非線性聚焦生成畸形波規(guī)律之研究

張運秋，胡金鵬，張寧川

（1.中科院廣州能源研究所中國科學院可再生能源與天然氣水合物重點實驗室，廣州510640；2.華南理工大學土木與交通學院，廣州510641；3.大連理工大學海岸和近海工程國家重點試驗室，大連116023）

畸形波是極值波中的一種特例，因其對船舶、采油平臺等海洋結(jié)構(gòu)極具危害而倍受關(guān)注。其波高具有以下特征：（1）波高大于2倍有效波高；（2）波高大于2倍相鄰波高；（3）波峰大于0.65倍波高?；尾ǖ陌l(fā)生具有不確定性和瞬時性，很難完全通過現(xiàn)場觀測來獲得畸形波在多種條件下的發(fā)生規(guī)律，因而有必要運用數(shù)值探索其發(fā)生規(guī)律。

大量研究結(jié)果表明，非線性聚焦是畸形波生成的一種可能機理，可通過邊帶不穩(wěn)定性實現(xiàn)，該不穩(wěn)定性可引起邊帶擾動在波列聚焦點處隨時間成指數(shù)增長而生成一個大波［1］。這方面的數(shù)值模擬可通過深水非線性薛定諤方程、DS系統(tǒng)、Zakharov方程、完全非線性方程實現(xiàn)。Onorato等［2］采用三階非線性薛定諤方程研究了以JONSWAP譜為特征的隨機波狀態(tài)下畸形波的生成，認為Phillip參數(shù)α和峰高因子γ值較大時，易產(chǎn)生畸形波；Janssen［3］用Zakharov方程模擬后，指出非線性聚焦可以克服線性色散引起的能量分散，當波足夠陡時會出現(xiàn)畸形波，并且具有窄帶譜和大波陡的波有利于畸形波的出現(xiàn)；Fochesat［4］等建立了三維波浪數(shù)值水槽，求解了完全非線性勢流方程，指出入射角度和水深影響畸形波的運動和幾何特性；張運秋等［5-6］通過四階修正非線性薛定諤方程研究了邊帶擾動和JONSWAP譜描述的隨機波條件下的畸形波生成，指出減小邊帶不穩(wěn)定性范圍內(nèi)擾動頻帶寬度、增加譜參數(shù)α和峰高因子γ有利于畸形波的生成，而且隨機初相位的選取對畸形波的生成有重要影響。

上述研究結(jié)果探討了多種條件下畸形波的生成規(guī)律，但邊帶擾動條件下畸形波的生成規(guī)律還缺乏系統(tǒng)研究，本文將以四階修正非線性薛定諤方程為基礎(chǔ)，針對波列演化的邊帶不穩(wěn)定性，系統(tǒng)地研究邊帶擾動條件下畸形波的生成規(guī)律。

1 數(shù)值模型

1.1 控制方程

假定A為一階Stokes波的復波包，φ為平均流的勢，在群速度移動的坐標系統(tǒng)下滿足控制深水波列演化的四階修正非線性薛定諤方程，具體見參考文獻［5-7］。該方程為高階非線性方程，采用偽譜方法求解。由已知的復波包求得無因次的自由波面ζ為

式中無因次變量與有因次變量存在的變換關(guān)系為

式中：ε=ka為波陡；a為載波振幅；ω為載波頻率；k為相應的波數(shù)；λ為使ξ的計算域為2π的尺度因子；x為波浪傳播方向的水平坐標；t為時間坐標；A′、φ′和ζ′為相應的有因次變量。

1.2 初始條件

由載波（v=0）加一對邊帶（v=±1）擾動形成的邊帶擾動條件如下

式中：S、a分別對應邊帶的初始振幅和相位。

根據(jù)Dysthe［8］的不穩(wěn)定性標準，當滿足下列條件時邊帶（v=±1）是不穩(wěn)定的，會導致邊帶擾動成指數(shù)增長

式中：Δk為波數(shù)擾動。根據(jù)色散關(guān)系式可得Δω/ω=Δk/（2k），當λ變小時，波數(shù)擾動Δk變小，即擾動頻率帶寬Δω變窄，不穩(wěn)定邊帶的模式增多。

計算中載波的基頻取f=2 Hz，為了在短時間內(nèi)獲得最大線性的增長，取邊帶擾動的初始相位a=-0.25 π。

2 數(shù)值結(jié)果

2.1 畸形波的生成示例

取波陡ka=0.15，邊帶擾動振幅S=0.05。根據(jù)式（3）可知尺度因子取0<λ<1.146時，邊帶擾動是不穩(wěn)定的，計算中主要選λ=1.2，1.1，1.0，…，0.2，0.1來研究畸形波的生成。圖1給出了尺度因子λ取不同值時初始波列及其演化過程中生成的畸形波波列示例。由圖1可看出含有邊帶擾動的初始波列近于正弦波，波峰和波谷有極其微小的變化，而當畸形波出現(xiàn)時，這種類正弦波的波形節(jié)奏被破壞，大部分時間里較為規(guī)則的波形會突然升起一個高而陡的峰，兩側(cè)形成相對較淺的谷，波面左右不對稱，具有明顯的非線性特點。另外，當λ=0.3，0.2時，即有3對及3對以上邊帶不穩(wěn)定時，波列演化空間的某個位置處在一個周期為2 π的域上偶爾會出現(xiàn)2個畸形波，這說明多對不穩(wěn)定邊帶的相互作用可促進畸形波的生成。

2.2 畸形波的生成規(guī)律

2.2.1 畸形波的生成隨波陡的變化

取波陡ka=0.1，0.15，0.2，S=0.05，圖2給出了一對邊帶擾動條件下（式（2）），波列演化過程中畸形波的生成概率。在此，畸形波的生成概率是指初始波列演化過程中在空間上有畸形波出現(xiàn)的可能性。當ka=0.1而其他參數(shù)條件不變時，尺度因子λ的不穩(wěn)定域為0<λ<1.228。由于初始波陡較小，邊帶不穩(wěn)定性的發(fā)展較慢，所進行的模擬中，僅λ=0.1時有畸形波出現(xiàn)，但其生成概率僅為0.006 7%，遠低于ka=0.15時的概率；當ka=0.15而其他參數(shù)條件不變時，根據(jù)前面的模擬統(tǒng)計可知，尺度因子0.85<λ≤1.2時，畸形波的生成概率為零，但當λ≤0.85時，畸形波具有一定的發(fā)生概率，且隨著λ的減小，即不穩(wěn)定邊帶的數(shù)目逐漸增多，有逐步上升的趨勢。顯然，多對不穩(wěn)定邊帶的相互作用在很大程度上增加了畸形波的發(fā)生概率；當ka=0.2而其他參數(shù)條件不變時，尺度因子λ的不穩(wěn)定域為0<λ<1.07。采用較大的初始波陡可加快非線性的發(fā)展，使得邊帶的不穩(wěn)定性快速顯著地表現(xiàn)出來。

由圖2可看到，在邊帶不穩(wěn)定范圍之外的模擬中（λ=1.1，1.2）沒有畸形波出現(xiàn)，而在剛剛滿足邊帶不穩(wěn)定性范圍的λ=1.0處就具有一定的畸形波發(fā)生概率，之后隨著尺度因子的減小，畸形波的發(fā)生概率不斷增長，但當λ=0.8，0.775時，畸形波的發(fā)生概率急劇降低，主要是由于統(tǒng)計過程中較大的波如果位于波列中的第一個或最后一個，則無法滿足畸形波特征中大于相鄰波高2倍的條件，因而在可能生成的位置而低估了其發(fā)生概率，但從總的趨勢上來看，隨著λ的減小，畸形波的發(fā)生概率增長，而且與ka=0.15時相同條件的模擬相比，其發(fā)生概率均大于后者。

2.2.2 畸形波的生成隨初始邊帶擾動振幅的變化

取含有一對邊帶擾動的波列為初始條件（式（2）），擾動振幅為 S=0.01，0.05，0.1，0.15，波陡為 ka=0.15。圖 3 給出了這些條件下初始波列演化過程中畸形波的生成概率。當1.0≤λ≤1.2時，各次模擬中均無畸形波出現(xiàn)，當λ≤0.9時開始有畸形波生成，生成概率基本上隨著初始擾動振幅的增長而增長，并且也隨著尺度因子的減小而增長。

2.2.3 畸形波的生成隨初始邊帶擾動數(shù)目的變化

取 1對邊帶（v=±1）擾動（式（2））作為初始條件，還采用2 對邊帶（v=±1，±2）擾動（式（4））及 3 對邊帶（v=±1，±2，±3）擾動（式（5））形成的復波包作為初始條件，模擬波陡ka=0.15，0.2時初始波列的演化

式中：邊帶的初始振幅S=0.05。

圖4給出了1對、2對及3對初始邊帶擾動條件下波列演化過程中畸形波的生成概率。由圖4可看出，當ka=0.15時，λ≤0.85時進行的各次模擬中有畸形波生成，3對初始邊帶擾動的模擬與2對初始邊帶擾動相比，前者畸形波生成概率基本上大于后者，但是與1對初始邊帶擾動時的模擬相比，除了λ=0.85，0.7，0.6之外，其他各次模擬沒有相似的規(guī)律；而2對初始邊帶擾動的模擬與1對初始邊帶擾動相比，僅有λ=0.85，0.7，0.6時，前者的畸形波生成概率大于后者。當ka=0.2時，λ≤1.0時所進行的模擬中，畸形波的發(fā)生概率大于零，3對初始邊帶擾動時的模擬畸形波的生成概率多數(shù)大于2對初始邊帶擾動，而基本上均大于1對初始邊帶擾動；2對初始邊帶擾動條件下畸形波的生成概率基本上均大于1對初始邊帶擾動。因此可知初始邊帶擾動數(shù)目的增長有增加畸形波發(fā)生概率的趨勢。

3 結(jié)語

本文以控制深水波列演化的四階修正非線性薛定諤方程為基礎(chǔ)，研究了邊帶擾動條件下，通過非線性聚焦生成畸形波的規(guī)律，得到如下結(jié)論：

（1）畸形波的生成隨著不穩(wěn)定域中不穩(wěn)定邊帶數(shù)目的增加而增加；

（2）當波陡大于0.1且邊帶擾動滿足不穩(wěn)定性條件時，畸形波的生成隨著波陡的增加而增加；

（3）邊帶不穩(wěn)定性滿足的前提下，畸形波的生成隨著初始邊帶擾動振幅和數(shù)目的增加而增加。

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