平面內(nèi)兩運(yùn)動(dòng)光滑曲線交點(diǎn)速度計(jì)算之“速度分解-合成法”的證明及應(yīng)用舉例

李衛(wèi)平

(西華師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院,四川南充 637002)

在本刊2004年第9期上筆者曾發(fā)表了《平面上兩平動(dòng)光滑曲線交點(diǎn)速度的最簡(jiǎn)求法——“速度分解-合成法”》一文[1],在文中對(duì)計(jì)算同一平面內(nèi)兩平動(dòng)光滑曲線交點(diǎn)速度的“速度分解-合成法”進(jìn)行了證明.所作的證明僅限于在同一平面內(nèi)兩光滑曲線均做平動(dòng)的情況.

近來(lái)通過(guò)進(jìn)一步的思考,筆者認(rèn)識(shí)到此“速度分解-合成法”并不僅僅適用于同一平面內(nèi)兩光滑曲線均做平動(dòng)的情況,而是適用于在同一平面內(nèi)兩光滑曲線的任何運(yùn)動(dòng).下面給出一個(gè)適合中學(xué)水平的該方法在同一平面內(nèi)兩光滑曲線做任意運(yùn)動(dòng)情況下的一般證明,并舉例說(shuō)明該方法在兩曲線并非均做平動(dòng)情況下的應(yīng)用.

1 證明

如圖 1所示,L1、L2為同一平面內(nèi)兩運(yùn)動(dòng)的光滑曲線.其交點(diǎn)P相對(duì)地面參照系(或其他慣性參照系)的速度為 vP.v1、v2分別為 L1、L2上的與交點(diǎn)P重合的點(diǎn)P1、P2(圖1中未畫出)的瞬時(shí)速度.

分別作 L1、L2的切線 l1、l2(如圖1).取與 L1上的與P1點(diǎn)一起以速度v1運(yùn)動(dòng)的參照系,在此參照系中P點(diǎn)以速度v1′沿l1運(yùn)動(dòng)(如圖 1).則

圖1

取與L1上的與P1點(diǎn)一起以速度 v1運(yùn)動(dòng)的參照系,在此參照系中 P點(diǎn)以速度v2′沿l2運(yùn)動(dòng)(如圖1).則

在地面參照系中沿 l1、l2方向分解 v1(如圖1),有.

在地面參照系中沿 l1、l2方向分解 v2(如圖1),有.

觀察圖1中的矢量關(guān)系,可知

這表明,在同一平面內(nèi)兩光滑曲線做任意運(yùn)動(dòng)形成交點(diǎn)的情況下,將某時(shí)刻形成交點(diǎn)的兩曲線上的兩點(diǎn)的速度分別沿交點(diǎn)處的兩曲線的切線方向進(jìn)行分解,則所得4個(gè)分速度中沿對(duì)方曲線切線方向上的兩個(gè)分速度的矢量合即為該時(shí)刻交點(diǎn)的速度.

2 應(yīng)用舉例

圖2

圖3

解析:如圖3所示,在 t=1 s時(shí),兩桿的交點(diǎn)為 M′.

對(duì)三角形 M′AB,由正弦定理有

于是得桿 BD上的與M′點(diǎn)重合的點(diǎn)M1(圖3中未畫出)的速度為

桿 AC上的與M′點(diǎn)重合的點(diǎn)M2(圖 3中未畫出)的速度為

如圖3,沿兩直線方向分解 v1和 v2,有 v1=v11+v12,v2=v21+v22,計(jì)算 v12和 v21.

由正弦定理得

M′點(diǎn)的速度vM′=v12+v21.由余弦定理便得

例2.活頁(yè)構(gòu)件由六根細(xì)桿 AB、AC、BF、CE、EG、FG 所構(gòu)成的兩個(gè)菱形組成,兩個(gè)菱形均在豎直平面內(nèi),各交點(diǎn) A、B、C、D 、E 、F 、G都由鉸鏈連接.兩菱形的邊長(zhǎng)之比為2:1,如圖4所示.頂點(diǎn) A固定不動(dòng),頂點(diǎn) G以速度v沿水平方向移動(dòng),當(dāng)構(gòu)件所有的角都為直角時(shí),細(xì)桿BF與另一豎直的固定細(xì)桿PQ的交點(diǎn)K恰好使得BK=KD.求此時(shí)交點(diǎn)K的速度大小.

圖4

圖5

解析:如圖5,設(shè)桿 BF的BD部分的中點(diǎn)為N,AN′為AN的水平投影,N點(diǎn)的水平速度為vN‖,豎直速度為vN⊥.

因?yàn)闂UBF上N、D兩點(diǎn)的速度在桿長(zhǎng)方向的分量相等,故有

將vN沿著桿PQ和桿BF方向分解(如圖5),有

由正弦定理有

即

例3.如圖6所示,豎直平面內(nèi)的半徑為 R圓環(huán)繞固定軸C以角速度ω順時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng),在同一平面內(nèi)一水平直線以速度 v豎直向下勻速平動(dòng).當(dāng)圓環(huán)的圓心O轉(zhuǎn)至最高點(diǎn)時(shí),水平直線距離軸 C為1.5R.求此時(shí)圓環(huán)與直線的交點(diǎn)P的速度大小.

圖6

圖7

圓環(huán)上的與交點(diǎn)P重合的點(diǎn)P1(圖7中未畫出)的速度大小為

直線上的與交點(diǎn)P重合的點(diǎn)P2(圖7中未畫出)的速度大小為v.

如圖7,沿過(guò)P點(diǎn)的圓的切線方向和水平直線方向分解v和u可得

計(jì)算 v2和 u1:

又由正弦定理可得

P點(diǎn)的速度vP=v2+u1.由余弦定理得

將已求得的 v2、u1代入,即得

例 4.如圖 8所示,在同一豎直平面內(nèi)的兩半徑同為 R的圓環(huán)以相同大小的角速度ω沿相反方向繞軸C旋轉(zhuǎn).當(dāng)兩環(huán)轉(zhuǎn)至一環(huán)的圓周過(guò)另一環(huán)的圓心時(shí),求兩環(huán)的交點(diǎn)P的速度大小.

圖8

圖9

如圖9,沿過(guò)P點(diǎn)的兩圓環(huán)的切線方向分解有

v1=v11+v12.則

由對(duì)稱性可知圓環(huán)O2上的與P點(diǎn)重合的點(diǎn)P1(圖9中未畫出)的速度v2的分量之一為

P點(diǎn)的速度vP=v12+v21.由幾何關(guān)系顯然有

1 齊德江,李衛(wèi)平.平面上兩平動(dòng)光滑曲線交點(diǎn)速度的最簡(jiǎn)求法——“速度分解-合成法”.物理教師,2004(9):59～61