三維非線性異向介質(zhì)的頻率特性

武立華，王政平，武法美

(哈爾濱工程大學 理學院，黑龍江 哈爾濱 150001)

早在20世紀40年代，就有人提出了負折射的概念［1］.1968年，Veselago報告了同時具有負介電常數(shù)和負磁導率的介質(zhì)，稱為雙負材料(double negative material，DNG)的電動力學性質(zhì)，指出這種介質(zhì)具有奇異的物理特性，如反多普勒效應(yīng)、負折射、反切倫柯夫輻射等［2］.因為在這種物質(zhì)中，波矢、電場強度與磁場強度三者之間遵循左手螺旋關(guān)系，故亦稱這種材料為左手材料(left-handed materials，LHMs).30 年后人們分別在理論［3-4］和實驗［5］上證明了用金屬線和裂環(huán)諧振器(split ring resonators，SRRs)構(gòu)成的周期性結(jié)構(gòu)實現(xiàn)LHMs的可能性與可行性.目前，國際上學者將由人工設(shè)計的、具有特異電磁性質(zhì)的結(jié)構(gòu)安排制備形成的材料統(tǒng)稱為metamaterial，其中除了LHMs外，還包括那些僅有負的介電常數(shù)的材料，稱為電單負材料(epsilon-negative，ENG)及僅有負的磁導率的材料(稱為磁單負材料，mu-negative，MNG).相應(yīng)地將同時具有正介電常數(shù)和正磁導率的介質(zhì)稱為雙正材料(double positive materials，DPSs)或右手材料(right handed materials，RHMs).

迄今為止，大多數(shù)對metamaterial的研究還主要集中在其線性特性方面，即認為材料的介電常數(shù)和磁導率與外加電場和磁場強度之間呈線性關(guān)系.但要實現(xiàn)材料的可控性，則需要了解材料的非線性特性.為此本文將推導埋入在非線性介質(zhì)中由Wires和SRRs構(gòu)成的三維周期性結(jié)構(gòu)metamaterial的有效磁導率表達式，計算了該有效磁導率的非線性頻率響應(yīng)特性.

1 模型及理論分析

由Wires和SRRs構(gòu)成的三維周期性metamaterial的結(jié)構(gòu)如圖 1 所示［6］.

圖1 Wires與SRRs陣列構(gòu)成的3-D metamaterial的結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic diagram of the 3-D metamaterial created by arrays of wires and SRRs

在存在外磁場情況下，由微觀磁場H′和宏觀磁場 H 的 Lorentz-Lorenz 關(guān)系［7］H′=H+4πM/3=B-8πM/3及磁感應(yīng)強度的定義式B=μeffH和B=H+4πM可導出其有效磁導率的表達式為

由文獻［8］知對于該結(jié)構(gòu)有

式中:a為SRR半徑，nm為SRRs體密度，I是每個SRR的電流，c代表真空中的光速.當外磁場取eiωt形式，在每個SRR內(nèi)由外場產(chǎn)生的電動勢為ε=ZI，則電流I可由下式表示

式中:ω是入射光的角頻率，c是真空中的光速，Z=1/iωC+iωL+R，L 是每個 SRR 的自感，C 是每個SRR狹縫間的電容，R是每個SRR的電阻.由方程(1)～(3)得到

式中:ωONL為非線性本征頻率，且有 ω2ONL=1/CL，d為結(jié)構(gòu)周期，C=εDπr2/4πd0，其中 εD是非線性電介質(zhì) 介 電 常 數(shù)，且有 εD= εD(|E|2)，F(xiàn)=2nm(π2a2)2/c2L為結(jié)構(gòu)參數(shù)，Γ=R/L為損耗系數(shù).

利用式(4)和非線性本征頻率與外磁場的關(guān)系［9］即可得到不同頻率外場作用下有效磁導率的頻率特性.

2 有效磁導率對外場頻率的非線性響應(yīng)關(guān)系

每個SRR狹縫嵌入的克爾介質(zhì)在微波波段有很強的非線性特性［10］，其介電常數(shù)可表示為εD(|E|2)=εD0+α|E|/E2c，其中 εD0是線性介電常數(shù)，α＞0和α＜0分別代表克爾聚焦和非聚焦情況，EC為非線性特征電場強度值［11］.令歸一化頻率k=ω/ω0，且ω0為線性本征頻率.根據(jù)以上理論分析結(jié)果就可計算出該metamaterial的有效磁導率對外場的響應(yīng).當 a=0.2 cm，r=0.02 cm，d0=0.001cm，d=0.5cm時，且假定構(gòu)成該metamaterial的單元結(jié)構(gòu)周期遠小于入射光波的波長.在此條件下計算得到有效磁導率實部在聚焦介質(zhì)和散焦介質(zhì)情況下的非線性頻率響應(yīng)特性如圖2所示.

圖2 有效磁導率實部隨外磁場強度的變化Fig.2 The real parts of the effective permeability vs.strength of external magnetic field

圖2(a)給出了在聚焦α＞0且ω0＜ω情況下，有效磁導率實部隨外磁場強度的變化情況.由該圖可見，對于不同的k值具有一個共同的特點，即當外磁場強度小于某一臨界值時，Re(μeff)為負值，此時該metamaterial特性為LHMs(假設(shè)介電常數(shù)為負值);當外磁場強度超過臨界值時，Re(μeff)為正值，此時該metamaterial特性由LHMs材料變?yōu)镋NG.這一臨界值隨k值的增大而增大，導致材料特性跳變的臨界點隨外場頻率的增加而增加.這一結(jié)果說明當外場頻率與metamaterial的線性本征頻率相差越小時，改變控制材料特性所需的外加磁場強度越小.此外，由于非線性折射率正比于，當 Re(μeff) ＜0時，隨著外磁場強度的增加導致非線性折射率增大，使得在SRRs中的局域電場會隨之增強.這種現(xiàn)象有利于獲得較強的非線性效應(yīng).

圖2(b)為聚焦α＞0且ω0＞ω的情況下，有效磁導率實部隨外磁場強度的變化情況.由該圖可見，由于非線性本征頻率的平方是外磁場的三值函數(shù)，導致磁導率實部在非線性區(qū)域中都有一回滯過程.隨著外磁場強度的不斷變大，有效磁導率的實部則在某一臨界值處由最初的正值跳到了負值，即材料由ENG材料跳變到LHMs材料，且跳變點的值隨k值的增大而減小，即材料特性跳變的臨界點隨外場頻率的增加而減小.在此過程中材料特性由最初的不透明介質(zhì)向透明介質(zhì)轉(zhuǎn)變，其相反過程可以在磁場強度由大變小的過程中得到.

圖2(c)給出了在散焦α＜0且ω0＜ω的情況下，有效磁導率實部隨外磁場強度的變化情況.在外磁場由小變大的過程中，有效磁導率的實部在臨界值處由最初的負值跳到了正值.此時該metamaterial特性由LHMs材料跳變?yōu)镋NG，且臨界值的大小隨外場頻率的增加而增加.材料也由最初的透明材料向不透明材料轉(zhuǎn)變.同樣的在外磁場由大變小的過程中，該 metamaterial特性在另外的臨界值處由ENG材料跳變?yōu)長HMs.

圖2(d)描述了散焦α＜0且ω＜ω0的情形下，有效磁導率實部隨外磁場強度的變化情況.隨著外磁場增大，有效磁導率實部都將逐漸減小.

圖2(b)與(c)顯示的雙穩(wěn)變化特性有可能導致磁疇壁在該metamaterial的傳播和不透明介質(zhì)平板中電磁感應(yīng)透明區(qū)的存在及時空電磁孤波的形成［12］.

圖3給出了該metamaterial的有效磁導率虛部對外磁場的非線性響應(yīng)曲線.

由圖3(a)與(d)可知，無論對聚焦還是散焦情形，隨著外磁場強度的增加，當外場頻率與線性本征頻率相差越小時材料的有效磁損耗也越小.這將導致在本征頻率附近的光波得到高反射效果.由圖3(b)與(c)可知，隨著外磁場強度的增加，磁損耗則呈現(xiàn)多值性及跳變性.

圖3 有效磁導率虛部隨外磁場強度的變化Fig.3 The imaginary parts of the effective permeability vs.strength of external magnetic field

3 結(jié)束語

本文研究了一種具有周期性微結(jié)構(gòu)的三維metamaterial對外場的非線性特性頻率特性，計算得到了其有效磁導率實部及虛部隨外磁場強度與頻率的變化關(guān)系.研究結(jié)果表明，導致這種metamaterial特性轉(zhuǎn)變的外加磁場臨界值的大小與外場頻率有關(guān)，外場頻率與其線性本征頻率相差越小，所需的改變材料特性的臨界值越小;在非線性區(qū)內(nèi)該材料的磁響應(yīng)具有雙穩(wěn)特性.此外，研究結(jié)果還表明，利用這種metamaterial的有效磁導率隨外場強度的變化關(guān)系可增強這種介質(zhì)的非線性效應(yīng).希望該研究結(jié)果對于非線性metamaterials研究及其在微波/光開關(guān)等器件方面的應(yīng)用研究有一定的參考意義.

［1］MANDELSHTAM L I.Group velocity in crystal lattice［J］.Zh Eksp Teor Fiz，1945，15:475-478.

［2］VESELAGO V G.The electrodynamics substances with simultaneously negative values of ε and μ ［J］.Sov Phys Usp，1968，10(14):509-514.

［3］PENDRY J B，HOLDEN A J，STEWART W J，et al.Extremely low frequency plasmons in metallic mesostructures［J］.Phys Rev Lett，1996，76(25):4773-4776.

［4］PENDRY J B，HOLDEN A J，ROBBINS D，et a1.Magnetism from conductors and enhanced nonlinear phenomena［J］.IEEE the transactions on microwave theory and techniques，1999，47(11):2075-2084.

［5］SMITHE D R，PADILLA W，VIER D C，et al.Composite medium with simultaneously negative permeability and permittivity ［J］.Phys Rev Lett，2000，84(18):4184-4187.

［6］ZHAROV A A，SHADRIOV I V，KIVSHAR Y S.Suppression of left-handed properties in disordered metamaterials［J］.Journal of Applied Physics，2005，97:113906-1-3.

［7］BORN M，WOLF E.Principles of optics:electromagnetic theory of propagation，interference and diffraction of light［M］.Cambridge:Cambridge University Press，2002.

［8］SHADRIVOV I V，ZHAROVA N A，ZHAROV A A，et al.Defect modes and transmission properties of left-handed bandgap structures［J］.Phys Rev E，2004，70(4):046615-1-6.

［9］O＇BRIEN S，MCPEAKE D，RAMAKRISHNA S A，PENDRY J B.Near-infrared photonic band gaps and nonlinear effects in negative magnetic metamaterials［J］.Phys Rev B，2004，69(24):241101-1-4.

［10］SHADRIVOV I V.Nonlinear guided waves and symmetry breaking in left-handed waveguides［J］.Photonics and Nanotructures-Fundamentals and Applications，2004(2):175-180.

［11］BELYANTSEV A M，KOZLOV V A，PISKARYOV V I.Submillimetre wave harmonic generation in magnetized plasma in n-InSb ［C］//Infrared Physics.Oxford:Pergamon Press，1981:79-84.

［12］SHADRIVOV I V，ZHAROV A A，ZHAROVA N A，et al.Nonlinear magnetoinductive waves and domain walls in composite metamaterials［J］.Photonics and Nanostructures-Fundamentals and Applications，2006，4:69-74.