基于應變狀態(tài)的巖石損傷演化模型

張 萊,陸桂華

(河海大學水文水資源學院,江蘇南京 210098)

巖體損傷的宏觀和細觀研究均表明,由局部應力集中或局部變形不協(xié)調(diào)引起的損傷局部化是節(jié)理巖體損傷的一個重要特征[1-4].很多學者對損傷局部化進行了研究:周小平等[5]研究微裂紋方位角為Weibull分布和微裂紋長度的分布密度函數(shù)為Rayleigh函數(shù)時對損傷局部化影響;劉元高等[6]采用概率統(tǒng)計方法分析節(jié)理裂隙巖體的幾何特征,定義了反映節(jié)理裂隙巖體幾何特征的組構(gòu)張量;趙吉東等[7]提出一種包含應變梯度項的損傷力學模型,并將其應用于材料的局部化損傷模擬預測中.基于幾何特征統(tǒng)計的損傷張量難以描述節(jié)理巖體損傷局部化現(xiàn)象[8],因此亟須建立一種基于應力或應變等力學參量的損傷張量來描述這種損傷局部化現(xiàn)象.本文基于材料的應變狀態(tài)建立損傷張量,并根據(jù)彈脆性本構(gòu)關系和相應的屈服準則推導損傷演化方程,以研究巖石材料的損傷效應.

1 一維損傷變量及損傷演化方程

引入Lemaitre損傷變量

式中:D——一維損傷變量;ε——軸向應變;εc——包含殘余應變的容許值;n——表征材料脆性的參數(shù),n越大,材料脆性越強.

觀察損傷張量的定義,損傷狀態(tài)與應變狀態(tài)相關,損傷的演化取決于應變狀態(tài)的變化,應變狀態(tài)的變化又與損傷狀態(tài)有關.一維狀態(tài)的損傷演化方程可以在主應力空間擴展到三維.如圖1所示,εc為當n→∞時的彈性應變上界值,包括破壞前應變和破壞后的殘余應變.

對于脆性巖石材料而言,在裂紋尖端的局部區(qū)域內(nèi),可能不會出現(xiàn)塑性屈服,而是脆性破壞后的微小碎末區(qū)域包含在未破壞的完整巖石之中.因此在描述損傷演化的時候不能認為巖石破壞后仍然具有承載的能力,殘余應變也就無從談起.式(1)的εc應當去除殘余應變.去除殘余應變后的殘余應變?nèi)菰S值就等于峰值應力對應的應變.因此,采用最大拉應變準則來判定材料是否破壞是合適的.

圖1 損傷材料的應力應變關系[9]Fig.1 Relationship between stress and strain for damaged materials[9]

臨界狀態(tài)為

式中:ε——應變分量;εc——容許拉應變.當ε=εc時,材料破壞.εc取單軸拉伸試驗的極限破壞應變.

2 三維損傷變量及演化方程

試驗表明,混凝土材料在單軸壓縮時的損傷是張應力引起的,損傷方向與載荷方向正交,這表明混凝土的損傷是各向異性或正交各向異性的[10].堅硬巖石材料與混凝土材料性質(zhì)相似,可以認為巖石材料的損傷是正交各向異性的.在主應力空間,假定應力主軸、應變主軸和損傷主軸互相重合.材料初始狀態(tài)是各向同性線彈性體,損傷后表現(xiàn)出正交各向異性性質(zhì).在此假定下,損傷張量D和應力張量σ均為二階張量.設3個主損傷分量為D1,D2,D3,則根據(jù)熱力學第二定律、一維損傷的定義式(1),(2)及損傷變量的物理意義,有

式中ν為泊松比.

在單軸壓縮狀態(tài)(σ1＞0,σ2=σ3=0),有 ε1＞0,ε2=ε3=ε′,ε′＜0,則式(3)變?yōu)?/p>

從巖石試件的單軸壓縮試驗觀察到,試件破壞的方向大體與壓應力方向一致.這與式(4)D1＜D2=D3相符.另外,按式(4)σ3方向也有損傷.這是因為當微裂紋出現(xiàn)后,微裂紋的方向并不完全是破壞時的宏觀裂紋方向,初始微裂紋的方向存在一定的隨機性,這也正是D1的含義.在數(shù)量上,D1遠遠小于D2和D3.這從圖2D1和D2的敏感性曲線可明顯看到.

圖2 D1與D2的敏感性曲線Fig.2 Sensitivity curves for D1and D2

3 彈脆性材料損傷本構(gòu)方程

無損狀態(tài)下柔度矩陣為

式中λ,G為拉梅常數(shù)和剪切模量:

因此在主應力方向上有

根據(jù)Sidoroff提出的能量等價原理[11],對損傷材料,柔度張量?Eij為

式中Eij為無損彈性張量.考慮式(5)及式(6),得

則由廣義虎克定律及式(7)推出彈脆性損傷材料的本構(gòu)關系為

式中:σ1,σ2,σ3——3 個主應力分量;ε1,ε2,ε3——主應變分量;D1,D2,D3— —相應于 3 個主應力方向的損傷分量;E——彈性模量.因為D1≠D2≠D3,因此共5個獨立變量.

4 計算實例

在PowerStationV4.0平臺上編制了水力劈裂有限元程序的力學模塊FEM3_Damage.f 90.選用的計算實例模型尺寸為S×W×B=40cm×10cm×5cm的混凝土三點彎曲梁[12],在上側(cè)中點處作用一集中力P,計算簡圖與網(wǎng)格剖分見圖3.有關的力學參數(shù)如下:D0=0.048,E0=32.7GPa,ν=0.167,n=25.

圖3 三點彎曲梁及網(wǎng)格Fig.3 Three-point bending beams and grids

模型共劃分220個單元,506個節(jié)點.在兩端下角點鉸接約束.施加載荷P=6.25kN,分25個載荷步,逐漸加載.荷載步選為0.25kN,即 ΔP=0.25kN.P=2.75kN(第 11步),P=4.0kN(第16步)和P=6.0kN(第24步)時水平方向的應力場見圖4.圖5為在ANSYSR5.5平臺計算得到的不考慮損傷時的彈性水平應力場(加載P=6.25kN).

為驗證損傷模型,取文獻[9]的損傷模型(演化方程),編入同一計算程序,同時計算,并考察計算結(jié)果,以作比較.

圖4(b)與(e)相比可見,在P=4.0kN時在梁的底部,圖4(e)的水平應力已出現(xiàn)不連續(xù),說明本文模型在計算中出現(xiàn)損傷要遲于文獻[9]的模型.而一旦損傷出現(xiàn),便很快破壞.水平應力的不連續(xù)性,是受損傷產(chǎn)生的裂縫的影響.從圖4兩個模型的比較可見,在載荷較小時,本文模型的極限水平應力與文獻[9]模型相當(圖4(a)與(d)),并隨著載荷的增加,極限應力水平從略小于文獻[9]模型(圖4(b)與(e))到差別有增大的趨勢(圖4(c)與(f)).這意味著本文模型有更快的損傷演化速度,這正是脆性巖石的性質(zhì).

圖6表示損傷出現(xiàn)在梁下部受拉區(qū)域,說明遵循最大拉應變破壞準則的損傷變量能夠比較準確地描述3點彎曲梁損傷發(fā)展的狀態(tài).梁端的損傷是因為考慮3個方向應變的損傷演化方程,應變分量對損傷變量具有交叉貢獻.

圖7為文獻[9]模型和本文模型計算得到的梁縱向位移的曲線,可見本文模型縱向位移略大.這與圖4(c)與(f)最大水平應力的比較是一致的.本文模型計算得到的損傷要大于文獻[9]的損傷,導致梁的剛度較小,因此撓度較大.但是差別值很小,2個模型計算結(jié)果是接近的.

圖4 各載荷步水平向應力等值線(單位:kPa)Fig.4 Contours of horizontal stress for various loading steps

圖5 不考慮損傷的水平向應力(用ANSYSR5.5計算,單位:kPa)Fig.5 Horizontal stress without consideration of damage(calculated by ANSYSR 5.5)

圖6 第22步(P=5.5kN)時的損傷變量Fig.6 Damage variables at 22ndstep(P=5.5kN)

5 結(jié) 論

巖石的破壞,單就力學效應來講,是巖石受力超過其所能承受的最大值,巖石破裂.巖石破裂的直接原因是應變超過極限值,巖石內(nèi)部從局部開始產(chǎn)生微裂紋.微裂紋的擴展和相互連通使得損傷增強,并且進一步增強損傷的局部化,直至形成宏觀裂紋,最終導致巖石破壞.

但是,當巖石被作為均勻介質(zhì)時,基于統(tǒng)計方法的損傷力學很難真實描述巖石損傷的局部化現(xiàn)象.本文基于應變的損傷變量與有關模型的相關損傷模型比較,損傷的發(fā)展越快,也就越適合于描述巖石的脆性性質(zhì).

圖7 三點彎曲梁撓度的比較Fig.7 Comparison among of deflections of three-points bending beams

巖石損傷的最后結(jié)果是巖石斷裂破壞,基于連續(xù)介質(zhì)力學體系的損傷力學還不能準確描述巖石的斷裂過程以及斷裂狀態(tài).將損傷和斷裂理論相結(jié)合來研究巖石的破壞過程還有待于深入研究,損傷因子和斷裂指標的結(jié)合以及由損傷到斷裂的物理機制是斷裂損傷聯(lián)合研究的重點,也是難點.

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