基于小波去噪的微弱信號(hào)提取

劉正平，馮召勇，楊衛(wèi)平

(華東交通大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，南昌 330013)

0 引言

微弱信號(hào)檢測(cè)和提取是近年來(lái)興起的關(guān)于提取和測(cè)量強(qiáng)噪聲背景下微弱信號(hào)的方法，也是信號(hào)處理領(lǐng)域中經(jīng)常遇到的問(wèn)題。在工程應(yīng)用中，往往存在著有用信號(hào)較弱，而噪聲較強(qiáng)的情況，例如在機(jī)械故障檢測(cè)與診斷中，當(dāng)機(jī)器發(fā)生故障時(shí)，若機(jī)器中潛伏著某一零部件的早期微弱缺陷時(shí)，該缺陷信息被其它零部件的運(yùn)行振動(dòng)信號(hào)和隨機(jī)噪聲所淹沒(méi)。為了有效地提取弱故障信息，實(shí)現(xiàn)早期診斷，可以用小波分析理論，對(duì)信號(hào)進(jìn)行小波分解，把信號(hào)分解為各個(gè)頻段的信號(hào)，再根據(jù)診斷的目的選取包含所需零部件故障信息的頻段序列，進(jìn)行深層信息處理以查到機(jī)器的故障源。小波變換是一種新的變換分析方法，通過(guò)變換能夠充分突出問(wèn)題某些方面的特征，利用小波變換良好的時(shí)頻特性，可以在低信噪比情況下提取信號(hào)的波形信息。

1 小波變換的原理

1.1 小波變換的定義

設(shè)f(t)是平方可積函數(shù)，即則該連續(xù)函數(shù)的小波變換定義為[1]：

小波能夠消噪主要由于小波變換具有如下特點(diǎn)：

低熵性。小波系數(shù)的稀疏分布，使信號(hào)處理后的熵降低。

多分辨特性。由于采用了多分辨的方法，所以可以非常好地刻畫(huà)信號(hào)的非平穩(wěn)性，如突變和斷點(diǎn)等，可以在不同分辨率下根據(jù)信號(hào)和噪聲的分布來(lái)去除噪聲。

去相關(guān)性。小波變換可對(duì)信號(hào)去相關(guān)，且噪聲在變換后有白化趨勢(shì)，所以小波域比時(shí)域更有利于去噪。

基函數(shù)選擇更靈活。小波變換可以靈活選擇基函數(shù)，也可以根據(jù)信號(hào)特點(diǎn)和降噪要求選擇多帶小波、小波包等，對(duì)不同的場(chǎng)合，可以選擇不同的小波基函數(shù)。

1.2 含噪信號(hào)模型假設(shè)

假設(shè)一個(gè)含噪的一維信號(hào)的模型為：

其中s(k)號(hào)，f(k)為有用信號(hào)，e(k)為噪聲信號(hào)。通常e(k)表現(xiàn)為高頻信號(hào)，而工程實(shí)際中f(k)通常表現(xiàn)為低頻信號(hào)，或者是一些比較平穩(wěn)的信號(hào)。噪聲e(k)一般假設(shè)成是一個(gè)平穩(wěn)的高斯白噪聲，其小波系數(shù)的平均功率與尺度成反比。小波變換的目的就是要抑制e(k)以恢復(fù)f(k)。

1.3 小波分解與重構(gòu)法去噪的過(guò)程

小波變換運(yùn)用在信號(hào)降噪處理中，主要是針對(duì)信號(hào)經(jīng)小波變換后在不同分辨率下呈現(xiàn)不同規(guī)律，在不同分辨率下設(shè)定不同閾值門(mén)限，調(diào)整小波系數(shù)，達(dá)到降低噪聲的目的。所以降噪過(guò)程可按以下方法進(jìn)行處理[2]：

1) 對(duì)信號(hào)進(jìn)行小波分解。選擇一個(gè)小波并確定分解的層次，然后進(jìn)行分解計(jì)算；

2) 小波分解高頻系數(shù)的閾值量化。對(duì)各個(gè)層次尺度下的高頻系數(shù)選擇一個(gè)閾值進(jìn)行閾值量化處理；

3) 一維小波重構(gòu)。根據(jù)小波分解的最底層低頻系數(shù)和各層高頻系數(shù)進(jìn)行一維小波重構(gòu)，根據(jù)小波分解的第N層低頻系數(shù)和經(jīng)過(guò)量化后的1至N層高頻系數(shù)進(jìn)行小波重構(gòu)，達(dá)到降低噪聲檢測(cè)出有用信號(hào)的目的。

2 閾值濾波方法

2.1 閾值去噪的三種方法

用Matlab進(jìn)行小波降噪時(shí)，基于閾值的選取和閾值化后的處理不同，信號(hào)的去噪方法可以分為三種[3]：默認(rèn)閾值去噪、強(qiáng)制閾值去噪和獨(dú)立閾值去噪三種方法。

默認(rèn)閾值消噪處理。在Matlab中利用ddencmp函數(shù)產(chǎn)生信號(hào)默認(rèn)閾值，然后利用該閾值設(shè)置的門(mén)限對(duì)噪聲信號(hào)進(jìn)行消噪處理。

強(qiáng)制消噪處理。該方法是將小波分解結(jié)構(gòu)中的高頻系數(shù)全部置為零，即濾掉所有高頻部分，然后對(duì)信號(hào)進(jìn)行小波重構(gòu)。這種方法比較簡(jiǎn)單，且消噪后的信號(hào)比較平滑，但是容易丟失信號(hào)中的有用成分。

獨(dú)立閾值去噪。在實(shí)際的消噪過(guò)程中，閾值往往可通過(guò)經(jīng)驗(yàn)獲得，且這種閾值比默認(rèn)值的可信度高，在進(jìn)行閾值量化處理時(shí)可用函數(shù)wthresh。

在小波分析用于降噪的過(guò)程中，核心的步驟就是在系數(shù)上作用閾值，因?yàn)殚撝档倪x取直接影響降噪的質(zhì)量。在獨(dú)立閾值消噪處理中，主要有以下四種閾值選取規(guī)則：

1) 基于無(wú)偏似然估計(jì)的軟閾值估計(jì)。采用無(wú)偏似然理論進(jìn)行自適應(yīng)閾值選擇，是對(duì)給定閾值T進(jìn)行似然估計(jì)，并對(duì)似然函數(shù)最小化來(lái)得到所需要的閾值。

2) 長(zhǎng)度對(duì)數(shù)閾值(sqtwolog規(guī)則)。采用固定閾值形式，閾值的大小通過(guò)以下公式確定：

式中，σ為噪聲的標(biāo)準(zhǔn)方差，N為高頻小波系數(shù)的長(zhǎng)度。

3) 最小極大方差閾值方法（minimaxi）規(guī)則。其為固定閾值，選擇的原理是按最小均方誤差法則進(jìn)行的。

4) 啟發(fā)式閾值方法(heursure規(guī)則)?；赟URE產(chǎn)生閾值，采用最優(yōu)預(yù)測(cè)變量進(jìn)行閾值選擇，適用于具有大噪聲，低信噪比的情況。

在小波消噪過(guò)程中，無(wú)論選擇那種閾值規(guī)則，都必須根據(jù)具體應(yīng)用來(lái)選擇一種合適的閾值來(lái)達(dá)到理想的去噪效果。

2.2 在Matlab中的實(shí)現(xiàn)原理

Matlab小波分析工具箱中提供了用于一維信號(hào)小波分解的wavedec()函數(shù)，它的調(diào)用格式為：

[C,L]=wavedec(x,n,’wname’)；

該函數(shù)中x為原始信號(hào)，n為分解步數(shù)，wname為所選基小波名稱(chēng)，分解得到C和L兩個(gè)向量。函數(shù)返回的近似和細(xì)節(jié)都存放在C中，L存放的是近似和各階細(xì)節(jié)系數(shù)對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)度。小波分解在Matlab中的存儲(chǔ)方式如圖1所示[4]。

圖1 小波分解在Matlab中的存儲(chǔ)方式

根據(jù)分解后的C向量和L向量，分別由appcoef()

和detcoef()函數(shù)提取近似系數(shù)cA和細(xì)節(jié)系數(shù)cD，再由所得近似系數(shù)和細(xì)節(jié)系數(shù)重建原信號(hào)，則可以略去部分噪聲信息。信息重建的函數(shù)在Matlab中使用wrcoef()實(shí)現(xiàn)。它們的調(diào)用格式分別為：

cAn=appcoef(C,L,fun,n)；

cDi=detcoef(C,L,I)；

x=wrcoef (類(lèi)型,C,L,fun,n)；

其中，“類(lèi)型”選擇a和d，以確定是近似小波系數(shù)還是細(xì)節(jié)小波系數(shù)來(lái)進(jìn)行原信號(hào)重建。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

在本文中采用Daubechies(dbN)小波[5]。Daubechies小波是由世界著名的小波分析學(xué)者Inrid Daubechies構(gòu)造的小波函數(shù)，一般簡(jiǎn)寫(xiě)為dbN，N是小波的階數(shù)。

Daubechies小波有非常重要的性質(zhì)，它不僅是連續(xù)的和正交的，而且是支集最小的。因此這種小波的濾波器系數(shù)個(gè)數(shù)少，在分解與重構(gòu)算法中所需的計(jì)算量少，這在信號(hào)的實(shí)時(shí)處理中非常重要。

對(duì)小波去噪的仿真采用Matlab工具來(lái)完成，進(jìn)行小波降噪時(shí)采用上述3種閾值處理方法來(lái)對(duì)比進(jìn)行消噪處理。下面利用小波分解與重構(gòu)去噪法對(duì)含噪聲故障信號(hào)進(jìn)行實(shí)例分析，如圖2所示：

圖2 被測(cè)試的原始信號(hào)圖

強(qiáng)制閾值法和默認(rèn)閾值法的處理結(jié)果分別見(jiàn)圖3和圖4，從圖中可以知道，默認(rèn)閾值法和強(qiáng)制閾值法處理的結(jié)果基本上是一致的，在實(shí)際應(yīng)用中默認(rèn)閾值消噪法應(yīng)用更為廣泛。

圖3 強(qiáng)制閾值法去噪后的信號(hào)

圖4 默認(rèn)閾值法去噪后的信號(hào)

獨(dú)立閾值法是根據(jù)不同需要，選取與默認(rèn)閾值不同的值，然后用重建算法進(jìn)行消噪重建。由于通過(guò)選取不同的閾值，可以相應(yīng)地保留高頻中對(duì)信號(hào)有用的部分，這樣可以提高信號(hào)有效信息的恢復(fù)程度，但是這種方法實(shí)施起來(lái)相對(duì)較難。因?yàn)殚撝档倪x取好壞直接關(guān)系到信號(hào)恢復(fù)的程度，且閾值的選取也較難，在實(shí)際消噪處理中，閾值往往可以通過(guò)經(jīng)驗(yàn)公式獲得，而且這種閾值比默認(rèn)閾值有可信度。獨(dú)立閾值法的處理結(jié)果見(jiàn)圖5。

圖5 獨(dú)立閾值法去噪后的信號(hào)

強(qiáng)制閾值法、默認(rèn)閾值法和獨(dú)立閾值法都是小波分解和重構(gòu)去噪法的應(yīng)用，它們?cè)谠砩鲜窍嗤?，只是在具體實(shí)現(xiàn)的過(guò)程中，它們的閾值選取方法有所不同。從處理結(jié)果來(lái)看，強(qiáng)制閾值消噪法和默認(rèn)閾值消噪法處理的效果較為一致，相對(duì)來(lái)說(shuō)，獨(dú)立閾值法根據(jù)閾值的選取不同，去噪效果會(huì)有所不同。當(dāng)強(qiáng)制閾值法處理不能滿(mǎn)足要求時(shí)，應(yīng)該考慮獨(dú)立閾值法，雖然實(shí)現(xiàn)起來(lái)較困難，但是在有經(jīng)驗(yàn)的前提下，會(huì)有助于去噪處理，并能取得比前面兩種方法更好的去噪效果，閾值的選取直接影響到最后的去噪效果，閾值選取太大或太小，都不利于噪聲的去除。

4 結(jié)論

小波變換本質(zhì)上是一濾波過(guò)程，但它優(yōu)于傳統(tǒng)的濾波方法，運(yùn)用小波分解與重構(gòu)法對(duì)微弱故障信號(hào)處理的結(jié)果表明：小波變換方法可以根據(jù)信號(hào)和噪聲的不同特性進(jìn)行非線(xiàn)性濾波，在改善信噪比的同時(shí)，具有很高的時(shí)間(位置)分辨率，而且對(duì)信號(hào)的形式不敏感，這是傳統(tǒng)的濾波方法所無(wú)法比擬的，因此，小波變換方法特別適合于弱信號(hào)的檢測(cè)和提取，隨著小波變換理論的完善，小波變換方法將會(huì)有更廣泛的應(yīng)用前景。

[1] 史習(xí)智.信號(hào)處理與軟計(jì)算[M].北京:高等教育出版社, 2003.

[2] 高成.Matlab小波分析與應(yīng)用[M].北京:國(guó)防工業(yè)出版社,2007.

[3] 張仁輝,杜民.小波分析在信號(hào)去噪中的應(yīng)用[J].計(jì)算機(jī)仿真,2005,22(8):69-72.

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[5] 高友蘭.數(shù)值積分的Daubechies小波方法[J].江南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2009,8(1):122-125.