基于L型陣列的MUSIC二維估計(jì)算法研究

魏 亮,段召亮,趙 勝

(河北省衛(wèi)星導(dǎo)航技術(shù)與裝備工程技術(shù)研究中心,河北石家莊050081)

0 引言

實(shí)際應(yīng)用中常常需要對空間中存在的多個(gè)信號源進(jìn)行分解,以便跟蹤或檢測感興趣的空間信號,抑制那些被認(rèn)為是干擾的空間信號。對天線陣列接收的空間信號所進(jìn)行的分析與處理稱為陣列信號處理。而空間譜估計(jì)技術(shù)是在波束形成技術(shù)、零點(diǎn)技術(shù)和時(shí)域譜估計(jì)技術(shù)的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的一種技術(shù)。與頻譜表示信號在各個(gè)頻率上的能量分布相對應(yīng),空間譜則可解釋為信號在空間各個(gè)方向上的能量分布,空間譜估計(jì)技術(shù)的目標(biāo)是研究提高在處理帶寬內(nèi)空間信號角度的估計(jì)精度、角度分辨率和提高運(yùn)算速度的各種算法。經(jīng)過多年的發(fā)展,已經(jīng)產(chǎn)生了大量性能優(yōu)異的測向算法可資利用,典型的有MUSIC、ESPRIT、子空間擬合和多維MUSIC等。

由于均勻線陣只能對一維DOA估計(jì),而對于現(xiàn)實(shí)中的空間信號,更多的需要知道其空間位置,即方位角和俯仰角。采用經(jīng)典MUSIC算法在較為簡單的L型陣列上對多個(gè)空間信號進(jìn)行二維DOA估計(jì),并給出計(jì)算機(jī)仿真結(jié)果。

1 L型陣列空間譜估計(jì)算法數(shù)學(xué)模型

高分辨陣列測向是參數(shù)測向方法,因此高分辨測向?qū)π盘柲Ｐ偷囊蕾囆苑浅?qiáng)。當(dāng)信號模型失真時(shí),其性能可能會(huì)嚴(yán)重下降,甚至失效。所以盡量使數(shù)學(xué)模型和實(shí)際情況相一致是高分辨測向的首要條件,以下就對陣元布置其理想的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行闡述。

陣列結(jié)構(gòu)制約著波達(dá)方向的估計(jì)性能,幾種常見的陣列結(jié)構(gòu)中L型陣列的性能最優(yōu)。在空間3個(gè)坐標(biāo)軸上任選2個(gè)坐標(biāo)軸分別放置線陣,要求2個(gè)軸上陣元數(shù)相同,便構(gòu)成了L型陣列。

用圖1所構(gòu)造的陣列結(jié)構(gòu)來研究此算法。此L型陣列由x軸上的線陣X和y軸上的線陣Y一共N個(gè)陣元構(gòu)成,陣列X的陣元間距與陣列Y的對應(yīng)陣元間距相等,且均小于等于信號半波長。陣列輸出的噪聲為零均值的、方差為σ2的統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的高斯白噪聲,且與信號源不相關(guān)。L型陣列示意圖如圖1所示。

圖1 L型陣列示意圖

設(shè)遠(yuǎn)場有D個(gè)窄帶信號Si(i=1,2,…,D),這些信號均互不相關(guān)且經(jīng)解析變換后復(fù)數(shù)表示為:S(t)=[S1(t),S2(t),…,SD(t)]T;方向?yàn)閍=[Φ1,Φ2,…,ΦD],由于進(jìn)行的是二維估計(jì),所以 Φi表示方位角和仰角,即 Φi=(θi,φi),信號中心頻率為ω,其在電波波速為C中所對應(yīng)的波長為λ,信號個(gè)數(shù)D可用Akaike信息論準(zhǔn)則(AIC)和最小描述長度(MDL)準(zhǔn)則等方法估計(jì)。

第k個(gè)陣元輸出為:

式中,ak(Φi)為第k個(gè)陣元對Φi方向的方向響應(yīng)系數(shù)。式(1)可以寫成如下的向量形式:

式中,X(t)=[x1(t),x2(t),…,xN(t)]T和 N(t)=[n1(t),n2(t),…,nN(t)]T分別為陣列輸出向量和噪聲向量。

陣列方向響應(yīng)系數(shù)矩陣或陣列流形向量組為:

式中,a(Φi)是陣列對 Φi方向的響應(yīng)系數(shù)向量,或?yàn)榉较蛳蛄俊㈥嚵辛餍?其具體形式與天線陣列結(jié)構(gòu)有密切的聯(lián)系,在采用的L型陣列結(jié)構(gòu)下:

式中,a1(Φi)=1;

2 二維MUSIC算法

Schmidt在1979年提出了MUSIC算法(Multiple Signal Classification Algorithm)。其基本思想在于對觀測空間進(jìn)行子空間的劃分,劃分為僅由噪聲貢獻(xiàn)的噪聲子空間和由噪聲和信號共同作用的信號子空間,根據(jù)這2個(gè)子空間的正交性,可得出代價(jià)函數(shù),然后根據(jù)這個(gè)代價(jià)函數(shù)對來波方向進(jìn)行估計(jì)。

該算法具體流程如下:

由子陣X和子陣Y的陣元輸出向量X(t)得出自相關(guān)矩陣RX:

式中,上標(biāo)“H”表示共軛轉(zhuǎn)置運(yùn)算;RS=E[S(t)?SH(t)]為信號源的自相關(guān)矩陣,根據(jù)假設(shè)的條件,信號源互不相關(guān),則RS為滿秩矩陣,其秩為D。與此同時(shí),A為N×D維的矩陣。由于ARSAH為Hermite半正定矩陣。令 μ1≥μ2≥…≥μD＞0為其D個(gè)非零特征值。則對 RX進(jìn)行特征分解,可以得到:

式中,US和UN分別是大特征值和小特征值對應(yīng)的特征向量,通常稱 US為信號子空間,UN為噪聲子空間。在理想條件下,信號子空間和噪聲子空間是正交的,則可導(dǎo)出方向向量與UN正交,即

基于上式給出經(jīng)典MUSIC算法的譜估計(jì)公式:

也可以寫成歸一化方式:

在式(8)和式(9)中,譜峰對應(yīng)的角度即信號入射角度。此外除上面經(jīng)典MUSIC算法外,還有如root-MUSIC等MUSIC推廣算法。

3 仿真實(shí)驗(yàn)與分析

實(shí)驗(yàn)1 仿真條件:考慮到實(shí)際應(yīng)用時(shí)陣元個(gè)數(shù)的局限性,X子陣列和Y子陣列各有2個(gè)陣元,則加上原點(diǎn)的陣元,整個(gè)L型陣列共有5個(gè)陣元。原點(diǎn)的陣元與 X和Y子陣列的第1個(gè)陣元間距為,與X和Y子陣列的第2個(gè)陣元間距為空間有 2個(gè)互不相關(guān)窄帶信號的來向分別為(30,120)、(60,60),快拍數(shù)為 1 000,SNR=20 dB,其俯仰角維度和方位角維度如圖2和圖3所示。

圖2 實(shí)驗(yàn)1 MUSIC空間譜峰圖(俯仰角維度)

圖3 實(shí)驗(yàn)1 MUSIC空間譜峰圖(方位角維度)

實(shí)驗(yàn)2 對實(shí)驗(yàn)1做500次Monte Carlo仿真結(jié)果如表1所示。

表1 MUSIC的Monte Carlo仿真表

4 結(jié)束語

本文基于L型陣列的MUSIC算法對多個(gè)空間信號實(shí)現(xiàn)了二維估計(jì),此外仿真時(shí)還對MUSIC算法中協(xié)方差矩陣的特征分解和空間譜搜索進(jìn)行了優(yōu)化,使MUSIC的運(yùn)算量大幅降低。從而使MUSIC二維空間譜估計(jì)算法的實(shí)用化前進(jìn)了一步。

[1]STOICA P.現(xiàn)代信號譜分析[M].吳仁彪,韓萍,譯.北京:電子工業(yè)出版社,2007.

[2]張賢達(dá),保 錚.通信信號處理[M].北京:國防工業(yè)出版社,2000.