調(diào)用伽瑪函數(shù)實現(xiàn)變厚齒強(qiáng)度的概率可靠性調(diào)優(yōu)計算

張楓念

東風(fēng)汽車傳動軸有限公司

1 偏置設(shè)計的變厚齒

在以往進(jìn)行可靠性設(shè)計計算時,在計算得出可靠性系數(shù)后,還再要查表,才能得出可靠度值。因為直接計算時,其中的拉普拉斯函數(shù)是很麻煩的,為了手算方便,列出標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布數(shù)值表供使用是很必要的,這樣可減少許多計算工作量。然而這種做法在用計算機(jī)作可靠性調(diào)優(yōu)計算時是很不理想的,它會阻礙計算機(jī)的自動高效的調(diào)優(yōu)計算?，F(xiàn)在可通過編程,在計算機(jī)上調(diào)用伽瑪函數(shù)實現(xiàn)變厚齒可靠性調(diào)優(yōu)計算。因為在偏置設(shè)計的變厚齒強(qiáng)度的計算中,可以只用變動一個參數(shù),即變動偏移距bom就能改變強(qiáng)度校核的安全系數(shù)和概率可靠性設(shè)計中的可靠度。

所以用它來說明調(diào)用伽瑪函數(shù)實現(xiàn)變厚齒強(qiáng)度的概率可靠性調(diào)優(yōu)計算,是最為恰當(dāng)?shù)睦印Ｆ迷O(shè)計即為有一寬度為b的扇齒,此時扇齒的零變位系數(shù)截面即O-O截面在小端一側(cè),形成bom＞0時,則此扇齒是偏置設(shè)計,它能提高扇齒強(qiáng)度,見圖1所示。若取bom=0,為不偏置,此時零變位截面O-O與扇齒中間截面m-m重合,稱其為正置設(shè)計。任意某端截面q-q處的變位系X(q)即如下求得：X(q)=(S(q)×tgδ)/m;S(q)為距離(mm)是端截面q-q處與O-O截面的距離,它在 0～b/2范圍內(nèi)變動,δ為切削角,m為模數(shù),此式可計算各不同截面的的變位系數(shù),以及齒形參數(shù)。最后本文還對現(xiàn)代可靠性設(shè)計,如何建立在我們已積累了較多經(jīng)驗的強(qiáng)度校核基礎(chǔ)上作了探討。

圖1 偏置設(shè)計Fig.1 Offset design

2 變厚齒齒根彎曲強(qiáng)度校核計算

因為可靠性計算所應(yīng)用的應(yīng)力、強(qiáng)度的數(shù)學(xué)模型都是應(yīng)用原來在機(jī)械零件強(qiáng)度校核計算中的數(shù)學(xué)模型。所以在進(jìn)行變厚齒齒根彎曲強(qiáng)度概率可靠性計算之前,我們把變厚齒齒根彎曲強(qiáng)度校核計算的數(shù)學(xué)模型和校核方法作一介紹是很有必要的。

現(xiàn)在我們先建立直齒變厚齒的強(qiáng)度計算方法,由于此變厚齒是轉(zhuǎn)向器搖臂軸上的變厚齒,是屬于慢速大載荷的傳動件,從以往實際使用中出現(xiàn)的失效形式得知 ,設(shè)計搖臂軸齒扇需計算扇齒的齒根彎曲強(qiáng)度,現(xiàn)提出如下方法。

(1)首先提出一個假設(shè) ：

因為直齒變厚齒齒扇的幾何特點就是各端截面的變位系數(shù)都不相同,齒廓大小也不相。因此,在這樣的扇齒上沿齒寬的載荷分布是不均等的,沿齒寬的剛度大小也是不一樣的。我 們假設(shè)扇齒上載荷分布的大小是與其對應(yīng)的剛度成正比,而各端截面的剛度是與各截面的分度圓齒厚S成正比。變厚齒的分度圓半徑r,是該齒扇的一個常量,而分度圓齒S在同一齒扇的齒寬上是變化的,大端齒厚SL最大,小端齒厚SS最小。見圖1所示。

式中 ：m=齒扇模數(shù);z齒扇全齒數(shù)

α—齒扇壓力角;XL、XS—大小端變位系數(shù)。

因此扇齒的合力作用點可通過計算獲得 。從圖2知,如果Sx把大梯形分成兩個面積相等的小梯形,即建立一方程式：為大梯形面積等于兩個相同面積的小梯形。

圖2 假設(shè)扇齒上載荷分布Fig.2 Gear load distribution on the assumption that

為了便于計算把上面等底角梯形改成有一底角為直角的梯形,其面積不變,把現(xiàn)有已知的參數(shù)代入即得：

展開整理得：

即得：

式中G=arc tan(SS+SL)/b

設(shè)y?b處為合力作用點。y—合力距大端系數(shù),y=bxl/b

現(xiàn)以模數(shù)m=3～6的循環(huán)球轉(zhuǎn)向器為例,對常見的三種參數(shù)組合試求y值如表1所示。

表1 常見的三種參數(shù)組合試求 y值Table 1 Common make up of three parameters demand y

表中：m模數(shù),Z全齒數(shù),α°壓力角,δ°切削角,b/m齒寬系數(shù)合力y距大端系數(shù)。由上表知,切削角δ對y值的影響較大;當(dāng)切削角δ變小,齒厚變化趨于平緩,y趨向 0.5即向齒寬中間移動,而模數(shù)m對y值的影響不大。從以上表1知y值的范圍為：y=0.4538～0.4463。

因此,在簡化計算時即可取 y=0.5,即將作用在齒寬中點的合力作計算載荷。并以齒寬中間端截面作為圓柱齒扇的截面,b為齒寬,以此作一圓柱齒扇 ,即構(gòu)成一個變厚齒扇的當(dāng)量齒扇。而這個圓柱齒扇即可按標(biāo)準(zhǔn)GB3480漸開線圓柱齒輪承載能力計算方法進(jìn)行計算 。

(2)齒扇的兩種載荷

1)名義載荷

在汽車轉(zhuǎn)向器總成技術(shù)條件里規(guī)定,轉(zhuǎn)向器疲勞試驗時需在搖臂軸上施加額定輸出扭矩T(即是垂臂球銷上的載荷),這就是齒扇的名義扭矩載荷。

式中：L1—搖臂兩孔中心距(m);G1—汽車的前軸載荷(N),名義載荷力Ft=2000T/d(N)

式中：d—分度圓直徑(mm),Ft—中間端面內(nèi)分度圓圓周上的名義切向力即圓周力(N)

2)計算載荷

由于轉(zhuǎn)向器在工作中會產(chǎn)生各種附加載荷,將這些附加載荷計入,就成為計算載荷,影響附加載荷的因素很多也較復(fù)雜,這里將按GB3480闡述彎曲強(qiáng)度的計算切向力

式中的各項附加系數(shù)進(jìn)行逐項分析選取。

KA—使用系數(shù),考慮由于嚙合外部因素,引起的動力過載影響系數(shù),由路況不良造成較為頻繁的逆向加載是KA中的主因素,按其經(jīng)常行駛路況的優(yōu)劣取L=1.05～1.35之間,農(nóng)用車、礦用車、越野車取大些。偶爾有駛過溝槽楞坡等引起較大的逆向沖擊,則納入沖擊試驗范圍。

KV—動載系數(shù),是考慮齒扇嚙合時振動產(chǎn)生內(nèi)部附加載荷影響系數(shù),因齒扇的齒面加工精度為8級,工作時的速度又較慢,即使進(jìn)行疲勞試驗,也不大于每分鐘30次循環(huán),因此引起的附加載荷是很小的,故取KV=1～1.05。

KFβ—齒向載荷分布系數(shù),從大多數(shù)轉(zhuǎn)向器的結(jié)構(gòu)看,齒扇的中線與兩支承的對稱中心都不重合,大多存有一偏距S,若兩支承距為L,比值S/L＞0.1即為非對稱結(jié)構(gòu),此時KFβ用下式計算得

冪指數(shù)

式中：h—齒高。

KFα—齒間載荷分配系數(shù),由于搖臂軸齒扇的重合度較低,若以齒扇中間端截面處的重合度。εam如表2所示。

一般εr=1.1～1.35取KFa=1～1.02

(3)齒根彎曲強(qiáng)度計算

若將扇齒看成寬為b的懸臂梁,不計摩擦力的作用,則作用于齒頂?shù)目傋饔昧bt

由嚙合線可分解為切向力Fbt? cosα Fat和徑向力Fbt?Sinα Fat切向力將引起齒根彎曲應(yīng)力σb徑向力則引起齒根壓應(yīng)力σc,而壓應(yīng)力比彎曲應(yīng)力小得多。

表2 重合度εa m計算值Table 2 Overlap εa mCalculating Value

確定齒根危險剖面位置的方法有多種,這里采用30°切線法,由光彈應(yīng)力分析此法所確定的危險剖面位置比較符合實際。是符合α=20°的實際,而轉(zhuǎn)向器扇齒α=25°～27°居多,因而與實際尚存有一定的細(xì)微誤差。

1)由圖3知在齒根危險剖面上所受的彎矩

hFa—彎曲力臂,αFat—齒頂端面載荷作用角。

SFt—扇齒端面上的危險剖面齒厚。

圖3 30°切線法的齒根危險剖面Fig.3 30°tangent law Dedendum dangerous section

則名義齒根彎曲應(yīng)力σW,從 σW=M/W 從上面知

則名義彎曲應(yīng)力

分子分母均除以m2

令

2)齒形系數(shù)YFa的具體計算。

由表2知一般轉(zhuǎn)向器齒扇的重合度ε＜2,所以在計算齒根彎曲強(qiáng)度時計算齒形系數(shù)按GB3480要求選取YFa,按齒頂受載的那一種,即按表3計算

YFa是考慮當(dāng)載荷作用于齒頂時,齒形對名義彎曲應(yīng)力的影響。計算YFa,主要是要算出SFn、hFa及齒形系數(shù)YFa,可按表3算得,先設(shè)定刀具是采用無凸臺的齒條形刀具如圖4所示 。E—為刀齒對稱線的距離hf p—為齒條形刀具于刀齒厚Sc=(πm/2)處的刀齒齒頂高,即刀具的分度截面處的齒頂高,α—齒條刀具齒形壓力角 ,ρ f p—齒條形刀具齒頂兩圓角半徑。計算時的變位系數(shù)X取齒扇中間端截面的變位 系數(shù)x=Xm齒頂壓力角αa同樣也取中間端截面的齒頂壓力角為αa=αam,αam=arc cos(d b/dam),

圖4 刀具輪廓尺寸Fig.4 Contour Tool Size

dam—齒扇中間端截面處的齒頂圓直徑,db—基圓直徑。齒頂受載齒形系數(shù)YFa的有關(guān)計算公式

刀尖圓心至刀齒對稱線的距離E

輔助角值θ=(2G/Z)tgθ-H,用牛頓迭代法解,

初值θ=-H/(1-2G/Z)

危險剖面齒厚SFn

30度切點處曲率半經(jīng)/m ：

齒頂壓力角αav=Arc cos(rb/ra)

齒頂圓齒厚半角 γ α

彎曲力臂/m ：

齒形系數(shù)齒形系數(shù)yFa=[6(hfa/m)Cos(αFav)]/[(sf/m)2Cos(α1)]

3)應(yīng)力修正系數(shù)Ysa,載荷作用齒頂是的修正系數(shù),應(yīng)力修正系數(shù)Ysa。是將名義彎曲應(yīng)力換算成齒根局部應(yīng)力的系數(shù) 。它考慮了齒得過渡曲線處的應(yīng)力集中效應(yīng) ,以及彎曲應(yīng)力以外的其它應(yīng)力的影響 。齒根的局部應(yīng)力σFa

式中 ：La=SFa/hFa;qs=SFa/2ρ f

再用彎曲強(qiáng)度計算的重合度系數(shù)yε對上述局部應(yīng)力進(jìn)行修正成為齒根基本應(yīng)為σF0

yε一是將載荷由齒頂轉(zhuǎn)換到單對齒嚙合區(qū)上界點的系數(shù),對轉(zhuǎn)向器齒扇 、齒條嚙合的重合度都在1＜εam＜2的范圍內(nèi) ,則 yε可由下式算得,yε=0.25+0.75/εam(因為以上選齒頂受載齒形系數(shù)YFa中不包含重合度系數(shù);但計算齒根應(yīng)力基本值σF0時應(yīng)包括)

再考慮到載荷各系數(shù)的影響,齒根的計算應(yīng)力為

(4)許用齒根應(yīng)力σFp的計算

1)彎曲疲勞極限σFlim

根據(jù)齒扇所使用的材料,直接從GB3480中查取。σFlim值。材質(zhì)及熱處理均為優(yōu)良者取上限,否則相應(yīng)遞減。搖臂抽齒扇多為合金鋼進(jìn)行滲碳淬火,其硬化層深度δ≥0.15m(m為扇齒模數(shù)),硬度HRC58—62時,一般 σFlim=350-520 N/mm2。因為目前實際生產(chǎn)技術(shù)水平存有一定的離散性,下面的算例取σFlim=485～510

2)計算齒扇的許用齒根應(yīng)力σFp

由于所計算齒扇與標(biāo)準(zhǔn)中直接選取的σFlim值,存在試驗條件不同等因素,必須進(jìn)行相應(yīng)的修正,因此齒扇的許用齒根應(yīng)力為：σFP=(σFlim?yST?yNT/SFmin)?yδrelT?yRrelT?yX;式中：yST—選用 σFlim值的修正系數(shù),當(dāng)按GB3480標(biāo)準(zhǔn)選用 σFlim值時,規(guī)定yST=2.0

yNT—彎曲強(qiáng)度的壽命系數(shù),用來考慮當(dāng)齒輪只要求有限壽命 N＜3×106時,齒扇的許用齒根應(yīng)力可以提高的系數(shù)?，F(xiàn)行的汽車轉(zhuǎn)向器總成質(zhì)量分等標(biāo)準(zhǔn)QC/T29.098,規(guī)定轉(zhuǎn)向器疲勞試驗的循環(huán)次數(shù),優(yōu)等品為2.5×106,一等品為2×106,合格品為1.5×106在計算時應(yīng)立足于高起點取NL=2.5×106次循環(huán)yNT=(3×106/NL)0.115

yδrelT—持久壽命時的相對齒根圓角敏感系數(shù),是考慮所計算的材料、幾何尺寸等對齒根應(yīng)力的敏感度與疲勞極限σFlim的求得有所不同,而引入的系數(shù)。系數(shù)yδrelT可按下式算得

式中 ρ′—材料滑移層厚度,滲碳淬火鋼 ρ′=0.003 mm

Xo—齒很危險剖面處的應(yīng)力梯度與最大應(yīng)力的比值。

Xo=1/5(1+qs),qs—齒根圓角參數(shù),qs=SFt/ρ f

XT試驗疲勞極限時齒根危險剖面處的應(yīng)力梯度與最大應(yīng)力的比值,XT≈1/5(1+qsT)GB3480推薦qsT=2.5

yRrelT—持久壽命時相對齒根表面狀況系數(shù),是考慮齒廓根部的表面狀況,主要是齒根圓角處的粗糙度對齒根彎曲度的影響,搖臂軸齒扇齒面粗糙度Rz=10-20之間,故可采用下式計算

yx—彎曲強(qiáng)度計算的尺寸系數(shù)yx,是考慮在尺寸增大(扇齒模數(shù)m＞5 mm)時,使材料強(qiáng)度降低的尺寸效應(yīng)系數(shù),主要影響因素是材料及其硬度和結(jié)構(gòu)尺寸。由GB3480彎曲強(qiáng)度計算的尺寸系數(shù)yx圖可知在扇齒模數(shù)m≤10時,yx=1

本例扇齒模數(shù)5 mm＜m＜8 mm,彎曲強(qiáng)度計算的尺寸系數(shù)yx=1

(5)彎曲強(qiáng)度的計算安全系數(shù)SF

本例齒根彎曲強(qiáng)度的校核計算到此就結(jié)束。

3 變厚齒齒根彎曲強(qiáng)度的概率可靠性計算

由以上所述知變厚齒齒根彎曲強(qiáng)度校核計算的計算量很大,世界各國也都有其相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn),如我國就有GB3480漸開線圓柱齒輪承載能力計算方法。由于是采用分離系數(shù)法可以把計算分成很多細(xì)項來研究,多少年來里面積累了無數(shù)前人的經(jīng)驗和研究成果,使計算方法變得比較完善、成熟。但計算量也越來越大。自從有了計算機(jī)輔助計算,大大減輕了強(qiáng)度校核的負(fù)擔(dān)。如果對分離系數(shù)的諸多細(xì)項建立了相關(guān)的隨機(jī)變量處理的機(jī)制和方法,并積累了足夠的隨機(jī)數(shù)據(jù)資料,便可以開展概率可靠性計算。

(1)變厚齒齒根彎曲正應(yīng)力概率模型

對于已知載荷作用于齒頂時齒根彎曲正應(yīng)力σF的計算公式如下：

齒根彎曲正應(yīng)力σF的分布規(guī)律尚無統(tǒng)一定論,這里定為服從對數(shù)正態(tài)分布,為齒根彎曲正應(yīng)力σF概率模型 。其 σF的均值

計算彎曲應(yīng)力σF的變異系數(shù)

齒間載荷分布系數(shù)變異系數(shù)Ckfα=0.033KFα;作用力變異系數(shù)Cft=0.049;使用系數(shù)變異系數(shù)Cka=0.046;速度系數(shù)變異系數(shù)Ckv=0.04;齒向載荷分布系數(shù)變異系數(shù)Ckfβ=0.033;齒間載荷分布系數(shù)變異系數(shù) Ckfα=0.033.

(2)變厚齒齒根抗彎曲疲勞強(qiáng)度概率模型齒扇的齒根抗彎曲疲勞強(qiáng)度σFp的計算公式如下：

這里設(shè)定為服從對數(shù)正態(tài)分布,為齒根抗彎曲疲勞強(qiáng)度σFp的概率模型,其σFp的均值

與變異系數(shù)CσFp分別為：滲碳淬火鋼彎曲疲勞極限σFlim的變異系數(shù)CσFlim=0.0813;彎曲疲勞極限應(yīng)力修正系數(shù)yST的變異系數(shù)CyST=0.047619;壽命系數(shù)yNT的變異系數(shù)CyNT=0.03;圓角敏感系數(shù)yδrelt的變 異 系數(shù) Cyδrelt=0.033;齒 根表 面 狀況 系 數(shù)yRrelt的變異系數(shù)CyRrelt=0.05;尺寸系數(shù) yx的變異系數(shù)Cyx=0.02;重合度系數(shù)變異系數(shù)Cyε1=0.0278