時變β系數(shù)的卡爾曼濾波的仿真與估計

梅婷，李建勛

0 引言

β系數(shù)是度量證券系統(tǒng)風(fēng)險的一個重要指標(biāo),在經(jīng)典的金融分析中，CAMP中的β系數(shù)是假設(shè)不變的。大量的實證研究證明，β系數(shù)穩(wěn)定的假設(shè)在很多金融股市是無效的，如Australia[1]， UK[2]。Brooks[1]，Torben G.Andersen[3]等人的研究均支持β值不穩(wěn)定的觀點。隨著研究的深入，β的時變性得到廣泛的承認(rèn)。同樣國內(nèi)的文獻(xiàn),如李云翼[4]均表明了β的時變性；王春峰、張亞楠、房振明和李曄[5]，吳武清、陳敏和劉偉[6]等支持β的時變性，并對時變CAMP下的理論模型進(jìn)行建模研究。從直觀上判斷，宏觀經(jīng)濟(jì)因素、行業(yè)特征、企業(yè)自身的因素都會影響β值的變化，換而言之，經(jīng)濟(jì)增長率、通貨膨脹率、利率水平、特定行業(yè)的景氣程度、企業(yè)自身的會計變量等因素均會通過不同的渠道對β構(gòu)成影響。因此在對β系數(shù)的研究中，時變性是必須加以考慮到重要因素，它不但有利于投資者進(jìn)行動態(tài)組合投資，還有利于投資者構(gòu)建有效的套期保值策略。

本文對時變的β系數(shù)進(jìn)行研究，通過市場模型描述單個資產(chǎn)收益率和市場組合收益率的關(guān)系，假定β系數(shù)服從隨機(jī)行走過程，因為不能對所有的資產(chǎn)收益率成分進(jìn)行完整的建模，于是給出一個隨機(jī)模型。在此模型中需要對參數(shù)β進(jìn)行估計，隨機(jī)變量是高斯分布的，并且方差未知。在估計參數(shù)β前，通過極大似然法估計那些未知的參數(shù)。由于所有提出的參數(shù)都是隨機(jī)并且高斯的，本文將Kalman filter運用到參數(shù)的估計算法中。

1 數(shù)學(xué)模型

1.1 理論的市場模型

資產(chǎn)收益率和市場組合收益率間的關(guān)系可以通過下面標(biāo)準(zhǔn)的市場模型表示：

式中：

Rit為證券i的收益率；

RMt為市場組合的收益率；

ait為證券i的收益率中與組合收益率無關(guān)的隨機(jī)變量；

εit為服從均值為0的高斯分布隨機(jī)項。方程(1)表明在時間t期間，資產(chǎn)i收益率Rit與同期間的市場組合收益率RMt相關(guān)，這兩個變量間呈線性關(guān)系。系數(shù)β是相當(dāng)重要的一個參數(shù)，它表明單個資產(chǎn)收益率怎樣隨著市場收益率變化，并且可以用來測量資產(chǎn)的系統(tǒng)風(fēng)險或者市場風(fēng)險。

1.2 時變參數(shù)的狀態(tài)空間模型（隨機(jī)游走模型）

狀態(tài)空間表示一個系統(tǒng)是現(xiàn)代控制論的基本技術(shù)，由兩個方程構(gòu)成:一個是狀態(tài)方程，另一個是觀測方程。其中，狀態(tài)方程表示從目前狀態(tài)向下一個時刻狀態(tài)轉(zhuǎn)換的方法，即相互間的轉(zhuǎn)換關(guān)系；而測量方程表示實際觀測到的自變量和因變量之間的相互關(guān)系。

文獻(xiàn)中有很多具體的模型來描述系統(tǒng)風(fēng)險，但是總結(jié)起來可以用兩個簡單方程的模型來表示。大量的研究認(rèn)為資產(chǎn)定價服隨機(jī)游走模型。文獻(xiàn)[11] ,[12]用大量的篇幅證明β服從隨機(jī)游走模型。隨機(jī)游走（RW）模型表達(dá)如下。

εit、μit和ηit均是服從高斯分布的。我們根據(jù)文獻(xiàn)[2]所使用的風(fēng)險系數(shù)的卡爾曼濾波方法，在隨機(jī)游走模型的回歸變量前加上未知的常量F1、F2，于是本文的模型如下所示：

初始條件是：

其中，ф、Q、Q2均是未知的。下面會給出模型的狀態(tài)空間形式。

1.3 系統(tǒng)方程

由(5)、(6)、(7)我們很容易想到狀態(tài)空間形式，將a和β作為狀態(tài)變量，組成一個2×1維的向量，即下面的(11)式所示，于是我們?nèi)菀椎玫綘顟B(tài)方程和觀測方程，分別如下所示。

觀測方程：

上面的方程代表時變系數(shù)的市場模型。C(t)是T×2維的矩陣，每行代表確定點時間的觀測值，我們認(rèn)為它已知。

狀態(tài)向量x(t)是2×1維的，包含t時刻的a和β系數(shù)：

ε(t)是資產(chǎn)收益y(t)沒有建模的一部分，它的方差未知，假設(shè)其值有限并且

我們知道，狀態(tài)方程的一般形式是：

ξt的方差矩陣F是有限對角形式的，對角處因子的值未知。

我們所采用的隨機(jī)游走（RW）模型中，ψ是一個對角矩陣，

狀態(tài)噪聲的矩陣方差形式：

于是，我們的模型中有 5個參數(shù)要估計：ф和矩陣F對角處的因子，也即是狀態(tài)方程隨機(jī)干擾項的方差；我們要估計的未知參數(shù)向量

2 算法

2.1 模型的最大似然函數(shù)

需要估計誤差項的位置方差值，參數(shù)估計所需要的數(shù)據(jù)包括單個證券收益率和市場組合收益率。對方程 (9)進(jìn)行變換，即：

將v0(t)的方差記為ψv0(t),則：

對(20)式兩邊同取對數(shù)，那么最小化的似然函數(shù)為：

2.2 卡爾曼濾波及其似然函數(shù)

處理標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)空模型的基本工具是Kalman filter遞歸算法，它通過t-1時刻狀態(tài)的最優(yōu)估計和t時刻的輸出給出了t時刻狀態(tài)向量的最優(yōu)估計。(其原理和功能是:首先進(jìn)行模式狀態(tài)的預(yù)報，接著引入觀測數(shù)據(jù)，然后根據(jù)觀測數(shù)據(jù)對模式狀態(tài)進(jìn)行重新分析(即更新)；隨著模式狀態(tài)預(yù)報的持續(xù)進(jìn)行和新觀測數(shù)據(jù)的陸續(xù)輸入，這個過程可以不斷向前推進(jìn)。本文模型的卡爾曼濾波的更新迭代過程如下：

(1).協(xié)方差矩陣的預(yù)測：

(2).濾波增益

(3).估計協(xié)方差陣（更新）

(4).狀態(tài)向量的預(yù)測

(5).狀態(tài)向量的估計（更新）

參數(shù)β值每個時間t的最優(yōu)估計可以通過提取向量的第二部分得到，即令新息其協(xié)方差矩陣則卡爾曼濾波的正態(tài)對數(shù)似然函數(shù)為

參數(shù)估計的過程：

1)先利用卡爾曼濾波得到t時刻的新息v(t)與其協(xié)方差陣M(t)，從而獲得了似然函數(shù)；

2)將似然函數(shù)最大化，得到t時刻的估計值；

3)然后將估計的值代回濾波方程和更新方程，進(jìn)行濾波和預(yù)測，獲得t+1時刻的新息與其協(xié)方差矩陣；

4)繼續(xù)循環(huán)t時刻的過程，即循環(huán)1)、2)、3)的過程，并且依此遞推下去。

所以，我們的參數(shù)估計過程是卡爾曼濾波與極大似然函數(shù)融合的過程，是不可分割的。

應(yīng)用Kalman filter來估計時變參數(shù)的優(yōu)點在于:首先,計算是遞歸的,當(dāng)前的估計是基于過去所有的歷史觀測,不需要比回歸更多的觀測或者存儲；其次是收斂快?，F(xiàn)在已經(jīng)成為處理標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)空模型的基本工具，廣泛被應(yīng)用于各種領(lǐng)域。近年來，一些金融計量學(xué)家應(yīng)用Kalman filter及其擴(kuò)展來探索金融時間序列的動態(tài)特征。

3 仿真

3.1 樣本數(shù)據(jù)

我們選擇 A股指數(shù)作為市場指數(shù)。由于實踐中很難找到一個接近市場組合的市場指數(shù)，國外金融服務(wù)機(jī)構(gòu)通常采用標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)、紐約證券交易所指數(shù)，ilshire5000指數(shù)或 Russen3000指數(shù)等，而不同的市場指數(shù)均導(dǎo)致不同的β估計值。鑒于A股指數(shù)發(fā)布至今己為計算市場收益率提供了大量基本數(shù)據(jù)，且實踐表明 A股指數(shù)能夠較為準(zhǔn)確地反映整體行情的變化和股票市場的整體發(fā)展趨勢，比較符合CAPM所描述的市場組合。因此，本研究選擇A股指數(shù)這一價值加權(quán)指數(shù)，符合CAPM市場組合構(gòu)造的要求。

本文選取 Wind行業(yè)指數(shù)中一級行業(yè)指數(shù)作為數(shù)據(jù)樣本，Wind行業(yè)指數(shù)成分股僅包含A股股票，包括能源指數(shù)、材料指數(shù)、金屬指數(shù)、工業(yè)指數(shù)、可選消費指數(shù)、日常消費指數(shù)、醫(yī)療保健指數(shù)、信息技術(shù)指數(shù)、電信服務(wù)指數(shù)和公用事業(yè)指數(shù)10個行業(yè)的指數(shù)。選取滬市2001年8月——2006年10月作為研究的時間段。對于以上數(shù)據(jù)的選取，我們解釋如下:盡管股票市場始于 1990年,但上市之初一方面股票數(shù)量較少，不滿足統(tǒng)計分析的需要；另一方面股市法規(guī)不健全、市場體制不完善，大多數(shù)投資者不具條理性投資者的特點，因而分析和檢驗所選用的歷史數(shù)據(jù)不能從創(chuàng)市之初算起。我們截取2001年8月到2006年10月的交易數(shù)據(jù)作為研究的對象，其間我國股市運作已基本正常，約束法規(guī)已較為健全，交易和投資活動日趨理性，投資者的心態(tài)也較為平穩(wěn)。

3.2 收益率的計算與初始值

對于模型的待估參數(shù)的初始值，我們是通過滾動最小二乘法來獲得的(rolling OLS),由于滾動回歸比真實的模型噪聲大很多，對于大多數(shù)的系數(shù)的值為按照由OLS方法所得系數(shù)的一半來計算。

3.3 預(yù)測方差

我們采用兩個指標(biāo)對模型的優(yōu)劣進(jìn)行評價，兩個指標(biāo)是針對模型的預(yù)測精確度所設(shè)計的：平均平方預(yù)測誤差 MSE和平均絕對預(yù)測誤差MAE，計算公式分別如下：

3.4 仿真結(jié)果比較與分析

一般來說，β值描述了證券收益率對市場投資組合收益率的標(biāo)準(zhǔn)差的邊際貢獻(xiàn)。通過對 β值大于、小于或等于 1的描述我們可以看出該證券的收益率是趨向于放大、縮小或等于市場投資組合整體的收益率。β系數(shù)描述了股票的收益和風(fēng)險狀況。我們希望積極型或者說高杠桿率的公司的風(fēng)險系數(shù)高些，而那些一般市場行為對公司行為影響不大或沒有影響的公司風(fēng)險系數(shù)低些。

我們是利用MATLABR2007a來進(jìn)行估計和仿真的。當(dāng)F1、F2均未知時，模型參數(shù)的估計結(jié)果如下面表1所示；當(dāng)F1=1，F(xiàn)2未知時，模型參數(shù)估計的結(jié)果如表2所示。

表1 模型參數(shù)估計結(jié)果、MAE和MSE

下面為表1的續(xù)表：

行業(yè) F1 F2 MAE MSE能源 -0.17335 1 0.0105 2.3438e-04材料 0.19249 0.99986 0.0064 8.7215e-05工業(yè) 0.55003 0.99996 0.0071 1.0441e-04可選消費 0.18144 0.99997 0.0088 1.5078e-04日常消費 -1 0.99843 0.0109 2.2306e-04醫(yī)療保健 1.0166 0.95371 0.0122 2.8955e-04金融 0.09413 0.99927 0.0109 2.1938e-04信息技術(shù) -0.3445 0.99997 0.0140 3.6479e-04電信服務(wù) 0.05835 0.98949 0.0147 4.8780e-04公用事業(yè) -0.10273 1 0.0081 1.3747e-04

表2 F1=1時模型參數(shù)估計結(jié)果、MAE和MSE

表2的續(xù)表如下所示：

行業(yè) F2 MAE MSE能源 1.0211 0.0115 2.7237e-04材料 0.99792 0.0075 1.3595e-04工業(yè) 0.98344 0.0082 1.5025e-04可選消費 0.99576 0.0097 1.8032e-04日常消費 0.99455 0.0115 2.4411e-04醫(yī)療保健 0.99289 0.0120 2.7977e-04金融 0.99571 0.0112 2.3389e-04信息技術(shù) 0.51055 0.0214 7.9545e-04電信服務(wù) 0.99365 0.0148 4.8950e-04公用事業(yè) 1.0002 0.0090 1.6009e-04

比較表1與表2，我們發(fā)現(xiàn)表1中預(yù)測誤差明顯低于表2中的預(yù)測誤差，而兩表中F2的值均近似為1；也即對于隨機(jī)行走模型，風(fēng)險系數(shù)β是適合的，而模型中關(guān)于α的方程引進(jìn)未知參數(shù)F1是合理且更優(yōu)的。

β系數(shù)的仿真圖、行業(yè)擬合預(yù)測的序列與實際序列的比較圖均如下10幅圖所示。從β的仿真圖容易看出金融行業(yè)的風(fēng)險系數(shù)較高，而且變化幅度也大，這是與行業(yè)特征相關(guān)；電信服務(wù)因為從2002年10月份才開始，所以前面一段為0；而波動幅度也是與市場需求和業(yè)務(wù)發(fā)展有關(guān)。能源行業(yè)、可選消費和公共事業(yè)幾個行業(yè)的需求彈性比較小，所以這幾個行業(yè)的風(fēng)險系數(shù)變化得比較平緩?？v觀擬合曲線與序列的真實曲線，通過表1中平均平方預(yù)測誤差MSE和平均絕對預(yù)測誤差MAE值可看出，醫(yī)療保健、金融行業(yè)、信息技術(shù)行業(yè)和電信服務(wù)行業(yè)誤差比較大，因為我國近年來隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，電信、醫(yī)療保健、金融市場和信息技術(shù)都發(fā)展得比較快，行情不穩(wěn)定，由此可以看出我們所選的模型方法是比較符合現(xiàn)實的。10幅仿真圖分別如下所示：

圖1 能源行業(yè)風(fēng)險系數(shù)、擬合預(yù)測序列與實際序列圖

圖2 材料行業(yè)風(fēng)險系數(shù)、擬合預(yù)測序列與實際序列圖

圖3 工業(yè)風(fēng)險系數(shù)、擬合預(yù)測序列與實際序列圖

圖4 可選消費行業(yè)風(fēng)險系數(shù)、擬合預(yù)測序列與實際序列圖

圖5 日常消費行業(yè)風(fēng)險系數(shù)、擬合預(yù)測序列與實際序列圖

圖6 醫(yī)療保健行業(yè)風(fēng)險系數(shù)、擬合預(yù)測序列與實際序列圖

圖7 金融行業(yè)風(fēng)險系數(shù)、擬合預(yù)測序列與實際序列圖

圖8 IT行業(yè)風(fēng)險系數(shù)、擬合預(yù)測序列與實際序列圖

圖9 電信服務(wù)風(fēng)險系數(shù)、擬合預(yù)測序列與實際序列圖

圖10 公用事業(yè)風(fēng)險系數(shù)、擬合預(yù)測序列與實際序列圖

由以上分析可知，上海行業(yè)股票組合的系統(tǒng)風(fēng)險系數(shù)β是不穩(wěn)定的，存在時變性。至于β的行為特征，上海行業(yè)股票組合系統(tǒng)風(fēng)險系數(shù)β的時變行為用隨機(jī)游走模型來描述是恰當(dāng)?shù)?。這一結(jié)論同時表明，對上海當(dāng)前的股票市場，不能采用恒定的β系數(shù)進(jìn)行模擬；若知β系數(shù)的時變性行為特征，就可以對條件β系數(shù)進(jìn)行預(yù)測，從而可以利用CAPM進(jìn)行投資組合和業(yè)績評價。

4 結(jié)論

資產(chǎn)的系統(tǒng)風(fēng)險由于一些微觀因素和宏觀因素，會隨時間而變化。本文旨在預(yù)測風(fēng)險系數(shù)，我們對滬市10個行業(yè)的β系數(shù)的時變行為采用隨機(jī)游走（RW）模型，在隨機(jī)游走模型的回歸變量前引進(jìn)了未知參數(shù)，仿真預(yù)測的結(jié)果表明，引進(jìn)未知系數(shù)后的模型，其絕對預(yù)測誤差MAE和均方預(yù)測誤差MSE都比引進(jìn)未知系數(shù)前的模型更精確，改后的模型更適合描述滬市行業(yè)風(fēng)險系數(shù)的時變行為。仿真過程是通過卡爾曼濾波的遞推過程獲取新息及其協(xié)方差陣，得到似然函數(shù)，從而推進(jìn)參數(shù)估計。將估計的結(jié)果返回卡爾曼濾波更新過程，易得觀測變量的預(yù)測值。β的研究很重要，本文是采用卡爾曼濾波的方法來處理時變風(fēng)險系數(shù)改進(jìn)的模型；而計量經(jīng)濟(jì)學(xué)、時間序列技術(shù)的各種工具以及最新進(jìn)展都會為β值的研究提供新的思路和新的視角，以基金為代表的機(jī)構(gòu)投資者必定會有越來越多地關(guān)注β的研究。

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