層次分析法中的指數(shù)型標(biāo)度問題研究

王立民,楊振宇,白漢斌,李俊美

(1.北京系統(tǒng)工程研究所,北京100101;2.軍事科學(xué)院,北京100091)

0 引言

層次分析法是系統(tǒng)分析工具之一,它通過兩兩比較的方式確定層次中諸元素的相對重要性,然后綜合決策者判斷,確定諸元素相對重要性的總排序。整個過程體現(xiàn)了人的決策思維的基本特征,即分解、判斷、綜合,為許多定性分析研究提供了定量分析的簡便方法[1]。在層次分析法應(yīng)用過程中,最重要步驟就是對同一層次各元素的重要性進(jìn)行兩兩比較,從而構(gòu)造判斷矩陣。如果能對兩兩比較的重要性程度進(jìn)行定量測量,就可發(fā)揮定量分析的作用,這個定量測量的工具就是標(biāo)度[2]。

1 層次分析法

用層次分析法作系統(tǒng)分析,首先要根據(jù)問題的性質(zhì)和要達(dá)到的總目標(biāo),將其分解為不同組成元素,并按元素間的相互關(guān)聯(lián)影響及隸屬關(guān)系將元素按不同層次組合,形成一個多層次分析結(jié)構(gòu)模型,并最終把系統(tǒng)分析歸結(jié)為底層相對于高層的相對重要性權(quán)值確定或相對優(yōu)劣次序的排序問題。在排序計算中,每一層次的排序可簡化為一系列成對元素的判斷比較,并根據(jù)一定的比率標(biāo)度將判斷定量化,形成比較判斷矩陣;通過計算判斷矩陣的最大特征值和它的特征向量,即計算出某層次元素對于上一層次中某一元素的相對重要性權(quán)值,這種排序計算稱為層次單排序,為了得到某一層次相對上一層次的組合權(quán)值,用上一層次各個元素分別作為下一層次各個元素間相互比較判斷的準(zhǔn)則,得到下一層次元素相對于上一層次各個元素的相對重要性權(quán)值,然后用上一層次元素的組合權(quán)值加權(quán),即得到下一層次元素相對于上一層次整個層次的組合權(quán)值,這種排序計算稱為層次的總排序。依次沿遞階層次結(jié)構(gòu)由上而下逐層計算,即可計算出底層元素相對于高層的相對重要性權(quán)值或相對優(yōu)劣的排序值。

從層次分析法步驟中可看出,為形成判斷矩陣,通常引入了1-9比率標(biāo)度方法,這使得決策者判斷思維數(shù)學(xué)化[3]。這種將判斷思維數(shù)學(xué)化的方法大大簡化了問題的分析,使復(fù)雜定量問題分析成為可能,此外這種數(shù)學(xué)化方法還有助于決策者檢查并保持判斷思維的一致性,這充分體現(xiàn)了定性與定量相結(jié)合的思想,也即合理地對兩兩比較的重要性程度進(jìn)行定量測量,如果定量測量可以做到,就可以發(fā)揮數(shù)學(xué)中定量分析的作用,決策過程也會比較容易。因此,層次分析法的基礎(chǔ)和核心問題是標(biāo)度問題。

2 層次分析法的標(biāo)度

所謂標(biāo)度是將定性分析轉(zhuǎn)化為定量判斷的一種數(shù)量指標(biāo),是根據(jù)人們對客觀事物觀察所得經(jīng)驗決定的[4]。標(biāo)度分為絕對標(biāo)度和相對標(biāo)度。在層次分析法中,為了形成判斷矩陣,通常引入了1-9比率標(biāo)度方法,但在實際應(yīng)用中,通常采用的1-9比率標(biāo)度方法暴露出許多不足,如標(biāo)度的比值與人們實際的判斷相差太遠(yuǎn);矩陣一致性與思維一致性脫節(jié);實際結(jié)果與思維判斷不一致等等問題[5]。因此,很多學(xué)者從不同的觀點,提出了許多不同的標(biāo)度系統(tǒng),如互反型標(biāo)度、互補型標(biāo)度等?；シ葱蜆?biāo)度是指采用一些離散的點標(biāo)度來構(gòu)造互反判斷矩陣,其中1-9標(biāo)度、指數(shù)標(biāo)度和分?jǐn)?shù)標(biāo)度如表1所示?；パa型標(biāo)度是通過元素間重要性程度之差得到的,幾種常用的互補型標(biāo)度如表2所示。

表1 1-9標(biāo)度、指數(shù)標(biāo)度和分?jǐn)?shù)標(biāo)度

表2 幾種常用的互補型標(biāo)度

眾多的標(biāo)度之間存在差異,由不同的標(biāo)度所構(gòu)造的判斷矩陣,其一致性也不相同,得出的方案的排序權(quán)值也不相同,有的甚至?xí)l(fā)生逆序。因此,如何選擇一種合理的標(biāo)度系統(tǒng)是一個亟待解決的問題,下面將對使用最多的互反型標(biāo)度作重點分析研究。

3 互反型標(biāo)度選擇問題研究

在層次分析法中,當(dāng)判斷矩陣的階數(shù)n=1,2時,正反互判斷矩陣是完全一致的;當(dāng)n≧3時,對于同一個決策問題,由不同標(biāo)度所構(gòu)成的判斷矩陣,一致性就存在差異現(xiàn)象。下面用數(shù)學(xué)方法證明常用的互反型標(biāo)度完全一致性互不相容。

設(shè)?aij∈A,?bij∈ B,aij=s,ajk=m,aik=t,由A的完全一致性可知:sm=t。

假若B完全一致:

當(dāng)s,m≥1時,由表1標(biāo)度之間的對應(yīng)關(guān)系可知

由B的一致性:

當(dāng)s＞1,m≤1,t≥1時,由表1標(biāo)度之間的對應(yīng)關(guān)系可知。

由B的一致性:

當(dāng)s＞1,m≤1,t≤1時,由表1標(biāo)度之間的對應(yīng)關(guān)系可知

由B的一致性:

當(dāng)s＜1,m＜1,t＜1,此時與上述3種情況中的某一結(jié)果相同。

從證明過程可以看出,在 3種情況下,總有aik=ajk或ajk=aik,由于i,j,k的任意性,A中的任意3行元素至少有2行對應(yīng)相等,這與命題矛盾。同理可證明B,C,可見,表1中幾種常用的互反型標(biāo)度的完全一致性互不相容。

從以上結(jié)果可以看出,標(biāo)度系統(tǒng)的選擇對于決策結(jié)果至關(guān)重要,不同的標(biāo)度系統(tǒng)有可能會產(chǎn)生完全不同的結(jié)果,對于如何選擇合適的標(biāo)度系統(tǒng),下面用實驗的方法進(jìn)行進(jìn)一步分析。

這里取A,B,C分別為1-9比率標(biāo)度,an指數(shù)標(biāo)度,9/9-9/1標(biāo)度下的判斷矩陣,對于同一個問題的判斷矩陣,使用一致性比例檢驗法進(jìn)行檢驗。

分別計算各個判斷矩陣的最大特征根λmax,然后計算一致性檢驗指標(biāo)接著用Matlab程序計算樣本容量10 000的3～9階矩陣的RI值,其結(jié)果如表3所示,最后得到各個判斷矩陣相應(yīng)的CR值(CR=CI/RI)。按同樣方法,構(gòu)造不同標(biāo)度下的不同階數(shù)的判斷矩陣,通過Matlab程序進(jìn)行大量實驗,100次實驗結(jié)果的統(tǒng)計平均如表4所示。

表3 3～9階判斷矩陣在不同標(biāo)度系統(tǒng)下的RI值

表4 3～9階判斷矩陣在不同標(biāo)度系統(tǒng)下的CR值

大量實驗結(jié)果統(tǒng)計表明,在互反型標(biāo)度里面,指數(shù)標(biāo)度an的滿意一致性檢驗比率較其他標(biāo)度的一致性檢驗比率所占比例最高,可見指數(shù)標(biāo)度an比其他標(biāo)度更合理,因此,在使用層次分析法進(jìn)行分析時,采用指數(shù)標(biāo)度會較之其他標(biāo)度具有更好的一致性。

4 結(jié)束語

用數(shù)學(xué)反證的方法證明了1-9比率標(biāo)度,an指數(shù)標(biāo)度,9/9-9/1標(biāo)度下的完全一致互不相容,并利用實驗方法得出有實際意義的結(jié)論,該分析方法雖然還存在一些誤差,但該方法對于分析提高層次分析法的準(zhǔn)確度具有一定的實際意義。

[1]王連芬,徐樹柏.層次分析法引論[M].北京:中國人民大學(xué)出版社,1990.

[2]徐樹柏.層次分析法原理[M].天津:天津大學(xué)出版社,1988.

[3]譚躍進(jìn).定量分析方法[M].北京:中國人民大學(xué)出版社,2006.

[4]鄧聚龍.灰色系統(tǒng)理論教程[M].武漢:華中理工大學(xué)出版社,1990.

[5]杜 棟,龐慶華,吳 炎.現(xiàn)代綜合評價方法與案例精選[M].北京:清華大學(xué)出版社,2008.