教給學(xué)生解題后的反思

?重慶市新海實(shí)驗(yàn)中學(xué) 林玉燕

經(jīng)過多年的數(shù)學(xué)教學(xué)，我認(rèn)為把應(yīng)該解題的真實(shí)思考過程講給學(xué)生，教給學(xué)生解題后的反思很重要，因?yàn)橛行?shù)學(xué)題，當(dāng)我們對(duì)所證（解）出的結(jié)果進(jìn)行反思時(shí)，一種順理成章、豁然開朗的證（解）法就呼之欲出了.下面以講解一道中考題為例.

例：將正方形ABCD折疊，使頂點(diǎn)A與CD邊上的點(diǎn)M重合，折痕交AD于E， 交BC于F，AB邊折疊后與BC邊交于點(diǎn)G（如圖1所示）.

（1）如果 M 為 DC 邊的中點(diǎn)，求證：DE∶DM∶EM=3∶4∶5；

（2） 如果M為CD邊上的任意一點(diǎn)，設(shè)AB=2a，問△CMG的周長(zhǎng)是否與點(diǎn)M的位置有關(guān)？若有關(guān)，請(qǐng)把△CMG的周長(zhǎng)用含DM的長(zhǎng)x的代數(shù)式表示；若無(wú)關(guān)，請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖1

第（1）問由勾股定理建立一元二次方程不難解決，在處理第（2）問時(shí)，由于點(diǎn)M是CD邊上的任意一點(diǎn)，所以猜測(cè)△CMG的周長(zhǎng)應(yīng)該與DM的長(zhǎng)度相關(guān)，于是有了以下的常規(guī)解法.

解：（1）略；

（2）∵M(jìn)D=x，∴ CM=2a-x.

設(shè) DE=y，則在 Rt△DEM 中，由 y2+x2=（2a-y）2可得4a2-x2=4ay.

（特注：L△CMG表示△CMG的周長(zhǎng)，其余類同.）

故△CMG的周長(zhǎng)為4a，與點(diǎn)M在CD邊上的位置無(wú)關(guān).

解題后的反思：引導(dǎo)學(xué)生觀察思考，鑒于△CMG的周長(zhǎng)為4a，恰好等于CD+CB的長(zhǎng).又∵CM、CG分別是CD、CB的一部分，所以推斷必有MG=MD+GB，為此，構(gòu)造全等三角形的第二種證法油然而生.

圖2

另解：連結(jié)AM、AG，作 AH⊥MG于H，如圖2所示.

由題意可知：∠AMG=∠MAB=∠AMD.

故△CMG的周長(zhǎng)為4a，與點(diǎn)M在CD邊上的位置無(wú)關(guān).

有學(xué)生感嘆道：“早知如此（指第二種解法）又何必當(dāng)初（指第一種解法）.”馬上就出現(xiàn)了反駁的聲音：“沒有當(dāng)初，何來(lái)如此!”我就勢(shì)總結(jié)道：“解題后的反思可以幫助我們更好地認(rèn)識(shí)題目的本質(zhì).”

又例如我在數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)時(shí)講解的一道試題：

如圖3所示，已知3個(gè)邊長(zhǎng)相等的正方形相鄰并排.求：∠EBF+∠EBG.

圖3

我按照數(shù)學(xué)變換的思想給出了如下的解題過程.

圖4

解：如圖4所示，將已知3個(gè)邊長(zhǎng)相等的相鄰的正方形以BE為軸進(jìn)行翻折，連結(jié)BT、FT，則有∠EBG=∠EBT.

∴∠EBF+∠EBG=∠EBF+∠EBT=∠FBT.

設(shè) AB=a，于是有：BT2=a2+（2a）2=5a2；

顯然有：BT2+ET2=BF2；BT=FT.

∴△BTF是等腰直角三角形.

∴∠FBT=45°.

故∠EBF+∠EBG=45°.

解題后的反思：有學(xué)生恍然大悟：“正好等于45°.”我乘機(jī)賣關(guān)子：“應(yīng)該是真好，又是45°，此時(shí)此刻，面對(duì)這樣的結(jié)果，你有何感想呢？”在一陣激烈的討論之后，終于有學(xué)生提出了想法：由于∠EBF+∠EBG=45°，連結(jié)BH（如圖5所示）后，必有∠ARB=45°，又∠EBG=∠HBG、∠HBG+∠HGB=∠EBG+∠HBG=45°，故只需證出∠HBG=∠EBF=∠HFB即可，這可由△HBG≌△HFB解決.于是第二種解法浮現(xiàn)于眼前：

圖5

另解：如圖5所示，連結(jié)BH.

教育心理學(xué)認(rèn)為：“思維是從提出問題開始的.”因此，當(dāng)一個(gè)問題得到解決并為學(xué)生充分理解后，學(xué)生獲得的信息沒有什么不確定性，這稱為飽和信息.此時(shí)，教師應(yīng)抓住學(xué)生的思維轉(zhuǎn)折點(diǎn)，將原問題進(jìn)行檢驗(yàn)、拓寬或引申，從熟悉的問題中延伸出新問題，從而激活學(xué)生的思維、培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng).