一道電磁感應試題的剖析與解答

陳林橋

(江蘇省揚中市教研室,江蘇揚中 212200)

題目.如圖1所示,光滑斜面的傾角 α=30°,在斜面上放置一矩形線框abcd,bc邊的邊長l0=0.8 m,ab邊的邊長l1=1 m,線框的質量 M=4 kg,電阻 R=0.1 Ω,線框通過細線繞過光滑的定滑輪與重物相連,滑輪的質量不計,重物的質量m=1 kg,斜面上ef和gh線為斜面上有界勻強磁場的邊界,與斜面的底邊平行,ef和gh線的間距l(xiāng)2=1.8 m,磁場方向垂直于斜面向上,B=0.5 T,開始cd邊離gh邊的距離l=2.25 m,由靜止釋放,線框恰好能勻速穿過ef邊界,線框滑動過程中cd邊始終與底邊平行(設斜面足夠長,重物m不會與滑輪接觸,g取10 m/s2).求:

(1)線框cd邊剛進入磁場時速度的大小.

(2)線框進入磁場過程中通過線框的電荷量.

(3)線框進入磁場過程中在線框中產(chǎn)生的焦耳熱.

圖1

剖析:這是一道以線框與物塊構成的連接體通過斜面上某一磁場區(qū)域為背景的力電綜合題,著重考查了力的平衡、動能定理、功能轉化以及電磁感應定律、歐姆定律等相關的主干知識,從而有效地檢測了學生的綜合分析問題、解決問題的能力.題目的設問也很有梯度,試題的檢測功能也比較強大.正因為如此,此題被許多地方的考卷所采用.然而,殊不知,這道題目的“線框恰好能勻速穿過 ef邊界”這一條件是有問題的.

解析:(1)設 M下落高度H0=lsin30°=1.125 m,重物m上升的高度h0=l=2.25 m,則 M和m系統(tǒng)機械能守恒,則

代入數(shù)據(jù),得到線框剛進入磁場時的速度為

(2)設線框進入磁場的過程中產(chǎn)生的感應電流的平均值為ˉI,磁通量的變化量為ΔΦ=Bl0l1,變化的時間為Δt,平均感應電動勢為ˉE,通過線框的電荷量為 Q,則有

由(3)～(5)式,代入相關的數(shù)據(jù)得

(3)線框cd邊從開始切割磁感線到全部進入磁場以及線框cd邊從離開磁場僅有ab邊切割磁場直到整個線框離開磁場的過程中,線框abcd、輕繩和重物 m這一系統(tǒng)都遵循如下的規(guī)律.

由牛頓第二定律,得

即

為了討論問題的方便,設

代入相關的數(shù)據(jù),得到 a=2,b=0.5,于是(7)式變?yōu)?/p>

對此式積分

得到

從(9)式可以看出,線框的運動速度是隨時間的變化而變化,并不是一定值,因此,無論是線框進入磁場,還是線框離開磁場,都不可能做勻速直線運動,所以題設中“線框恰好能勻速穿過ef邊界”這個條件是不成立的,這道題的問題就出在這里.

只要將題目中“線框恰好能勻速穿過ef邊界”這段文字去掉,題設條件就自洽了,這道題目也就正確了.題目的第(1)問、第(2)問的解答仍然如上面的解答一樣,對于第(3)問,要在中學階段求解線框進入磁場過程中在線框中產(chǎn)生的焦耳熱還是相當困難的,而用高等數(shù)學的知識可以這樣求解:

將 a=2,b=0.5,以及 v0=3 m/s代入(9)式和(10)式得到

令 x=l0=0.8 m,代入(12)式,運用幾何畫板,可以解出時間 t≈0.26 s,再將 t=0.26 s代入(11)式,解得線框剛完全進入磁場時速度為v1=3.12 m/s,由功能關系得

由 H1=l0sinα,h1=l0代入相關的數(shù)值,解得

Q′=6.16 J.