基于貝葉斯理論的隨機(jī)優(yōu)化調(diào)度模型

趙杰，張韞

（天津市海堤管理處，天津 300456）

一般來(lái)說(shuō)，水庫(kù)的優(yōu)化調(diào)度是根據(jù)已知的預(yù)報(bào)來(lái)水進(jìn)行模型和方法的制定，也就是確定型的水庫(kù)優(yōu)化調(diào)度。如果預(yù)報(bào)來(lái)水的準(zhǔn)確率高，利用確定型模型制定的最優(yōu)調(diào)度方式是可以實(shí)現(xiàn)的，也就能較好地滿足各部門(mén)的綜合利用要求。但是，水文過(guò)程是一個(gè)復(fù)雜的隨機(jī)動(dòng)態(tài)過(guò)程，取決于氣象因素與水文因素。這些因素決定了預(yù)報(bào)的精度，并始終制約調(diào)度決策的正確性。然而，現(xiàn)在的預(yù)報(bào)還不夠精確，特別是中長(zhǎng)期氣象預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確率仍然偏低，不同氣象部門(mén)的預(yù)報(bào)意見(jiàn)差異較大，有時(shí)甚至相左，這些都較大程度地影響著水庫(kù)優(yōu)化調(diào)度方案。因此，在水庫(kù)優(yōu)化調(diào)度中，有必要考慮預(yù)報(bào)來(lái)水的準(zhǔn)確率，將預(yù)報(bào)誤差轉(zhuǎn)化為輸入條件，解決依賴于預(yù)報(bào)產(chǎn)生的調(diào)度偏差問(wèn)題。

新安江水庫(kù)位于錢(qián)塘江上游新安江主流上，水庫(kù)具有多年調(diào)節(jié)性能，以發(fā)電為主，兼有防洪、灌溉、養(yǎng)殖、旅游等效益。富春江水庫(kù)位于浙江桐廬富春江上，距上游新安江水電站約60 km，是一座低水頭河床式電站。水庫(kù)為日調(diào)節(jié)，無(wú)調(diào)洪能力，電站以發(fā)電為主，并可改善航運(yùn)，發(fā)展灌溉及養(yǎng)殖事業(yè)等綜合效益。

本文以新安江和富春江梯級(jí)水庫(kù)中長(zhǎng)期調(diào)度為例進(jìn)行研究，將貝葉斯理論引入到水庫(kù)優(yōu)化調(diào)度中，建立基于貝葉斯理論的隨機(jī)優(yōu)化調(diào)度模型，并與確定型調(diào)度模型進(jìn)行比較分析。

1 預(yù)報(bào)誤差

預(yù)報(bào)誤差可以采用絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差兩種方式來(lái)進(jìn)行表達(dá)。絕對(duì)誤差能夠非常直觀地體現(xiàn)出預(yù)報(bào)值與實(shí)測(cè)值在數(shù)量上的差異；而相對(duì)誤差則可以為不同量級(jí)的降雨在預(yù)報(bào)誤差進(jìn)行比較，提供出統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)。因此，為了綜合客觀地分析降雨預(yù)報(bào)誤差，應(yīng)該采用絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差分別進(jìn)行預(yù)報(bào)誤差分析。

預(yù)報(bào)降雨的絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差按照公式（1）計(jì)算：

式中，P預(yù)為預(yù)報(bào)降雨量（mm），P實(shí)為實(shí)測(cè)降雨量（mm）， ε為預(yù)報(bào)絕對(duì)誤差（mm），為預(yù)報(bào)相對(duì)誤差 （%）。

降雨量是隨機(jī)變量X，對(duì)于隨機(jī)變量F（x），其分布函數(shù)可表示為：其意義為，隨機(jī)變量X發(fā)生小于x的概率，相應(yīng)的概率分布密度函數(shù)f（x），簡(jiǎn)稱分布密度函數(shù)，定義為下式：

新安江的汛期為每年的4月～9月，根據(jù)新安江1984～2007年逐月降雨資料，系列長(zhǎng)度為24年，分別對(duì)汛期與非汛期的預(yù)報(bào)降雨和實(shí)測(cè)降雨進(jìn)行誤差統(tǒng)計(jì)分析，繪得其相應(yīng)的概率分布圖，見(jiàn)圖1至圖4。

經(jīng)統(tǒng)計(jì)計(jì)算可得，非汛期預(yù)報(bào)的絕對(duì)誤差平均值為： E（ε）=0.70（mm）； 汛期預(yù)報(bào)的絕對(duì)誤差平均值為： E（ε）=6.0（mm）。 根據(jù)公式（4）計(jì)算非汛期和汛期預(yù)報(bào)絕對(duì)誤差的偏態(tài)系數(shù)得到，非汛期的偏態(tài)系數(shù)Cs=-0.32；汛期的偏態(tài)系數(shù)Cs=-1.08，均小于零。

式中，σ2為絕對(duì)誤差ε的方差，Cs為偏態(tài)系數(shù)[1]。

由上述各項(xiàng)統(tǒng)計(jì)參數(shù)及圖1至圖4可見(jiàn)，新安江汛期和非汛期的預(yù)報(bào)誤差均不服從正態(tài)分布。其總體趨勢(shì)為預(yù)報(bào)降雨偏大。然而，水庫(kù)根據(jù)氣象部門(mén)給出的預(yù)報(bào)降雨進(jìn)行傳統(tǒng)的調(diào)度時(shí)，出于對(duì)防汛安全的考慮，往往提前將水位消落至較低水平。這種調(diào)度偏差將使得水庫(kù)在迎峰度夏和下半年的供水期內(nèi)面臨很大的被動(dòng)，造成了運(yùn)行方式的不合理。

2 降雨條件概率

新安江的預(yù)報(bào)降雨存在較大的偏差，而降雨預(yù)報(bào)方案偏差直接影響了新安江和富春江梯級(jí)水庫(kù)基于預(yù)報(bào)來(lái)水進(jìn)行調(diào)度的準(zhǔn)確性，造成了與實(shí)際不符合的調(diào)度運(yùn)行。針對(duì)這種現(xiàn)狀，需對(duì)新安江不同量級(jí)的降雨預(yù)報(bào)進(jìn)行概率分析，綜合考慮各種可能因素，合理弱化小概率事件的負(fù)面影響。

根據(jù)新安江的歷年逐月平均降雨資料可知，最大預(yù)報(bào)月降雨量為1999年6月的400mm，最大實(shí)際月降雨量為1999年6月的844mm。按照降雨的等量化進(jìn)行區(qū)間分級(jí)，以100mm的降雨量作為區(qū)間劃分長(zhǎng)度，將新安江的月平均降雨從0～900mm依次劃分為個(gè)區(qū)間。通過(guò)對(duì)這9個(gè)區(qū)間上預(yù)報(bào)降雨與實(shí)際降雨的歷史資料進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，分別計(jì)算其相應(yīng)發(fā)生的頻率次數(shù)，并計(jì)算出不同區(qū)間量級(jí)的預(yù)報(bào)降雨的條件概率。根據(jù)水文統(tǒng)計(jì)學(xué)[1]，降雨條件概率計(jì)算公式可表示如下：

式中，T（P實(shí)|P預(yù)）表示在預(yù)報(bào)降雨P(guān)預(yù)發(fā)生的條件下發(fā)生實(shí)際降雨P(guān)實(shí)的概率，T（P實(shí)P預(yù)）表示預(yù)報(bào)降雨P(guān)預(yù)和實(shí)際降雨P(guān)實(shí)同時(shí)發(fā)生的概率，T（P預(yù)）表示預(yù)報(bào)降雨P(guān)預(yù)發(fā)生的概率，n為整個(gè)降雨區(qū)間的個(gè)數(shù)。

2.1 非汛期條件概率

新安江非汛期為每年1～3月及10～12月，現(xiàn)對(duì)非汛期進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，對(duì)新安江不同區(qū)間上的預(yù)報(bào)降雨進(jìn)行條件概率計(jì)算，發(fā)生實(shí)際降雨的條件概率結(jié)果見(jiàn)表1。新安江非汛期不同區(qū)間預(yù)報(bào)降雨發(fā)生的概率見(jiàn)表2。

根據(jù)公式（6）、表1和表2的數(shù)據(jù)計(jì)算新安江非汛期預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的概率，即預(yù)報(bào)降雨和實(shí)際降雨同時(shí)發(fā)生在一個(gè)區(qū)間的概率為：T（P實(shí)P預(yù)）=62.16%。

由表1可見(jiàn)，當(dāng)預(yù)報(bào)降雨發(fā)生在0～100mm和100～200mm的區(qū)間上時(shí)，其預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的概率均較大。但當(dāng)預(yù)報(bào)降雨發(fā)生在200～300mm的區(qū)間上時(shí)，實(shí)際降雨也發(fā)生在，即16.67%。由此可見(jiàn)，新安江非汛期預(yù)報(bào)較大量級(jí)的降雨時(shí)，實(shí)際中更多的是發(fā)生小量級(jí)的降雨，其預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確性不夠。

2.2 汛期條件概率

對(duì)汛期進(jìn)行不同區(qū)間上實(shí)際降雨的條件概率計(jì)算，結(jié)果見(jiàn)表3。新安江汛期不同區(qū)間預(yù)報(bào)降雨發(fā)生的概率見(jiàn)表4。

根據(jù)公式（6）、表3和表4的數(shù)據(jù)計(jì)算得到新安江汛期預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的概率為：T（P實(shí)P預(yù)）=45.54%。

同時(shí)也可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)預(yù)報(bào)降雨發(fā)生在較小量級(jí)區(qū)間上時(shí)，其預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的概率均較大。但當(dāng)預(yù)報(bào)降雨發(fā)生在大量級(jí)的區(qū)間上時(shí)，實(shí)際上預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的概率則較小。

綜合以上新安江非汛期和汛期的降雨分析結(jié)果可得，當(dāng)新安江預(yù)報(bào)降雨發(fā)生在較大量級(jí)區(qū)間時(shí)，實(shí)際發(fā)生的降雨位于小量級(jí)區(qū)間的概率更大。這將導(dǎo)致水庫(kù)根據(jù)預(yù)報(bào)降雨進(jìn)行調(diào)度時(shí)不合理地削落水頭，使其在后期的調(diào)度中面臨很大的被動(dòng)，不能很好地發(fā)揮社會(huì)經(jīng)濟(jì)效益。

因此，根據(jù)這種現(xiàn)狀，應(yīng)對(duì)新安江、富春江梯級(jí)水庫(kù)的現(xiàn)狀調(diào)度模式進(jìn)行調(diào)整，引入貝葉斯理論，以不同來(lái)水發(fā)生的條件概率作為預(yù)報(bào)方案，綜合考慮隨機(jī)來(lái)水的概率事件，將整個(gè)新富梯級(jí)水庫(kù)的發(fā)電量期望值最大作為目標(biāo)函數(shù)，建立基于貝葉斯理論的水庫(kù)隨機(jī)優(yōu)化調(diào)度模型。

表1 新安江非汛期條件概率 %

表2 新安江非汛期預(yù)報(bào)降雨概率

表3 新安江汛期條件概率 %

表4 新安江汛期預(yù)報(bào)降雨概率表

3 調(diào)度模型

基于貝葉斯理論[2]的隨機(jī)優(yōu)化調(diào)度模型不同于一般的隨機(jī)動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型，主要區(qū)別在于后者考慮水庫(kù)入流是純粹的天然隨機(jī)入流，而前者則是在預(yù)報(bào)來(lái)水已知的情況下，利用實(shí)際來(lái)水的條件概率進(jìn)行模型的建立，再根據(jù)隨機(jī)動(dòng)態(tài)規(guī)劃的遞推思路進(jìn)行模型求解。

并且，在基于貝葉斯理論的調(diào)度模型中，實(shí)際降雨發(fā)生在各區(qū)間上的條件概率是根據(jù)降雨資料進(jìn)行實(shí)時(shí)更新變動(dòng)的，即先以歷史的降雨資料作為樣本進(jìn)行條件概率的統(tǒng)計(jì)計(jì)算，并以該條件概率建立模型進(jìn)行未來(lái)時(shí)段的水庫(kù)優(yōu)化調(diào)度，而當(dāng)未來(lái)時(shí)段已經(jīng)發(fā)生后，便將其作為新的樣本信息放入歷史樣本中，這樣通過(guò)不斷地吸納新樣本以增加樣本容量，確保實(shí)際降雨條件概率的代表性，從而實(shí)時(shí)地更新與調(diào)整水庫(kù)調(diào)度策略[3]。

3.1 數(shù)學(xué)模型

在新富梯級(jí)水庫(kù)的中長(zhǎng)期調(diào)度中，以年為調(diào)度周期，以月為時(shí)段，以考慮保證出力要求的整個(gè)梯級(jí)水庫(kù)全年發(fā)電量的數(shù)學(xué)期望值最大為目標(biāo)函數(shù)[4]。具體可寫(xiě)成如下形式：

式中，調(diào)度周期為1年，即12個(gè)月，E為數(shù)學(xué)期望值，N新，t為新安江水電站第t時(shí)段的發(fā)電出力，N富，t為富春江水電站第t時(shí)段的發(fā)電出力，j=1，2，…，m，其中m為在預(yù)報(bào)來(lái)水已知情況下的實(shí)際入流代表值個(gè)數(shù)， Tj，t（P實(shí)|P預(yù)）表示在第t時(shí)段預(yù)報(bào)降雨P(guān)預(yù)發(fā)生的條件下發(fā)生第j個(gè)實(shí)際降雨代表值P實(shí)的條件概率。

在降雨條件概率分析中已確定了9個(gè)區(qū)間的降雨量級(jí)，因此，在本模型中新安江水庫(kù)入流選用這9個(gè)區(qū)間的降雨進(jìn)行產(chǎn)流計(jì)算，共9個(gè)水庫(kù)入流代表值，即m=9。產(chǎn)流計(jì)算公式如下：

式中，Pj為第j個(gè)降雨量級(jí)區(qū)間的平均值；A為新安江水庫(kù)流域控制面積；φt為第t時(shí)段新安江流域的產(chǎn)流系數(shù)；△t為時(shí)段長(zhǎng)度。在本模型中，將水庫(kù)各月的入流作為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量處理。

主要考慮如下的約束條件：

（1）水量平衡的約束條件；（2）泄流量及庫(kù)容限制條件；（3）電站出力限制；（4）水位水頭約束；（5）非負(fù)條件約束[5]。

3.2 求解步驟

①根據(jù)各月的預(yù)報(bào)降雨查找所對(duì)應(yīng)的實(shí)際降雨各區(qū)間的條件概率 Tj，t（P實(shí)|P預(yù)）， 且將各區(qū)間降雨量級(jí)的平均值作為不同條件概率下的降雨代表值，進(jìn)行產(chǎn)流計(jì)算，求出m個(gè)天然流量值St（j）。

②對(duì)水庫(kù)的每個(gè)初蓄狀態(tài)利用0.618法優(yōu)選決策放水流量QF（l），對(duì)每一個(gè)天然來(lái)水流量St（j），由水量平衡方程式計(jì)算時(shí)段末狀態(tài)的水庫(kù)蓄水量Vt（j），由出力公式計(jì)算水電站當(dāng)前時(shí)段的出力值 Nl，t（ j）； 由 Vt（ j）查累計(jì)出力遞推曲線求出余留時(shí)期累計(jì)出力的最大值，將當(dāng)前時(shí)段電站出力加上對(duì)應(yīng)的余留時(shí)期累計(jì)出力的最大值，得到當(dāng)前時(shí)段至計(jì)算期末水電站累計(jì)出力。對(duì)應(yīng)的m個(gè)天然來(lái)水量可求出m個(gè)這樣的累計(jì)出力，并計(jì)算這m個(gè)累計(jì)出力的期望值。根據(jù)0.618法依此尋優(yōu)，可得到水電站當(dāng)前時(shí)段至計(jì)算期末累計(jì)出力期望值的最大值[5-6]。

③按照上述步驟，對(duì)每個(gè)初始狀態(tài)都可以計(jì)算出一個(gè)最優(yōu)發(fā)電放水量，依此遞推至第一個(gè)時(shí)段，得到的各時(shí)段不同狀態(tài)的最優(yōu)發(fā)電放水決策就組成水電站的最優(yōu)發(fā)電放水策略。

4 實(shí)例計(jì)算及分析

根據(jù)隨機(jī)優(yōu)化調(diào)度模型形成的新富梯級(jí)水庫(kù)的最優(yōu)發(fā)電放水策略，對(duì)水庫(kù)進(jìn)行模擬調(diào)度。并且，在同等條件，分別利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃[7]、基于粒子群的優(yōu)化算法（PSO-POA）和遺傳蟻群混合智能算法（GAA）[8]建立基于預(yù)報(bào)的確定性優(yōu)化調(diào)度模型，形成最優(yōu)的預(yù)報(bào)放水策略，與新安江實(shí)際降雨結(jié)合進(jìn)行水庫(kù)的模擬運(yùn)行。

由于不同的調(diào)度模型優(yōu)化形成的預(yù)報(bào)調(diào)度策略不同，根據(jù)預(yù)報(bào)放水策略進(jìn)行實(shí)際水庫(kù)的模擬運(yùn)行也就不一樣，這導(dǎo)致不同模型模擬的水庫(kù)時(shí)段末水位不一致。為了對(duì)不同模型形成的發(fā)電效益進(jìn)行客觀比較，本文以水庫(kù)蓄水量形成的電能進(jìn)行總效益的修正，即將最終的年末水位均折算至同一水位，計(jì)算這部分庫(kù)容可能產(chǎn)生的發(fā)電量，進(jìn)行模擬運(yùn)行的修正。這里以新安江1990年實(shí)際的運(yùn)行年末水位99.447m作為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行模擬電量的修正，各種調(diào)度模型的計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表5和表6。新安江水庫(kù)不同調(diào)度模式的運(yùn)行水位對(duì)比圖見(jiàn)圖5。

表5 新富梯級(jí)水庫(kù)基于確定性優(yōu)化調(diào)度放水策略與實(shí)際降雨組合下模擬成果表

表6 新富梯級(jí)水庫(kù)基于貝葉斯理論的隨機(jī)優(yōu)化調(diào)度放水策略與實(shí)際降雨組合下模擬成果表

圖5 新安江水庫(kù)不同調(diào)度模式水位對(duì)比圖

由表5和表6可見(jiàn)，基于貝葉斯理論的隨機(jī)優(yōu)化調(diào)度模型計(jì)算的新富梯級(jí)模擬發(fā)電量均大于幾種確定性優(yōu)化調(diào)度模型的計(jì)算結(jié)果，比確定性模型平均增加了4.47%。由圖5可以看出，基于貝葉斯理論的調(diào)度模型模擬的水庫(kù)運(yùn)行水位較高，進(jìn)行中長(zhǎng)期調(diào)度時(shí)，運(yùn)行水頭大，發(fā)電量大，在預(yù)報(bào)來(lái)水準(zhǔn)確率偏低的情況下，能為決策者提供更好更合理的調(diào)度方案。

5 結(jié) 語(yǔ)

本文以新富梯級(jí)水庫(kù)為例，針對(duì)目前預(yù)報(bào)來(lái)水精度偏低的現(xiàn)狀，對(duì)預(yù)報(bào)誤差進(jìn)行分析，并統(tǒng)計(jì)計(jì)算實(shí)際來(lái)水的條件概率，以此作為優(yōu)化調(diào)度的輸入條件。通過(guò)引入貝葉斯理論，提出了基于貝葉斯理論的水庫(kù)隨機(jī)優(yōu)化調(diào)度模型，并利用隨機(jī)動(dòng)態(tài)規(guī)劃的遞推思路進(jìn)行模型的求解。在基于貝葉斯理論的隨機(jī)優(yōu)化調(diào)度模型的實(shí)例計(jì)算中，取得了較好的效果。當(dāng)實(shí)際來(lái)水與預(yù)報(bào)來(lái)水偏差較大時(shí)，過(guò)于依賴于預(yù)報(bào)來(lái)水進(jìn)行水庫(kù)調(diào)度將會(huì)產(chǎn)生較大的偏差，這對(duì)水庫(kù)的合理運(yùn)行造成了一定的負(fù)面影響?；谪惾~斯理論的隨機(jī)優(yōu)化調(diào)度模型考慮了預(yù)報(bào)偏差，合理地弱化小概率事件的負(fù)面影響，為決策者進(jìn)行水庫(kù)的運(yùn)行調(diào)度提供了一個(gè)新的思路，應(yīng)用前景廣泛。

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