不定方程x2+y4=zn的一類非本原解

管訓(xùn)貴

(泰州師范高等?？茖W(xué)校 數(shù)理系, 江蘇 泰州, 225300)

不定方程x2+y4=zn的一類非本原解

管訓(xùn)貴

(泰州師范高等?？茖W(xué)校 數(shù)理系, 江蘇 泰州, 225300)

運(yùn)用初等方法證明了對于任何正奇數(shù)n，不定方程24nxyz+=都有無窮多組正整數(shù)解(,,)x y z，并且給出了該方程的一類非本原解(,,)x y z.

不定方程；正奇數(shù)；非本原解

1 引言及主要結(jié)論

2004年，M. A. Bennett和C. M. Skinner[1]證明了：當(dāng)n為大于4的偶數(shù)時(shí)，方程(2)無本原解(x,y,z).同年，J. S. Ellenberg[2]證明了：當(dāng)n有適合p≥211的奇素因數(shù)p時(shí)，方程(2)無本原解(x,y,z). 這2個(gè)結(jié)果的證明都要用到極其高深的數(shù)學(xué)理論. 不難發(fā)現(xiàn)，方程(2)是否有本原解，還需要考慮適合5≤ p ≤199的奇素?cái)?shù)p. 盡管只剩下有限的幾種情形，但討論起來卻十分困難.

2009年，樂茂華[3]用初等方法證明了：5n=時(shí)，方程(2)無本原解(,,)x y z，但證明過程相當(dāng)復(fù)雜，此外，還運(yùn)用了一些特殊的技巧. 看來要想解決其它情形，必須另辟蹊徑[4].

本文不涉及方程(2)的本原解，而給出n為正奇數(shù)時(shí)方程(2)的一類非本原解.

定理1 設(shè)m為非負(fù)整數(shù)，則方程：

2 關(guān)鍵性引理

3 定理的證明

令akb=(k為任意整數(shù))，則由引理1知：

對式(6)兩邊取復(fù)數(shù)模得：

由式(9)知，式(3)的一類非本原解為式(5).

定理得證.

[1] Bennett M A, Skinner C M. Temary Diophantine equation va Galois representations and modular forms[J]. Canada J Math, 2004, 56(1)： 23-54.

[2] Ellenberg J S. Galois representations attached to Q-curves and the Generalized Fermat equation A4+B2=Cp[J]. Amer J Math, 2004, 126(4)： 763-787.

[3] 樂茂華. 關(guān)于Diophantire方程x2+y4=z5[J]. 云南師范大學(xué)學(xué)報(bào)： 自然科學(xué)版, 2009, 29(4)： 1-5.

[4] 樂茂華. 具有連續(xù)尾數(shù)的本原Pythagoras數(shù)組[J]. 湖南文理學(xué)院學(xué)報(bào)： 自然科學(xué)版, 2007, 19(2)： 2.

A class of non-primitive solutions of the Diophantine Equation24nxyz+=

GUAN Xun-gui
(Mathematics ＆ Physics of Taizhou Normal College, Taizhou 225300, China)

By some elementary methods, it was proven that, for any positive odd integer n, the Diophantine equation x2+y4=znhad infinitely many positive integer solutions (x, y, z). Moreover, a class of non-primitive solutions (x, y, z) of the equation were given.

diophantine equation; positive odd integer; non-primitive solution

O 156

：A

1672-6146(2010)04-0017-02

10.3969/j.issn.1672-6146.2010.04.006

2010-08-19

泰州師范高等專科學(xué)校重點(diǎn)課題資助項(xiàng)目(2009-ASL-04)

管訓(xùn)貴(1963-), 男, 副教授, 主要研究方向?yàn)榛A(chǔ)數(shù)論.