按最小二乘原理求解轉(zhuǎn)換參數(shù) a0、a1、a2、a3、a4、a5。此時(shí)式(10)中的 X 、A 為

(3)高次多項(xiàng)式曲面擬合

高次多項(xiàng)式曲面擬合是二次曲面擬合法進(jìn)一步擴(kuò)展的結(jié)果,此時(shí)的數(shù)學(xué)模型為

顯然,式(13)的誤差方程矩陣式仍可參照式(10)擴(kuò)展列出。

(4)地球重力場(chǎng)模型與GPS水準(zhǔn)結(jié)合法

方法的實(shí)質(zhì)是在GPS水準(zhǔn)點(diǎn)上,將由GPS大地高和水準(zhǔn)正常高求得的高程異常 ξi與由重力場(chǎng)模型求得的高程異常 ξmi進(jìn)行比較,求出其差值 δξi,即

然后再采用二次曲面擬合方法,由已知點(diǎn)的平面坐標(biāo)(xi,yi)和 δξi推求其他點(diǎn) K上的 δξk,進(jìn)而可計(jì)算出待測(cè)點(diǎn)的正常高HK,計(jì)算公式為

3.3 大地坐標(biāo)(B,L)轉(zhuǎn)換為高斯平面直角坐標(biāo)(X,Y)

換算數(shù)學(xué)模型(即高斯投影正算公式)為

式(17)中,B為投影點(diǎn)的大地緯度；l=L-L0(L為投影點(diǎn)的大地經(jīng)度,L0為軸子午線(中央子午線)的大地經(jīng)度)；N為投影點(diǎn)的卯酉圈曲率半徑；t=tan B；η=e′cos B(e′為橢球第二偏心率 ,e′2=(a2-b2)/b2,a 、b分別為參考橢球的長(zhǎng)、短半徑)。當(dāng)l=0時(shí),X0為從赤道起算的子午線弧長(zhǎng),其計(jì)算公式為

式(18)中 ,K0、K2、K4、K6、K8為系數(shù) ,其中

式(19)～式(23)中,e為橢球第一偏心率,e2=(a2-b2)/a2。

3.4 高斯平面直角坐標(biāo)(X,Y)換算地理坐標(biāo)(B,L)

換算的數(shù)學(xué)模型(即高斯投影反算公式)為

式(24)中,Bf為投影點(diǎn)的緯度(或稱底點(diǎn)緯度),其計(jì)算公式為

式(25)中,B0=X/[a(1-e2)A0](X為y=0時(shí)對(duì)應(yīng)的子午線弧長(zhǎng))；Ka、Kb、Kc、Kd的計(jì)算公式為

第一基本緯度函數(shù)W=(1-e2sin2B)1/2、第二基本緯度函數(shù)為 V=(1+e′2cos2B)1/2、B為大地緯度；子午圈曲率半徑為M=a(1-e2)/W3=c/V3；卯酉圈曲率半徑為N=a/W=c/V；平均曲率半徑為Rm=(MN)1/2=c/V2；任意方向法截弧的曲率半徑為 RA=Rm-[Rme′2cos B cos(2A)]/2=Rm+Δ(其中 A 為任意方向的方位角 ,Δ=-[Rme′2cos B cos(2A)]/2)。

3.5 坐標(biāo)換帶

換帶的數(shù)學(xué)模型分2種情況,當(dāng) Δy1≤60 km時(shí)計(jì)算公式為

當(dāng) Δy1＞60 km時(shí)計(jì)算公式為

應(yīng)用式(30)、(31)時(shí),x1、y1為換帶前的已知坐標(biāo),x2、y2為換帶后的坐標(biāo),由西帶向東帶換帶時(shí)y2取負(fù)值,由東帶向西帶換帶時(shí)y2取正值。式(30)、(31)中,y0恒取正值；Δy1=±y1-y0(西帶換至東帶時(shí)y1前取 +號(hào)、東帶換至西帶時(shí) y1前取取 -號(hào))；δx=(4 γ0)-D sin(4 γ0)；m3=[5y0sin(2 γ0)]/(8R)；n=-

4 結(jié)束語(yǔ)

本文提出的鐵路線路歸一化放樣方法可極大地簡(jiǎn)化鐵路線路放樣的過(guò)程,提高鐵路放樣的精度,為現(xiàn)代化測(cè)繪儀器(比如GPS、電子全站儀)在鐵路線路放樣中的便利應(yīng)用奠定堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ),符合現(xiàn)代化放樣的歷史潮流。在應(yīng)用本文所述方法時(shí)一定要分清各種各樣坐標(biāo)系統(tǒng)、高程系統(tǒng)的特點(diǎn)及相互關(guān)系,一定要認(rèn)真仔細(xì)地進(jìn)行不同坐標(biāo)系統(tǒng)、不同高程系統(tǒng)間的歸一化轉(zhuǎn)換,同時(shí)應(yīng)注意滿足鐵路放樣中的精度要求,為鐵路的高標(biāo)準(zhǔn)、高質(zhì)量建設(shè)提供優(yōu)質(zhì)的測(cè)繪保障。

注：本研究項(xiàng)目得到國(guó)家自然科學(xué)基金(79160173)的支持,在此表示感謝！

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