分層粗糙面下方介質(zhì)目標(biāo)散射的快速算法

姬偉杰 童創(chuàng)明,2

(1.空軍工程大學(xué)導(dǎo)彈學(xué)院,陜西 三原 713800;2.毫米波國家重點實驗室,江蘇 南京 210096)

1.引 言

目標(biāo)與地、海背景的復(fù)合電磁散射研究在現(xiàn)代雷達(dá)探測、海洋遙感和目標(biāo)隱身技術(shù)中有著重要的意義,該研究一直是電磁散射領(lǐng)域較為復(fù)雜的課題,引起了諸多學(xué)者的興趣[1-13]。例如：文獻(xiàn)[1]中計算了無限大介質(zhì)平板上介質(zhì)目標(biāo)的電磁散射,文獻(xiàn)[2]中運(yùn)用FBM/SAA研究了低掠角入射時一維分形粗糙面和二維艦船目標(biāo)的雙站散射,而WANG X等用傳統(tǒng)矩量法研究了一維粗糙面目標(biāo)的復(fù)合散射[3],YE等研究了一維粗糙面與上方金屬目標(biāo)的差場散射截面[4],同時研究了計算三維目標(biāo)和粗糙面的數(shù)值-解析混合算法[5]。王運(yùn)華等基于互易定理和矩量法研究了平面上方二維介質(zhì)目標(biāo)對高斯波束的電磁散射[6],王蕊等也研究了一維海洋粗糙面上方金屬目標(biāo)的混合算法[7]。然而,大多數(shù)學(xué)者都只研究單層粗糙面和目標(biāo)的復(fù)合散射,只有少數(shù)學(xué)者研究了分層粗糙面和目標(biāo)的復(fù)合散射。文獻(xiàn)[8]中,KUO等應(yīng)用周期擴(kuò)展法(EBCM)計算了一維分層粗糙面與下方目標(biāo)的復(fù)合電磁散射。文獻(xiàn)[10]中,CHEW W C等研究了分界面是平面的分層媒質(zhì)上方目標(biāo)的散射。然而,上述算法受粗糙面與目標(biāo)參數(shù)的限制,只適用于計算粗糙度較小的粗糙面和電小尺寸目標(biāo)的復(fù)合散射。同時,上述研究都將目標(biāo)和分層目標(biāo)一起看成一個組合散射體,電磁表面積分方程離散后產(chǎn)生了巨大的未知量,對計算機(jī)硬件和編程提出了很高的要求,很大程度上限制了數(shù)值算法的應(yīng)用。

在分層粗糙面與目標(biāo)的復(fù)合散射計算中,粗糙面的未知量占絕大部分,因此,如何快速計算分層粗糙面的電磁散射顯得尤為重要。近年來發(fā)展的前后向迭代法(FBM)[14]非常適合于計算粗糙面這類散射問題,在文獻(xiàn)[15]中,MOSS C D等進(jìn)一步將其應(yīng)用于計算分層粗糙面的電磁散射特性,該方法對不同參數(shù)的分層粗糙面都具有良好的收斂性和準(zhǔn)確性。

基于分層粗糙面與目標(biāo)復(fù)合散射的物理機(jī)理,結(jié)合FBM和雙共軛梯度算法(Bi-CG),提出一種計算一維分層介質(zhì)粗糙面及下方介質(zhì)目標(biāo)的復(fù)合電磁散射的快速互耦迭代數(shù)值算法(CCIA)。推導(dǎo)了目標(biāo)與分層粗糙面的耦合邊界積分方程,分層粗糙面部分的邊界方程用FBM求解,目標(biāo)的邊界方程用Bi-CG求解,粗糙面與目標(biāo)的相互作用通過不斷更新矩陣方程的激勵項來實現(xiàn)。該算法的計算量為O(N2),較之傳統(tǒng)矩量法計算效率大為提高。其計算結(jié)果與傳統(tǒng)矩量法得到的結(jié)果相一致,驗證了該方法的準(zhǔn)確性。最后,計算了粗糙度較大的分層粗糙面和電中尺寸介質(zhì)目標(biāo)的復(fù)合散射系數(shù),討論了目標(biāo)尺寸和位置變化對雙站散射系數(shù)的影響。

2.基本理論

2.1 一維分層粗糙面與下方介質(zhì)目標(biāo)的耦合邊界積分方程

考慮無限長介質(zhì)圓柱位于一維雙層介質(zhì)粗糙面下方,如圖1所示。為區(qū)域i中的介電常數(shù)和磁導(dǎo)率(i=0,1,2,3),其中,i=0表示分層粗糙面上方自由空間,i=1,2表示分層粗糙面下方介質(zhì)空間,i=3表示目標(biāo)所占區(qū)域。目標(biāo)表面用fc表示,粗糙面用(x)表示(i=1,2分別表示上層和下層粗糙面)。ψinc表示入射波,為區(qū)域i中的總場(i=0,1,2)。

圖1 雙層粗糙面下方介質(zhì)目標(biāo)的示意圖

根據(jù)文獻(xiàn)[15]-[16],沒有目標(biāo)時,分層粗糙面的邊界積分方程為

當(dāng)分層粗糙面下方存在介質(zhì)目標(biāo)時,方程(2)應(yīng)該為

上式左邊第三項表示目標(biāo)的散射場,且在目標(biāo)內(nèi)部有邊界積分方程

這樣,方程(1)、(3)、(4)和(5)共同構(gòu)成分層粗糙面與下方介質(zhì)目標(biāo)的耦合積分方程組。其中,r表示場點表示源點,gi(r,表示各區(qū)域的二維格林函數(shù)。表示第i個粗糙面的單位法向向量,方向朝上,表示目標(biāo)表面法向向量,方向由目標(biāo)內(nèi)向外。TE波粗糙面邊界條件為：介質(zhì)目標(biāo)的邊界條件為波的邊界條件可由二元性原理獲得。

用MoM求解分層粗糙面與介質(zhì)目標(biāo)復(fù)合電磁散射時,得到的阻抗矩陣大小完全取決于分層粗糙面的長度和目標(biāo)尺寸大小以及采樣點的多少。因此,對大尺寸分層粗糙面和目標(biāo),直接用傳統(tǒng)MoM求解,需要求解維數(shù)為4×N+2×M的線性方程組,當(dāng)粗糙面長度較大時,未知量往往成千上萬,要直接求解是比較困難的。鑒于此,本文提出一種互耦迭代算法求解分層粗糙面與目標(biāo)的復(fù)合電磁散射,該算法在考慮了分層粗糙面與目標(biāo)相互作用的基礎(chǔ)上,對分層粗糙面表面積分方程用FBM求解,對目標(biāo)表面積分方程用Bi-CG求解,通過迭代求解方程組。計算量和內(nèi)存減少為O(N2),很大程度上提高了計算效率,克服了傳統(tǒng)MoM的局限性。

2.2 互耦迭代算法(CCIA)

對方程(6)進(jìn)行整理,可以得到如下矩陣方程組

式中：(7a)表示的是求解分層粗糙面表面電流分布的矩陣方程,(7b)表示的是求解目標(biāo)面流分布的矩陣方程。其中,表示目標(biāo)對上層粗糙面的入射場貢獻(xiàn),ψ0為目標(biāo)對下層粗糙面入射場貢獻(xiàn),ψSur=-F(1)?U1-H(1)? ψ1-I(2)?U2-J(2)? ψ2,前兩項表示上層粗糙面對目標(biāo)的散射貢獻(xiàn),后兩項表示下層粗糙面對目標(biāo)的散射貢獻(xiàn)?？梢?對分層粗糙面不僅有上方入射波的照射,還有下方目標(biāo)對它的影響,對下方目標(biāo)的照射波為粗糙面的透射波,分層粗糙面與目標(biāo)的相互作用正是通過不斷更新右邊的激勵項來實現(xiàn)的。

對方程組(7)采用用迭代算法求解,第i步的迭代方程如下

采用FBM求解方程(8a),將各子矩陣分解為上、下和對角矩陣,分別用U、D和L表示。將未知向量分解為前后向分量,方程(8a)中前向電流迭代公式可寫為

用雙共軛梯度法(Bi-CG)解方程(8b),FBM和Bi-CG求解分別是循環(huán)迭代過程,稱為內(nèi)循環(huán),設(shè)其各自的收斂條件為誤差γ=10-4。而方程(8a)和(8b)的互耦迭代過程稱為外循環(huán),定義第i步外循環(huán)迭代誤差

3.數(shù)值結(jié)果的驗證和討論

為了盡量減少數(shù)值計算中粗糙面的人為截斷所引起的邊緣效應(yīng),一般選取具有一定寬度的錐形波代替平面波入射,本文采用Thorsos錐形波[17],即表達(dá)式為

圖2給出了外循環(huán)迭代誤差τ(i)隨外循環(huán)迭代步數(shù)的變化關(guān)系。由圖2可知,不論是 TE波還是TM波入射,在經(jīng)過15步迭代之后,誤差都達(dá)到10-7,遠(yuǎn)遠(yuǎn)滿足精度要求,同時可以看出,TM 波收斂速度更快,但精度有所降低,從圖2還可以看出,在經(jīng)過4步迭代之后,迭代誤差已經(jīng)達(dá)到10-3,因此,該算法的收斂速度是非常快的。

圖3給出了內(nèi)循環(huán)FBM的迭代步數(shù)隨外循環(huán)迭代步數(shù)的變化關(guān)系,由圖可知,經(jīng)過6步外循環(huán)迭代之后,FBM只需一次迭代即可,這與文獻(xiàn)[4]中計算單層粗糙面和上方金屬目標(biāo)的情況相似。由于FBM在整個計算過程中耗時最多,因此FBM迭代步數(shù)的減少大大提高了計算效率。

圖4是實現(xiàn)一次的雙站散射系數(shù),并與傳統(tǒng)矩量法結(jié)果進(jìn)行了比較,圖4(a)是TE波入射結(jié)果,圖4(b)是TM波入射結(jié)果。由圖可見,兩種方法的結(jié)果是相當(dāng)吻合的,從而驗證了該方法的正確性。本文計算結(jié)果是在主頻為1.65 GHz,內(nèi)存為1 GB的單機(jī)上實現(xiàn)的。TE波入射時,用互耦迭代算法實現(xiàn)一次需要145秒,而用傳統(tǒng)矩量法需要298秒,節(jié)省了約一半時間,當(dāng)粗糙面較長時這種優(yōu)勢更為明顯,體現(xiàn)了該算法在計算速度上的優(yōu)越性。

圖4 本文算法與傳統(tǒng)矩量法結(jié)果對比

其他參數(shù)不變,圓柱半徑取 2.5λ,與半徑為2.0λ的結(jié)果進(jìn)行比較。圖5是實現(xiàn)50次得到的雙站散射系數(shù),圖中還給出了只有分層粗糙面時的散射系數(shù)。由圖可知,隨著圓柱目標(biāo)半徑增大,目標(biāo)與上下層粗糙面的相互作用增強(qiáng),其對分層粗糙面的散射特性影響越明顯,雙站散射系數(shù)越大,垂直極化波入射時散射系數(shù)對目標(biāo)尺寸的變化更敏感。

取介質(zhì)目標(biāo)深度分別為2.5λ和3.5λ,其他參數(shù)固定,相應(yīng)的雙站散射系數(shù)見圖6。由圖可見,隨著目標(biāo)深度的增加,散射系數(shù)有所變化但不是很明顯,這與文獻(xiàn)[8]中的結(jié)論是一致的。這是因為目標(biāo)位于兩層分界面中間,隨著目標(biāo)深度的增加,目標(biāo)與上層粗糙面距離增大,而與下層粗糙面距離減小,因此目標(biāo)與上層粗糙面的相互耦合作用減弱,同時又與下層粗糙面的相互耦合作用增強(qiáng),因此總體上講,散射系數(shù)不會因為目標(biāo)深度的變化明顯增大或減小。同時可以發(fā)現(xiàn),與圖5類似,垂直極化波入射時雙站散射系數(shù)變化更為明顯。

4.結(jié) 論

提出了一種基于FBM和Bi-CG的互耦迭代算法(CCIA),并將該方法用于快速計算一維分層粗糙面與下方介質(zhì)目標(biāo)的復(fù)合電磁散射特性。計算了無限長介質(zhì)圓柱目標(biāo)位于雙層粗糙面之間時的雙站散射系數(shù),與用傳統(tǒng)矩量法所得的結(jié)果相吻合,驗證了該方法的正確性。對不同極化入射波該算法都具有良好的收斂性,最后討論了目標(biāo)尺寸和深度變化對散射系數(shù)的影響,結(jié)果表明,隨著尺寸增大,目標(biāo)與分層粗糙面的相互作用越強(qiáng),雙站散射系數(shù)變化越明顯,而目標(biāo)深度的變化對散射系數(shù)的影響不明顯。介質(zhì)目標(biāo)的存在明顯改變了分層粗糙面的散射特性,當(dāng)計算分層粗糙面與目標(biāo)的復(fù)合散射場時必需考慮兩者的相互作用。

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