Zernike多項式擬合用于低溫光學(xué)鏡頭熱集成分析

李其鍇

(北京空間機(jī)電研究所,北京100076)

1 引言

隨著空間技術(shù)的不斷發(fā)展,對地觀測、大氣探測及天體探測等應(yīng)用也不斷地發(fā)展,這些應(yīng)用大都需要探測器及其相關(guān)儀器來實現(xiàn)觀測任務(wù)。在常規(guī)的對地觀測中,紅外遙感系統(tǒng)是對平均溫度為300K的地球背景下的紅外輻射進(jìn)行探測,普通的常溫光學(xué)系統(tǒng)就可滿足要求,此時的紅外遙感器的光機(jī)結(jié)構(gòu)均處于常溫環(huán)境,只是對紅外探測器進(jìn)行制冷。對于深空科學(xué)探測系統(tǒng)而言,紅外遙感系統(tǒng)是以深空為背景,對弱暗的點目標(biāo)進(jìn)行探測,深空背景的平均溫度約3.5K,光學(xué)系統(tǒng)本身的熱輻射成了紅外探測系統(tǒng)的主要熱背景來源,極大地限制了系統(tǒng)的探測能力[1]。為了實現(xiàn)更高靈敏度的紅外探測,必須降低光學(xué)系統(tǒng)本身的溫度,減小背景的熱輻射,提高系統(tǒng)靈敏度。工作在低溫條件下的光學(xué)系統(tǒng)與常規(guī)的光學(xué)系統(tǒng)有很大的不同,當(dāng)光學(xué)系統(tǒng)從室溫降低至運(yùn)行溫度時,就會發(fā)生熱變形,特別是光學(xué)組件面形的變化對光學(xué)成像品質(zhì)有很大的影響,在光學(xué)組件面形由于熱變形導(dǎo)致不規(guī)則之后,就不能夠再使用一般的標(biāo)準(zhǔn)方程對其進(jìn)行描述。此時最理想的描述光學(xué)組件面形變化的方法就是澤尼克(Zernike)多項式法。

2 Zernike多項式特點

Zernike多項式是F.Zernike在1934年構(gòu)造的,后來由他本人以及Brinkman和Nijborer進(jìn)一步研究得到發(fā)展。

在描述光學(xué)組件面形變化的方法中,Zernike多項式對光學(xué)波面的擬合精度最高,其本質(zhì)的原因是Zernike多項式有幾個特點:

1)Zernike多項式在單位圓上正交,即對于具有圓形光瞳鏡面的系統(tǒng),可將其歸一化為單位圓。函數(shù)系的正交使不同多項式的系數(shù)相對獨立,有利于消除偶然因素的干擾。

2)Zernike多項式自身所特有的旋轉(zhuǎn)對稱性,使之對光學(xué)問題的求解過程中一般均具有良好的收斂性。

3)Zernike多項式與初級像差有著一定的對應(yīng)關(guān)系,并且與光學(xué)設(shè)計中的慣用的Seidel像差函數(shù)很容易建立聯(lián)系,這也是以前為什么光學(xué)像差分析中常用到Zernike多項式的原因。

用Zernike多項式來擬合熱彈性變形后光學(xué)組件面形,具有擬合誤差小、物理意義明了等優(yōu)點,并能夠為Zemax光學(xué)軟件所接受。Zernike多項式是理想結(jié)構(gòu)分析與光學(xué)分析程序之間的接口工具。

極坐標(biāo)形式Zernike多項式具體表達(dá)式為:

一般情況,Zernike多項式的前37項描述對于熱變形面形來說就足夠精確。

3 Zernike多項式擬合

為了得到精確的光學(xué)組件表面面形的變化數(shù)據(jù),在進(jìn)行多項式擬合之前需要進(jìn)行幾何建模、有限元劃分、溫度場分析以及面形熱變形分析等一系列工作,其基本流程如圖1所示。

圖1 熱分析流程圖

在得到光學(xué)組件表面面形變化數(shù)據(jù)文件之后,通過Matlab軟件對數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合,如果表面面形有m個節(jié)點,鏡面用n項Zernike多項式表示為:

現(xiàn)有m個離散測量資料點wi(xi,yi),i=1,2,3…,m。令aij=Zij(xi,yi),i=1,2,3…,m;j=1,2,3…,n。

代入上式得到超定線性方程組(m＞n):

簡記作 Aq=W,其中 A=(aij)為 m ×n矩陣,q=(q1,q2,…,qn)T,W=(w1,w2,…,wm)T。

4 應(yīng)用實例

按Zernike多項式擬合方法對某微晶材料低溫光學(xué)鏡頭進(jìn)行光機(jī)熱集成分析,應(yīng)用的軟件主要包括:SolidWorks(幾何建模)、Patran(有限元分析)、Matlab(數(shù)據(jù)擬合)、Zemax(光學(xué)分析)。

首先,對該低溫光學(xué)鏡頭進(jìn)行幾何建模以及有限元劃分,使得結(jié)構(gòu)模型中鏡面上的節(jié)點與光學(xué)系統(tǒng)模型中的面相對應(yīng)。該光學(xué)鏡頭結(jié)構(gòu)的有限元模型如圖2所示。

圖2 光學(xué)鏡頭結(jié)構(gòu)的有限元模型

對模型溫度場進(jìn)行分析,通過計算外熱流等因素的影響,可以算出該低溫光學(xué)鏡頭的實際工作溫度范圍。該分析應(yīng)用的溫度場范圍為113～119K,即鏡頭前端溫度為119K,后端溫度為113K,以293K作為參考溫度對該鏡頭進(jìn)行熱變形分析。為了突出表現(xiàn)溫度對變形結(jié)果的影響,更好的讓鏡頭模型隨溫度而自由膨脹或收縮,本文采用了前端點約束條件,溫度場分布以及約束條件如圖3所示。

圖3 光學(xué)鏡頭溫度場以及約束條件分布

為了控制光學(xué)系統(tǒng)成像品質(zhì)不出現(xiàn)較大變化,在低溫光學(xué)技術(shù)領(lǐng)域,目前常采用無熱化設(shè)計方法。本文對該主光學(xué)裝置模型的相關(guān)分析是在無熱化設(shè)計基礎(chǔ)上進(jìn)行的。光學(xué)鏡頭所使用的微晶材料在低溫環(huán)境(120K)時的材料屬性如表1所示。

在上述條件下,通過分析軟件Patran對該低溫光學(xué)鏡頭進(jìn)行熱變形分析,并將用于Zernike多項式擬合的各鏡面變形資料導(dǎo)出,表2列出了主鏡鏡面有限元節(jié)點中前7個節(jié)點的變形數(shù)據(jù)。

表1 微晶材料在低溫時的材料屬性

表2 鏡面節(jié)點的變形數(shù)據(jù) mm

對光學(xué)鏡頭各鏡面節(jié)點的變形數(shù)據(jù)分別進(jìn)行Zernike多項式擬合分析,得出擬合結(jié)果,并將其輸入到.dat文件中,表3列出了主鏡鏡面Zernike多項式擬合系數(shù)。由于光學(xué)分析軟件Zemax無法直接讀取經(jīng)過分析后的變形數(shù)據(jù),為了能夠更好的通過光學(xué)分析軟件進(jìn)行光學(xué)成像品質(zhì)評價,需要對分析后的變形數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合,Zemax可以直接識別Zernike多項式擬合系數(shù),Zernike多項式在熱集成分析中就起到了連接作用,能夠?qū)⒚嫘蔚淖冃螖?shù)據(jù)很好的輸入到光學(xué)分析軟件中,為變形分析后光學(xué)成像品質(zhì)的評價奠定了基礎(chǔ)。

表3 Zernike多項式擬合系數(shù)

將全部4個鏡面節(jié)點變形數(shù)據(jù)擬合后的Zernike多項式系數(shù)以及鏡間距的變化輸入到光學(xué)分析軟件Zemax中,將數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為變化后的面形,對變化后的光學(xué)系統(tǒng)的性能參數(shù)進(jìn)行評價。通過光學(xué)分析軟件Zemax還可以直接得出最佳像面位置以及熱變形后光學(xué)系統(tǒng)的焦距,該低溫光學(xué)鏡頭變形后最佳像面偏移量以及焦距變化量如表4所示。

表4 變形后最佳像面和焦距變化量

通過Zemax軟件可以得到光學(xué)系統(tǒng)的原始和變形后的光學(xué)傳遞函數(shù)。為了說明變形后最佳像面的移動對光學(xué)系統(tǒng)成像品質(zhì)的影響,本文不僅列出了初始設(shè)計光學(xué)系統(tǒng)同變形后光學(xué)系統(tǒng)的MTF曲線對比,還列出了變形后未調(diào)整最佳像面時和調(diào)整最佳像面后光學(xué)系統(tǒng)的MTF曲線。原始設(shè)計光學(xué)系統(tǒng)的光學(xué)傳遞函數(shù)如圖4所示,變形后光學(xué)系統(tǒng)光學(xué)傳遞函數(shù)如圖5所示。

圖4 原始設(shè)計(常溫裝配時)光學(xué)傳遞函數(shù)

圖5 低溫變形后光學(xué)傳遞函數(shù)

從圖4和圖5(a)對比所示的光學(xué)傳遞函數(shù)值可以看出,低溫光學(xué)鏡頭在裝配溫度為常溫、工作溫度為低溫的情況下,光學(xué)系統(tǒng)的成像品質(zhì)發(fā)生了很大變化,反映出溫度變化對低溫光學(xué)性能的影響是致命的。圖5(b)是低溫變形后調(diào)整最佳像面的光學(xué)鏡頭MTF曲線。從圖5(a)和(b)的對比表明,即使對低溫光學(xué)鏡頭進(jìn)行無熱化設(shè)計,熱變形對最佳像面的影響仍是很顯著的,需要對最佳像面進(jìn)行調(diào)整才能保證工作時光學(xué)系統(tǒng)的成像品質(zhì)。

5 結(jié)束語

由于光學(xué)系統(tǒng)在常溫下裝配完成之后,在空間低溫環(huán)境使用的情況下必然會導(dǎo)致光學(xué)成像品質(zhì)下降以及最佳像面發(fā)生位移等一系列連鎖反應(yīng),所以低溫光學(xué)系統(tǒng)的熱集成分析就成為一種必要。而經(jīng)過熱集成分析后的變形數(shù)據(jù)無法直接說明變形給光學(xué)成像品質(zhì)以及最佳像面帶來的影響,這就需要對變形數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合,以便能夠通過光學(xué)分析軟件對光學(xué)像質(zhì)進(jìn)行評價。對變形數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合的方法很多,Zernike多項式的優(yōu)點是擬合精度很高,并且能夠很好的詮釋光學(xué)像差。Zernike多項式擬合是熱集成分析中至關(guān)重要的一部分,它是一個很好的熱分析軟件和光學(xué)分析軟件的接口工具,能夠使得光、機(jī)、熱一體化分析更加容易實現(xiàn)。

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