四階累積量陣列擴展的傳播算子測向方法

刁 鳴，陳 超，楊麗麗

(哈爾濱工程大學(xué) 信息與通信工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001)

近年來，在DOA處理領(lǐng)域里，針對非高斯信號源發(fā)展起來許多高階累積量陣列處理方法.文獻［1］提出了基于四階累積量的MUSIC-LIKE方法;Dogan和Mendel［2-4］等提出了虛擬陣列的概念，成功地將陣列的孔徑擴大，但累積量矩陣中冗余數(shù)據(jù)過多導(dǎo)致計算量過大的問題一直是高階陣列處理方法的一個弊端.文獻［5-6］分別應(yīng)用不同的方法對MUSIC-LIKE算法進行簡化，在一定程度上減少了計算量.本文基于MUSIC-LIKE算法，結(jié)合最小冗余線陣的擴展原理［7］，形成一種新的四階累積量陣列擴展算法.將Marcos等人針對二階方法提出的傳播算子算法［8］推廣到四階累積量矩陣，從而提高了陣列擴展能力并且降低了運算量.

1 MUSIC-LIKE算法及陣列擴展

假設(shè)空間有D個獨立的同中心頻率的窄帶遠場非高斯信號分別以角度θi(i=1，2，…，D)(這里θi是指信號來向與線陣法線的夾角)入射到一個間距為d=λ/2的M元均勻線陣上，λ為入射信號波長，假設(shè)天線陣元在觀測平面內(nèi)是無方向性的，各陣元輸出的噪聲是統(tǒng)計獨立的加性高斯噪聲，且信號與噪聲相互獨立.M個陣元接收的數(shù)據(jù)可以表示為

對累積量矩陣C進行特征分解，M2-D個較小的特征值對應(yīng)的特征向量構(gòu)成了噪聲子空間UN，MUSIC-LIKE算法的空間譜為

其中，

圖1為M元均勻線陣經(jīng)過四階累計量擴展形成虛擬陣列的示意圖.實心圓為原物理陣元，空心圓為擴展成的虛擬陣元.最后形成的擴展陣列為實心圓和空心圓疊加的結(jié)果.

圖1 MUSIC-LIKE虛擬線陣形成示意圖Fig.1 Virtual array of MUSIC-LIKE

由式(4)和圖1可以看出，M2個導(dǎo)向矢量元素中只有2M-1個不同的元素，其余的元素都是這些元素的重復(fù)，擴展后的等效陣列流型可表示為

2 基于MRL的四階累積量構(gòu)造

假設(shè)空間有D個獨立的同中心頻率的窄帶遠場非高斯信號分別以角度θi(i=1，2，…，D)入射到一個M元一維線陣上，天線陣元各向響應(yīng)一致.用［d1d2… dM］(d1=0)表示所有陣元的位置，dp為非負整數(shù)，表示第p個陣元與第1個陣元(參考陣元)之間的半波長歸一化距離，則陣列接收數(shù)據(jù)可以表示為

式中:

用與MUSIC-LIKE算法相同的方法構(gòu)造四階累積量矩陣C，則得到

其中，

圖2所示為一個四元最小冗余線陣，其陣元位置分別為λ/2［0 1 4 6］經(jīng)四階累積量陣列擴展的示意圖.

圖2 基于MRL的四階累積量虛擬線陣形成示意圖Fig.2 Virtual array of fourth-order cumulant based on MRL

表1將陣元數(shù)為3～9的MRL在二階相關(guān)函數(shù)和四階累積量中的應(yīng)用進行了對比，相同陣元數(shù)的MRL陣元位置不唯一［10］，表中僅列出其中一種(M表示真實物理陣元數(shù)目，M2表示二階相關(guān)函數(shù)MRL擴展后的等效陣元數(shù)，M4表示四階累積量的MRL擴展后的等效陣元數(shù)).

表1 基于MRL二階相關(guān)函數(shù)和四階累積量擴展陣列對比Table 1 Comparison of virtual array between correlation function and fourth-order cumulant based on MRL

可見，在給定M的前提下，M2與M4有如下關(guān)系:M4=2M2-1，對于最優(yōu)的MRL，經(jīng)四階累積量進行陣列擴展后僅在參考陣元位置上有M個重合的陣元，而非最優(yōu)的MRL，除在參考陣元位置上有M個重合陣元外，還在其他某些陣元上存在一定的冗余性.

3 傳播算子算法

假設(shè)導(dǎo)向矩陣A是列滿秩的，A中有D行是線性獨立的，其他行可由這D行線性表示.假設(shè)其前D行是線性獨立的.將導(dǎo)向矩陣分塊為

式中:A1和A2分別為D×D維和(M-D)×D維的矩陣.

傳播算子P定義為滿足式(13)的線性算子:

令

可得

式中:IM-D表示(M-D)×(M-D)維的單位矩陣.上式表明，Q的列向量與導(dǎo)向矢量a(θ)正交，而a(θ)和信號子空間張成相同的子空間，由信號子空間和噪聲子空間的正交性，可以證明，Q的列張成的空間就是噪聲子空間.

可得PM算法的空間譜為

傳播算子P可由接收數(shù)據(jù)X或陣列輸出的協(xié)方差矩陣R估計得到，對應(yīng)本文中算法，P則是由累積量矩陣C估計得到.

對累積量矩陣C進行如下形式的分塊:

式中，C1和C2分別為D×M4維和(M4-D)×M4維的矩陣.

值得提出的是，對信號源數(shù)目的適當過估計可以改善OPM算法的性能，本文的仿真試驗部分即采用了這樣的處理方法.

4 算法步驟

四階累積量與MRL相結(jié)合實現(xiàn)陣列擴展的傳播算子DOA估計方法的實現(xiàn)步驟可分為如下幾步:

1)按照表1設(shè)置最小冗余陣列獲得如式(6)所示的陣列接收數(shù)據(jù);

2)按照式(8)構(gòu)造累積量矩陣C;

3)根據(jù)式(11)所示的等效導(dǎo)向矢量，對累積量矩陣C中的數(shù)據(jù)進行重排;

4)使用OPM方法對累積量矩陣C進行處理，求解信號的DOA.

5 仿真實驗

為驗證算法的正確性及有效性，分別進行了3組仿真實驗.實驗中，信源為非高斯復(fù)信號源，信號間不相關(guān)，噪聲為加性高斯噪聲.

5.1 實驗1

入射信號為功率相等的遠場平面波，2個信號源分別從［10°，25°］入射，快拍數(shù)為 200，信噪比從0dB變化到30dB，對應(yīng)每個信噪比做300次獨立的仿真實驗.實驗中采用了4種方法進行比較，分別為OPM算法，采用四階累積量的OPM算法(Cum-OPM)，采用MRL的OPM算法(MRL-OPM)和四階累積量與MRL相結(jié)合的OPM算法(Cum-MRLOPM).其中前2種算法的接收陣列是四元等距均勻線陣，陣元間距半波長;后2種算法的接收陣列是一個如圖2所示的四陣元最小冗余線陣，陣元位置為［0 1 4 6］.仿真中，分辨概率定義為成功分辨2個信號源的次數(shù)與總實驗次數(shù)的比值(實驗中設(shè)定估計值與真實值間絕對偏差在1°以內(nèi)為估計成功).

由圖3～4可以看出，在同樣使用OPM算法進行DOA估計的前提下，用Cum-MRL進行處理的算法其均方根誤差明顯小于其他3種算法，而低信噪比下的分辨概率則明顯高于其他3種算法，仿真試驗證明了Cum-MRL-OPM算法在測向性能上的優(yōu)越性.

圖3 測角均方根誤差Fig.3 RMS error of DOA estimation

圖4 檢測成功概率Fig.4 Successful probability of estimation

5.2 實驗2

考慮圖2中陣元數(shù)為4的最小冗余線陣，經(jīng)四階累積量矩陣可以等效為13陣元的均勻線陣，理論上可以估計出12個非高斯獨立信號源，獲得了比MUSIC-LIKE更大的陣列擴展能力.圖5所示為用四陣元的Cum-MRL-OPM算法估計四信源時真實角與估計角的對比圖，4個信號源分別以角度［-30°，-10°，10°，30°］入射，快拍數(shù)為 200，信噪比從 0dB變化到30dB，對應(yīng)每個信噪比做50次獨立的仿真實驗.圖6所示為相同實驗條件下估計六信源時真實角與估計角的對比圖，6個信號源的入射角度分別為［-48°，-37°，-16°，5°，21°，45°］.圖 7 所示為信噪比10dB、估計7個信號源的譜峰圖，七信號源的入射角度分別為［-65°，-32°，-15°，-5°，8°，25°，49°］.

圖5 估計4信號效果圖Fig.5 DOA estimation for 4 signals

圖6 估計6信號效果圖Fig.6 DOA estimation for 6 signals

圖7 SNR=10 dB時估計七信號Fig.7 DOA estimation for 7 signals with SNR=10 dB

由圖5～7可以看出，基于四陣元MRL的四階累積量正交傳播算子方法可以對4個入射信號進行有效分辨，在中高信噪比下估計六信號也可達到較好分辨效果.值得提出的是，當入射信號源較多時，OPM方法無法對信號源個數(shù)進行較好的過估計，因此測向性能會有所下降.

5.3 實驗3

在四陣元MRL的四階累積量算法的基礎(chǔ)上分別采用正交傳播算子算法和矩陣特征分解來進行最后的測向運算，通過比較2種方法求噪聲子空間的運算時間來驗證傳播算子在運算量方面的優(yōu)越性.分別進行10次獨立實驗，得到的數(shù)據(jù)結(jié)果如表2所示.

表2 OPM算法與矩陣特征分解的計算量比較Table 2 Comparison of computation between OPM and eigen-decomposition

6 結(jié)束語

本文采用四階累積量處理方法，結(jié)合最小冗余線陣，提出了一種新的四階累積量陣列擴展算法，該算法有以下幾個優(yōu)點:1)無需簡化過程即摒棄了原MUSIC-LIKE方法應(yīng)用于均勻線陣所產(chǎn)生的大量冗余數(shù)據(jù);2)原來的冗余數(shù)據(jù)形成了新的擴展陣元，更進一步提高了算法的陣列擴展能力;3)將傳播算子算法推廣到四階累積量矩陣，可以減小運算量、縮短運算時間.

仿真試驗表明，新算法陣列擴展能力強，運算速度快，四階累積量對高斯噪聲的抑制作用也彌補了傳播算子算法在低信噪比條件下性能不佳的缺點，具有較強的實用意義.

［1］PORAT B，F(xiàn)RIEDLANDER B.Direction finding algorithm based on high-order statistics［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，1991，39(9):2016-2024.

［2］DOGAN M C，MENDEL J M.Applications of cumulants to array processing-part I:aperture extension and array calibration［J］.IEEE Trans on Signal Processing，1995，43(5):1200-1216.

［3］DOGAN M C，MENDEL J M.Applications of cumulants to array processing-part II:non-Gaussian noise suppression［J］.IEEE Trans on Signal Processing，1995，43(7):1663-1676.

［4］DOGAN M C，MENDEL J M.Applications of cumulants to array processing-part IV:direction finding in coherent signal case［J］.IEEE Trans on Signal Processing，1997，45(9):2265-2276.

［5］武思軍，張錦中，張曙.基于四階累積量進行陣列擴展的算法研究［J］.哈爾濱工程大學(xué)學(xué)報，2005，26(3):394-397.WU Sijun，ZHANG Jinzhong，ZHANG Shu.Study of array extend based on fourth-order cumulant［J］.Journal of Harbin Engineering University，2005，26(3):394-397.

［6］刁鳴，吳小強，李小剛.基于四階累積量的測向方法研究［J］.系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2008，30(2):226-228.DIAO Ming，WU Xiaoqiang，LI Xiaogang.Study on DOA estimation based on fourth-order cumulant［J］.Journal of Systems Engineering and Electronics，2008，30(2):226-228.

［7］ABRAMOVICH Y I，SPENCER N K，GRAY D A.Positive-definite Toeplitz completion in DOA estimation for nonuniform linear antenna arrays-part I:fully augmentable arrays［J］.IEEE Trans on Signal Processing，1998，46(9):2458-2471.

［8］MARCOS S，MARSAL A，BENIDIR M.The propagator method for source bearing estimation［J］.Signal Processing，1995，42(2):121-138.

［9］SHAN Zhilong，JI Fei，WEI Gang.Extension music-like algorithm for DOA estimation with more sources than sensors［C］//IEEE Int Conf Neural Networks＆ Signal Processing.Nanjing，China，2003:1281-1284.

［10］王永良，陳 輝，彭應(yīng)寧.空間譜估計理論與算法［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2004:359-365.