基于頻率的空間相機(jī)主體結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)分析

魏 鑫 張鳳芹 范 斌

(北京空間機(jī)電研究所,北京100076)

1 引言

空間光學(xué)相機(jī)作為一種高科技的精密儀器,從光機(jī)設(shè)計(jì)來(lái)說(shuō),對(duì)結(jié)構(gòu)的比剛度要求很高,即要求結(jié)構(gòu)具有較高的剛度,同時(shí)質(zhì)量要輕[1]。本文中的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)以三反離軸光學(xué)系統(tǒng)的空間相機(jī)為例,它具有高分辨率、大視場(chǎng)、寬覆蓋、中心無(wú)遮攔等優(yōu)點(diǎn),適用于多種空間光學(xué)相機(jī)。但是與同軸系統(tǒng)不同,三反離軸系統(tǒng)為非圓對(duì)稱結(jié)構(gòu),三維方向尺寸均較大;同時(shí),離軸系統(tǒng)反射鏡位置誤差對(duì)像質(zhì)更敏感,對(duì)反射鏡位置精度要求更高。為了確保相機(jī)不僅在空間環(huán)境狀態(tài)下能正常工作,保持足夠準(zhǔn)確度,而且在發(fā)射運(yùn)載過(guò)程中不破壞,不產(chǎn)生殘余變形,需使得相機(jī)結(jié)構(gòu)的固有頻率大于規(guī)定的值,以最大限度地減輕動(dòng)態(tài)耦合效應(yīng),由此最終保證航天器結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度。

空間相機(jī)是以衛(wèi)星等航天器為平臺(tái)依靠運(yùn)載火箭來(lái)發(fā)射,受運(yùn)載火箭發(fā)射能力的限制,航天結(jié)構(gòu)質(zhì)量大小與發(fā)射條件及發(fā)射成本關(guān)系密切,因此對(duì)結(jié)構(gòu)的質(zhì)量要求非?？量?盡量減小質(zhì)量是航天結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的另一重要任務(wù)[2]。

本文將利用拓?fù)鋬?yōu)化的方法,在保證基頻最大化的條件下對(duì)三反離軸相機(jī)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì),同時(shí)盡量減輕結(jié)構(gòu)的質(zhì)量。

2 結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)與分析

2.1 結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化理論基礎(chǔ)

完整的產(chǎn)品設(shè)計(jì)包括拓?fù)鋬?yōu)化、形狀優(yōu)化和尺寸優(yōu)化三個(gè)過(guò)程,分別對(duì)應(yīng)產(chǎn)品的概念設(shè)計(jì)、基本設(shè)計(jì)和詳細(xì)設(shè)計(jì)三個(gè)階段。拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)是在結(jié)構(gòu)的初始拓?fù)潢P(guān)系未知的情況下,以尋求結(jié)構(gòu)材料在設(shè)計(jì)空間最佳傳力路徑或最佳剛度分布形式下對(duì)應(yīng)的拓?fù)湫问?拓?fù)鋬?yōu)化的結(jié)果主要作為概念設(shè)計(jì)階段的參考。而局部應(yīng)力約束和穩(wěn)定性約束等,一般可通過(guò)后續(xù)的基本設(shè)計(jì)和詳細(xì)設(shè)計(jì)來(lái)考慮[3],而拓?fù)鋬?yōu)化很大程度上能夠保證結(jié)構(gòu)后續(xù)的尺寸和形狀優(yōu)化是在初始拓?fù)渥顑?yōu)的形式下進(jìn)行的。由于結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)因其描述及算法的復(fù)雜性,一些關(guān)鍵性的技術(shù),如從優(yōu)化模型到優(yōu)化算法都還處于探索和發(fā)展階段。目前拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)已成為國(guó)際結(jié)構(gòu)優(yōu)化領(lǐng)域的熱點(diǎn)研究問(wèn)題[4]。

本文采用拓?fù)鋬?yōu)化軟件Tosca進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì),采用的優(yōu)化方法為變密度法。變密度法是屬材料(物理)描述方式的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法。人為引進(jìn)了一種假想的密度可變材料,其相對(duì)密度(偽密度)和彈性模量之間的關(guān)系也是假定的,每個(gè)單元的偽密度設(shè)為設(shè)計(jì)變量,這就將結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為材料最優(yōu)分布的設(shè)計(jì)問(wèn)題,程序?qū)崿F(xiàn)簡(jiǎn)單,計(jì)算效率高。這里所講的密度是單元正則化以后的相對(duì)密度。變密度法中常用的插值模型有:固體各向同性微結(jié)構(gòu)/材料懲罰模型(Solid Isotropic Microstructures/Material with Penalization,SIMP)[5]、材料屬性的合理近似模型(Rational Approximation of Material Properties,RAMP)[6]。SIMP或RAMP模型通過(guò)引入懲罰因子對(duì)中間密度值進(jìn)行懲罰,使中間密度向0-1聚集,拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果能很好地逼近實(shí)體和孔洞分明的0-1優(yōu)化結(jié)果。

SIMP和RAMP模型是工程中應(yīng)用最多的密度函數(shù)插值模型,其數(shù)學(xué)模型分別如下:

式中 p,q分別為兩數(shù)學(xué)模型中對(duì)中間密度材料的懲罰因子;Ep和Eq表示插值以后的彈性模量,E0和Emin分別為固體和空洞部分材料的彈性模量,Δ E=E0-Emin。為了使數(shù)值求解穩(wěn)定,一般令Emin=E0/1000。xj(j=1,2,3,…n)表示單元 j的設(shè)計(jì)變量。

在相同的優(yōu)化條件下,SIMP和RAMP模型的優(yōu)化結(jié)果具有很好的形似性。但實(shí)踐計(jì)算發(fā)現(xiàn)RAMP模型在P逐漸增大的過(guò)程中,優(yōu)化過(guò)程能體現(xiàn)更好的穩(wěn)定性[3]。在理論上,RAMP模型在q的選取值大于一定值時(shí)能保證一個(gè)凹的設(shè)計(jì)空間,而SIMP模型并不能保證柔度函數(shù)為一個(gè)凹函數(shù)[7]。

2.2 基于頻率最大化的拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型

結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化在動(dòng)力學(xué)中的一個(gè)重要應(yīng)用就是結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)的特征值優(yōu)化,也就是追求結(jié)構(gòu)具有較高的基頻,避免結(jié)構(gòu)與外界激勵(lì)載荷發(fā)生共振[8]。為了避免由于多模態(tài)特征值問(wèn)題單個(gè)特征值的刪除,可采用如下的優(yōu)化模型[9]:

式中 β為指定的頻率值;α=0.95,λi為系統(tǒng)各階特征頻率的特征值;K為剛度矩陣;M為系統(tǒng)質(zhì)量矩陣;?i是與第i階特征值λi相關(guān)的特征向量;Vj為單元體積,V為優(yōu)化前總體積;xj表示設(shè)計(jì)變量,在實(shí)際的分析運(yùn)算中為避免剛度矩陣的奇異,取xmin=0.001;j=1,2,3,…,N為單元數(shù)目;i=1,2,3,…,Ndof為特征向量的所有模態(tài),但在實(shí)際問(wèn)題中,一般只截取前10階對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)響應(yīng)起主要作用的模態(tài)。

對(duì)SIMP模型系統(tǒng),剛度和質(zhì)量矩陣分別為:

對(duì)于RAMP模型系統(tǒng),剛度矩陣和質(zhì)量矩陣分別為:

式中 ΔE=E0-Emin,E0和Emin分別為固體和空洞部分材料的彈性模量;Kj為第j個(gè)單元?jiǎng)偠染仃嚦云鋸椥阅Ａ康玫降膯卧獎(jiǎng)偠染仃?Mj為第j個(gè)單位質(zhì)量矩陣除以其彈性模量得到的單位質(zhì)量矩陣。

2.3 相機(jī)主體結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)要求

某相機(jī)光學(xué)系統(tǒng)的光路示意圖如圖1所示。

該光學(xué)系統(tǒng)要求相機(jī)主體結(jié)構(gòu)具有很高的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性,主要體現(xiàn)在[10]:

1)穩(wěn)定支撐各光學(xué)元件,滿足光學(xué)元件位置精度要求,保證光學(xué)系統(tǒng)像質(zhì);

2)足夠的剛度,結(jié)構(gòu)入軌靜力變形小;

3)足夠的強(qiáng)度,能承受發(fā)射載荷;

4)結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)性能好,具有較高的基頻;

5)質(zhì)量盡可能輕。

另外,根據(jù)相機(jī)總體指標(biāo)的要求,相機(jī)的整機(jī)一階固有頻率必須大于180Hz,主體結(jié)構(gòu)的質(zhì)量小于30kg,外形尺寸控制在700mm×600mm×600 mm范圍內(nèi)(其中700mm為光軸方向),并且要保證整機(jī)對(duì)外接口不變,在各反射鏡和焦面的預(yù)留位置不變的前提下對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì),設(shè)計(jì)空間如圖2。

圖1 某相機(jī)TMA光學(xué)系統(tǒng)

圖2 結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)空間

圖3 整機(jī)有限元模型

2.4 相機(jī)主體結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)

為滿足相機(jī)整機(jī)結(jié)構(gòu)基頻和質(zhì)量要求,并盡量提高結(jié)構(gòu)動(dòng)剛度,減輕質(zhì)量,采用商業(yè)優(yōu)化軟件Tosca對(duì)圖2中的結(jié)構(gòu)進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。為了更準(zhǔn)確地模擬真實(shí)結(jié)構(gòu),將反射鏡和焦面組件也安裝上,整機(jī)有限元模型如圖3。

具體優(yōu)化步驟如下:

第一步:將在Patran中建立有限元模型導(dǎo)入到Tosca優(yōu)化軟件中,(材料屬性及載荷工況等均在Patran中定義)。

第二步:定義設(shè)計(jì)區(qū)域。具體優(yōu)化步驟如下:根據(jù)設(shè)計(jì)要求,需要將接口區(qū)域及光學(xué)元件安裝位置的部分材料進(jìn)行凍結(jié),如圖4,使其在優(yōu)化過(guò)程中材料密度保持為固定值1。設(shè)計(jì)區(qū)域即為圖2中除去凍結(jié)部分的單元。

第三步:定義響應(yīng)。為取得較高的固有頻率,同時(shí)質(zhì)量較輕,分別將體積和固有頻率前5階作為響應(yīng)函數(shù)。

第四步:定義約束。使框架質(zhì)量保持在30kg以內(nèi)。而模型初始質(zhì)量為104.5kg,在初步設(shè)計(jì)中,定義體積的30%作為上限,使得材料分布滿足設(shè)計(jì)要求。

第五步:定義目標(biāo)函數(shù)。以系統(tǒng)前5階固有頻率作為優(yōu)化目標(biāo)。

第六步:定義優(yōu)化。在凍結(jié)單元和體積約束的條件下,以頻率最大化為優(yōu)化目標(biāo),采用敏感度算法進(jìn)行優(yōu)化。

第七步:提交計(jì)算、提取計(jì)算結(jié)果。

通過(guò)18次迭代后收斂,得出初步拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果如圖5所示。優(yōu)化結(jié)果表明在相機(jī)結(jié)構(gòu)前后板的單元密度比較清晰(不同顏色表示不同單元密度),但是兩個(gè)側(cè)面單元密度大都集中在0.3～0.8,路徑不是很清晰。為了進(jìn)一步明確材料分布,指導(dǎo)下一步的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì),我們利用軟件的smooth功能將優(yōu)化后模型中密度小于0.3的單元去掉,且讓模型表面變得比較光滑,得出結(jié)果如圖6所示。

總之，教育促進(jìn)勞動(dòng)能力的提升同時(shí)提高人的思想品德和素質(zhì)，在21世紀(jì)人類進(jìn)入了以知識(shí)作為核心發(fā)展的時(shí)代，高等教育對(duì)于整個(gè)社會(huì)的發(fā)展而言至關(guān)重要。因此，全社會(huì)都應(yīng)該更加重視高等教育的發(fā)展，特別是政府在這個(gè)過(guò)程中應(yīng)發(fā)揮主導(dǎo)作用，通過(guò)財(cái)政撥付等措施發(fā)展教育事業(yè)，從而加快社會(huì)和地區(qū)的發(fā)展。

圖4 優(yōu)化凍結(jié)區(qū)域有限元模型

圖5 初步拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果

圖6 初步優(yōu)化后的smooth結(jié)果模型

為了進(jìn)一步明確兩個(gè)側(cè)邊的材料分布,根據(jù)上一步的優(yōu)化結(jié)果將前后板的結(jié)構(gòu)形式確定,側(cè)邊仍為優(yōu)化的可設(shè)計(jì)區(qū)域,如圖6所示。將前后端結(jié)構(gòu)凍結(jié)固定,重復(fù)上述優(yōu)化步驟對(duì)圖7所示的模型進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。通過(guò)50次迭代后收斂,得出初步拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果如圖8所示。此時(shí),拓?fù)鋬?yōu)化提供的材料分布已經(jīng)較為清晰,根據(jù)優(yōu)化后的材料分布設(shè)計(jì)出合理的相機(jī)整機(jī)結(jié)構(gòu),同時(shí)用有限元軟件驗(yàn)證優(yōu)化的有效性。

圖7 基于初步優(yōu)化結(jié)果建模后的有限元模型

圖8 第二次拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果

2.5 優(yōu)化結(jié)果的設(shè)計(jì)分析

根據(jù)Tosca軟件優(yōu)化出的結(jié)果,根據(jù)不同部位的單元對(duì)整機(jī)動(dòng)剛度的貢獻(xiàn)及結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn),設(shè)計(jì)出4種構(gòu)型,見(jiàn)圖9,同時(shí)對(duì)4種方案基頻與質(zhì)量進(jìn)行比較。構(gòu)型一與構(gòu)型二在結(jié)構(gòu)上相似,構(gòu)型一在鏡子組件安裝部位附近的筋較厚;構(gòu)型三與構(gòu)型四的區(qū)別在于構(gòu)型四兩個(gè)側(cè)面分布多一條筋。

為了便于比較,將上述4種構(gòu)型的質(zhì)量特性與基頻在表1中列出。

從表1可以看出,根據(jù)拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果設(shè)計(jì)出的4種構(gòu)型方案均滿足質(zhì)量小于30kg,基頻大于180Hz的設(shè)計(jì)要求。

考慮加工工藝和裝調(diào)等多方面因素,均衡上述4種方案,經(jīng)過(guò)多次改進(jìn)后,得到最終主體結(jié)構(gòu)構(gòu)型(如圖10)。經(jīng)計(jì)算,主體結(jié)構(gòu)質(zhì)量為29.7kg,第一階本征頻率是186.7Hz,滿足設(shè)計(jì)要求。

3 拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法與傳統(tǒng)設(shè)計(jì)方法比較

圖10 優(yōu)化設(shè)計(jì)最終結(jié)果模型

通過(guò)表2可以看出,通過(guò)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)得到的整機(jī)基頻為186.7Hz,比傳統(tǒng)設(shè)計(jì)方法得到的結(jié)構(gòu)基頻182.79Hz稍高,但質(zhì)量卻減少了41.2%。因此在空間相機(jī)主體結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中引入結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)的方法是可行且有效的。

圖11 傳統(tǒng)方法設(shè)計(jì)出的結(jié)構(gòu)

表2 拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)與傳統(tǒng)設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)比較

4 結(jié)束語(yǔ)

本文將拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)的概念引入到空間相機(jī)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中,詳細(xì)闡述了連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化的方法、原理,并結(jié)合工程實(shí)際,以某相機(jī)結(jié)構(gòu)為背景,對(duì)空間光學(xué)相機(jī)的主體結(jié)構(gòu)進(jìn)行了拓?fù)鋬?yōu)化。最后,闡述了結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)的優(yōu)點(diǎn),并與傳統(tǒng)設(shè)計(jì)所得到的結(jié)構(gòu)進(jìn)行了對(duì)比計(jì)算,結(jié)果表明,采用拓?fù)鋬?yōu)化得到的結(jié)構(gòu)一階固有頻率稍高于傳統(tǒng)設(shè)計(jì)的,但結(jié)構(gòu)質(zhì)量降低了41.2%。優(yōu)化結(jié)果及研究過(guò)程表明,將拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法用于空間結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中縮短了設(shè)計(jì)周期,并有效減小了質(zhì)量,提高了結(jié)構(gòu)的性能,最終設(shè)計(jì)結(jié)果完全滿足了系統(tǒng)設(shè)計(jì)要求。

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