異形遮攔光學系統(tǒng)衍射限MTF數(shù)值計算方法研究

齊懷川 黃巧林 胡永力

(北京空間機電研究所,北京100076)

1 引言

空間相機指標參數(shù)系統(tǒng)論證和優(yōu)化設計前,必須對成像系統(tǒng)各個環(huán)節(jié)的性能進行預估,因此成像鏈路各個環(huán)節(jié)的建模和仿真是不可或缺的[1]。作為成像鏈路的核心,成像系統(tǒng)的性能指標主要取決于光學子系統(tǒng)的性能,而在光學系統(tǒng)性能指標中調(diào)制傳遞函數(shù)(MTF)是需要描述的最主要的參量[2]。理論上,衍射限MTF和出瞳端波像差二者共同決定了光學系統(tǒng)的MTF[3],其中衍射限所致MTF是衡量光學系統(tǒng)傳遞函數(shù)重要參量,體現(xiàn)了光學系統(tǒng)的極限性能,它可由光學系統(tǒng)光瞳函數(shù)計算得出。但是,實際空間相機的光學系統(tǒng)光瞳函數(shù)十分復雜,很難解析表出,這給系統(tǒng)性能預估增加了很多困難?，F(xiàn)今比較成熟的光學設計軟件雖然可以比較精確地預估光學系統(tǒng)的性能,但是這些軟件一般需要有確定的光學系統(tǒng)設計構型。目前,在光學設計不成熟階段利用光學設計軟件無法針對性的開展性能預估的工作。因此,本文針對這一問題首先給出光學系統(tǒng)傳遞函數(shù)MTF的推導,而后分析給出衍射限傳遞函數(shù)MTF的解析表達式,最終根據(jù)其特點通過數(shù)值計算的方法給出獲得光學系統(tǒng)衍射限傳遞函數(shù)的方法,并計算了一些具備不同遮攔的光學系統(tǒng)衍射限傳遞函數(shù)MTF。通過將計算結果同空間高性能光學小相機的光學系統(tǒng)設計軟件的計算值進行比較,指標基本符合,驗證了本方法的有效性。這種方法為鏈路分析當中全鏈路精確建模和性能預估奠定了基礎,為實際遙感器的總體論證提出了一種新的途徑。

2 空間相機光學系統(tǒng)的理想光學傳遞函數(shù)

理想光學系統(tǒng)的傳遞函數(shù)也就是無像差的光學系統(tǒng)的衍射限光學傳遞函數(shù)(OTF)。由于光學系統(tǒng)入瞳的物理限制將產(chǎn)生衍射效應這是不可避免的,根據(jù)空間相機成像特性,可將空間相機光學系統(tǒng)作如下結論:1)光學系統(tǒng)為非相干成像方式;2)光學系統(tǒng)對無窮遠處成像,像面的位置在后焦平面上;3)光學系統(tǒng)所成物點光源入瞳處近似為平面波。由此空間相機光學系統(tǒng)的點擴散函數(shù)可以表示為[4]

式中 運算符F表示傅里葉變換;*表示求取共軛;λ為光輻射的波長;f為光學系統(tǒng)焦距;u、ν為兩個方向的空間頻率;P(x,y)代表光瞳函數(shù),即

式中x,y表示光瞳面的空間坐標。

由此可知OTF可以表示為[4]

根據(jù)傅里葉變換的性質(zhì),式(3)可以表示為

式中 ?為相關運算符,由此可以得出光學系統(tǒng)衍射限OTF與光瞳函數(shù)P(x,y)的關系。OTF可以表示成相關運算中兩錯開光瞳函數(shù)重疊區(qū)域面積與光瞳函數(shù)自身圍成面積之比,如圖1所示。由式(4)可知,當光瞳函數(shù)重疊區(qū)域面積為零時H(u,ν)為零,即此時為截止頻率。當光學系統(tǒng)主鏡為直徑等于D的圓型孔徑,焦距為 f,入射輻射波長為λ時,截止頻率滿足

圖1 光學傳遞函數(shù)求取示意圖

式中 fc表示徑向截止頻率,值得注意的是不考慮波前差的光學系統(tǒng)光瞳函數(shù)P(x,y)為實函數(shù),由此可知計算結果就是光學系統(tǒng)衍射限的MTF。

根據(jù)上述論述可以推導得出,當光學系統(tǒng)具有中心圓對稱圓形遮攔時的衍射限MTF可以表示為[5]

式中D0、Dobs表示主鏡尺寸和遮攔尺寸;ur表示徑向空間頻率;A、B、C都是非常復雜的分量,詳見參考文獻[5]。雖然該式可以解析表示,但由于形式復雜實際應用并不多,加之實際光學系統(tǒng)遮攔往往不為規(guī)則的圓對稱形狀(比如光軸上的次鏡及其支撐連桿構成的遮攔、光學系統(tǒng)主鏡中間開口非圓對稱等),這就造成了光瞳函數(shù)P(x,y)很難用解析式表達。因此,相機初步設計階段依據(jù)式(4)不能預估出光學系統(tǒng)的精確傳遞函數(shù)。為了解決這一問題,本文提出一種數(shù)值計算方法來獲取異形遮攔光學系統(tǒng)的衍射限MTF。

3 衍射限MTF數(shù)值計算方法

將式(4)離散化可得式(6),這樣衍射限MTF可以利用計算機通過光瞳函數(shù)分布獲得賦值的圖像矩陣,再求取式(6)自相關和乘積之比后求出衍射限MTF。這樣通過離散化,光瞳函數(shù)就變成數(shù)字圖像矩陣;不能解析表達的MTF可以通過編程計算生成數(shù)字圖像來繪出和求取。

根據(jù)具體需求,本文計算程序分成兩種類型,其一是根據(jù)結構設計要求生成具體光瞳函數(shù)的圖像矩陣,光瞳函數(shù)形狀由主鏡、次鏡及其支撐桿的尺寸、形狀及位置確定;第二種是根據(jù)光學系統(tǒng)結構設計圖進入目標提取子程序的運算獲得光瞳函數(shù)。具體流程如圖2,算法描述如下:

圖2 計算MTF程序流程圖

(1)光瞳函數(shù)生成模式,具體流程如下

1)根據(jù)系統(tǒng)遮攔具體要求生成光瞳函數(shù)圖像。

3)進行如式(6)的離散運算獲得MTF(u,ν)矩陣。

4)根據(jù)MTF(u,ν)繪出MTF曲線。

(2)光瞳函數(shù)提取模式,具體流程如下

1)讀入光學系統(tǒng)結構設計圖。

2)目標提取,獲取光瞳函數(shù)有效部分并進行區(qū)域分類。

3)生成光瞳函數(shù)。

4)獲得光瞳函數(shù)有效范圍大小,根據(jù)大小要求以減小邊緣效應為準則設置合適圖像矩陣大小。

5)進行如式(6)的離散運算獲得MTF(u,ν)矩陣。

6)根據(jù)MTF(u,ν)繪出MTF曲線。

4 計算實例

運用上述提出的算法進行若干實例計算,檢驗算法有效性,首先給出光瞳函數(shù)生成模式計算實例。根據(jù)某相機遮攔比為ε1的光學系統(tǒng)設計,在不考慮支撐桿影響下生成形如圖3(a)的光瞳函數(shù)圖像,圖3(b)和圖3(c)表示由此求出的系統(tǒng)點擴散函數(shù)(PSF)和MTF的圖像。同理,考慮次鏡支撐桿影響的情況下生成的光瞳函數(shù)、PSF、MTF圖像如圖4(a)(b)(c)。圖5為兩種情況下MTF(一維曲線)對比情況,橫坐標為空間頻率對截止頻率的歸一化f/fc。

圖3 某相機遮攔比為ε1的光學系統(tǒng)不考慮支撐桿情況下的計算結果

圖4 某相機遮攔比為ε1的光學系統(tǒng)考慮支撐桿情況下的計算結果

圖5 有無支撐桿MTF曲線(一維方向)對比

下面進行復雜遮攔情況下的計算,圖6為遮攔比ε2的復雜遮攔光學系統(tǒng)計算得到的光瞳函數(shù)、PSF和MTF圖像,圖7為考慮支撐桿情況下的各個圖像。圖8為兩種情況下MTF(一維)對比情況,橫坐標為空間頻率對截止頻率的歸一化f/fc。

圖6 遮攔比為ε2的光學系統(tǒng)不考慮支撐桿情況下的計算結果

圖7 遮攔比為ε2的光學系統(tǒng)考慮支撐桿情況下的計算結果

圖8 有無支撐桿MTF曲線(一維方向)對比

以下利用CODEV計算高性能光學小相機的設計指標對本方法中獲取光瞳函數(shù)模式進行驗證。應用圖像處理方法從相機結構立體圖的主鏡方向零度視場投影獲得其光學系統(tǒng)零度視場光瞳函數(shù)P(x,y)見圖9,利用文中提出的數(shù)值解法獲得衍射限PSF(x,y)、MTF(u,ν)如圖10。圖11為一維方向傳遞函數(shù)函MTF的曲線,橫坐標為空間頻率對截止頻率的歸一化 f/fc。表1列出數(shù)值解法和CODEV計算的(1/3)fn到2fn處MTF值的差異,由表1可得平均差異小于3%,由此說明二者基本一致。這證明了本方法在光學系統(tǒng)未完成設計階段,單純根據(jù)光學系統(tǒng)的F數(shù)和具體遮攔能夠?qū)ο到y(tǒng)成像性能(衍射限MTF)進行預估以指導遙感器的總體設計。

圖9 P(x,y)圖像

圖10 應用計算程序獲得其點擴散函數(shù)PSF、傳遞函數(shù)圖像MTF

圖11 MTF的一維曲線

5 結束語

文中經(jīng)過理論推導提出了一種獲取光學系統(tǒng)衍射限MTF的數(shù)值計算方法,以解決不同遮攔光學系統(tǒng)衍射限傳遞函數(shù)MTF的求解問題,其間同空間高性能光學小相機的光學系統(tǒng)設計指標進行比較基本符合,驗證了本方法的有效性。本方法的提出使在光學系統(tǒng)詳細設計前就能對其極限成像能力進行預估成為可能,為實際遙感器的總體論證提出了一種新的途徑,并解決實際工作中的一些問題。異形遮攔光學系統(tǒng)衍射限傳遞函數(shù)的數(shù)值求解使光學系統(tǒng)能夠精確建模,為結合光學系統(tǒng)波前差求取光學系統(tǒng)精確傳遞函數(shù)和成像全鏈路的仿真研究提供了必要的條件。

[1]譚維熾,胡金剛.航天器系統(tǒng)工程[M].北京:中國科學技術出版社,2009.

[2]Fiete R D.Image Chain Analysis for Space Imaging Systems[J].Journal of Imaging Science and Technology,2007,51(2):103-109.

[3][美]利齊坎納爾(Leachtenauer,J C),德里格斯(Driggers R G).監(jiān)視與偵查成像系統(tǒng)[M].陳世平,馬文坡,周峰,等譯.北京:中國科學技術出版社,2007.

[4]梁銓廷.波動光學[M].北京:機械工業(yè)出版社,1986.

[5]Cota S A,Bell J T.PICASSO-An End-to-End Image Simulation Tool for Space andAirborne Imaging Systems[J].Proc of SPIE,2008,7087-03:1-30.